Esercizio - base ortonormale con tre impulsi, costellazione in una dimensione in meno e ricevitore a un ramo (primo compitino del 17 novembre 2023, es. 167)

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Teoria usata: Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →, Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →, Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →, Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazioneIn una modulazione binaria con rumore AWGN e decisione a minima distanza l'errore avviene solo se la componente di rumore lungo la congiungente dei due punti supera metà distanza: $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$ con $d=\lVert\underline s_1-\underline s_2\rVert$. A parità di energia $E_s$ si ha $d^2=2E_s(1-\rho)$, quindi $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\sqrt{\frac{1-\rho}{2}}\right)$, con $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_{s_1}E_{s_2}}}$ coefficiente di correlazione. Antipodali ($\rho=-1$, BPSK): $Q\left(\sqrt{E_s/\sigma_I^2}\right)$; ortogonali ($\rho=0$): $Q\left(\sqrt{E_s/(2\sigma_I^2)}\right)$, 3 dB peggio; $\rho=1$: $P[E]=\frac12$. Per qualunque modulazione binaria basta un solo ramo del ricevitore, lungo $\phi_1'\propto s_1-s_2$.Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazione →, Segnali a tempo continuo - sinusoidi, rect e trasformazioni dell'asse dei tempiUn segnale è una funzione del tempo; è analogico se tempo e valori sono continui, digitale se entrambi sono discreti. La sinusoide A cos(2πf₀t + φ₀) ha periodo T = 1/f₀. Con rect(t) (1 per |t| ≤ 1/2) e triang(t) = 1 − |t| (|t| ≤ 1) si costruiscono impulsi; rect((t − T/2)/T) è 1 su [0,T]. Traslazione s(t − t₀) sposta a destra di t₀, scalamento s(t/A) dilata di A; in s((t − t₀)/A) si scala prima e si trasla poi. Una trasmissione è una somma Σ a_m z(t − mT). Il canale AWGN è r(t) = A·s_Tx(t − t₀) + w(t).Segnali a tempo continuo - sinusoidi, rect e trasformazioni dell'asse dei tempi →.

Nella notazione del corso $\operatorname{triang}(u)=1-|u|$ per $|u|<1$ (triangolo di base $2$ e altezza $1$); quindi $\operatorname{triang}\left(\frac{t-B}{L}\right)$ è un triangolo con centro in $B$, semibase $L=0{,}5$ ms e dunque supporto $[B-0{,}5,\ B+0{,}5]$ ms.

(1) I valori di $A$, $B$, $C$

$A$: dalla normalizzazione. $\phi_1$ è un rettangolo di ampiezza $A$, centrato in $0{,}25$ ms con larghezza $0{,}5$ ms: supporto $[0,\ 0{,}5]$ ms. Energia $1$: $A^2\cdot0{,}5\cdot10^{-3}=1\Rightarrow A=\sqrt{2000}=44{,}7$ (unità: $\text{s}^{-1/2}$). Controlli sugli altri due: $\phi_2$ ha altezza $h=\sqrt{3000}=54{,}8$ e energia $h^2\cdot\frac{2L}3=3000\cdot\frac{10^{-3}}3=1$ ✓ (l'energia di un triangolo di altezza $h$ e base $2L$ è $h^2\frac{2L}3$); $\phi_3$ ha ampiezza $\sqrt{2000}=44{,}7$ e larghezza $0{,}5$ ms: energia $2000\cdot0{,}5\cdot10^{-3}=1$ ✓.

$B$ e $C$: dall'ortogonalità. Le tre funzioni sono non negative, quindi il loro prodotto è $\ge0$ e l'integrale $\langle\phi_i,\phi_j\rangle$ si annulla solo se $\phi_i\phi_j=0$ ovunque: i supporti devono essere disgiunti. Supporti: $\phi_1$: $[0,\ 0{,}5]$; $\phi_2$: $[B-0{,}5,\ B+0{,}5]$; $\phi_3$: $[C-0{,}25,\ C+0{,}25]$ (in ms). Vincoli:

• $\phi_2$ non può stare a sinistra di $\phi_1$ (che comincia già in $0$), quindi sta dopo: $B-0{,}5\ge0{,}5\Rightarrow B\ge1$;
• $\phi_3$ dopo $\phi_2$: $C-0{,}25\ge B+0{,}5\Rightarrow C\ge B+0{,}75$;
• tutto in $[0,2]$: $C+0{,}25\le2\Rightarrow C\le1{,}75$. Da $B\ge1$ e $B\le C-0{,}75\le1$ segue $B=1$ ms e $C=1{,}75$ ms: i tre supporti sono $[0;0{,}5]$, $[0{,}5;1{,}5]$ e $[1{,}5;2]$ ms, adiacenti e senza vuoti.

(2) Una base con meno segnali

I vettori $\mathbf s_1=[1,0,0{,}5]$ e $\mathbf s_2=[-1,0,0{,}3]$ hanno entrambi la seconda coordinata nulla: sono combinazioni di $\phi_1$ e $\phi_3$ soltanto, $s_1(t)=\phi_1(t)+0{,}5\,\phi_3(t)$ e $s_2(t)=-\phi_1(t)+0{,}3\,\phi_3(t)$. Quindi $\phi_2$ non serve: la base $\{\phi_1,\phi_3\}$ ha dimensione $I=2<3$ (Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →). Con questa base $$\mathbf s_1=[1,\ 0{,}5],\qquad\mathbf s_2=[-1,\ 0{,}3].$$ (Non si può scendere a una dimensione: i due vettori non sono proporzionali.) Energie: $E_1=1+0{,}25=1{,}25$ e $E_2=1+0{,}09=1{,}09$, diverse.

(3) Criterio di decisione e regioni

Simboli equiprobabili e canale AWGN: criterio a minima distanza, ottimo (Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →). Il confine è l'asse del segmento: si decide $\mathbf s_1$ se $2\mathbf r\cdot(\mathbf s_1-\mathbf s_2)>E_1-E_2$, con $\mathbf s_1-\mathbf s_2=(2,0{,}2)$: $$2(2x+0{,}2y)>1{,}25-1{,}09=0{,}16\iff x+0{,}1\,y>0{,}04.$$ $$\mathcal R_1=\{x+0{,}1y>0{,}04\},\qquad\mathcal R_2=\{x+0{,}1y<0{,}04\}.$$ La retta passa per il punto medio $(0;\ 0{,}4)$ ed è perpendicolare al segmento che unisce i punti (quasi verticale, inclinata perché il segmento non è orizzontale).

(4) Ricevitore con il numero minimo di rami

La modulazione è binaria: basta un solo ramo (Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →). Lungo la direzione $\mathbf s_1-\mathbf s_2$, di modulo $d=\sqrt{(1+1)^2+(0{,}5-0{,}3)^2}=\sqrt{4{,}04}=2{,}01$. Il filtro adattato ha risposta impulsiva $$\psi(t)=\frac{s_1(T-t)-s_2(T-t)}d,\qquad d=2{,}01,\quad T=2\ \text{ms},$$ (è la base $\phi'_1=\frac{s_1-s_2}d$ ribaltata e ritardata di $T$, causale perché $s_1,s_2$ hanno supporto in $[0,2]$ ms) e il campionamento è al ritardo $t_0=T=2$ ms, cioè in $kT+T$: le due forme d'onda occupano tutto il periodo, $T$ è il periodo minimo senza interferenza. Il campione $\xi=\langle\mathbf r,\mathbf s_1-\mathbf s_2\rangle/d$ si confronta con la soglia $\xi^*=\frac{E_1-E_2}{2d}=\frac{0{,}16}{2\cdot2{,}01}=0{,}040$: $\xi>0{,}040\Rightarrow\hat a=1$.

(5) Probabilità d'errore sul bit

Per una modulazione binaria con simboli equiprobabili, $P_{bit}=P[E]=Q\left(\frac d{2\sigma_I}\right)$. La potenza del rumore per dimensione $\sigma_I^2=0{,}3^2$ significa $\sigma_I=0{,}3$: $$P_{bit}=Q\left(\frac{2{,}01}{2\cdot0{,}3}\right)=Q(3{,}35)=4{,}0\cdot10^{-4}.$$ (Il valore coincide con la soluzione del corso.)