Esercizio - 4-PAM con impulso di ampiezza incognita, due segnali ortogonali aggiunti e rumore uniforme (compito del 6 luglio 2026, es. 203)

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Teoria usata: Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'erroreNella PAM i segnali sono un impulso $h_{Tx}(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh_{Tx}(t)$. La base è $\phi_1=\frac{h_{Tx}}{\sqrt{E_h}}$, i punti sono $\alpha_m\sqrt{E_h}$ su una retta, $d_{\min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}{3}E_h$. I due simboli esterni sbagliano da una parte sola, gli $M-2$ interni da due: $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{M^2-1}}\right)$. Con la codifica di Gray (simboli adiacenti differiscono per un bit) $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'errore →, Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →, Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union boundCon $M>2$ segnali ogni simbolo porta $\log_2M$ bit. La probabilità d'errore si limita con la union bound: $P[E\mid m]\le\sum_{m'\ne m}Q\left(\frac{d_{m',m}}{2\sigma_I}\right)$, da cui $\frac{N_{\min}}{M},Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)$ ($d_{\min}$ distanza minima della costellazione, $N_{\min}$ numero di punti che hanno un vicino a quella distanza). Modulazioni ortogonali (PPM): $d=\sqrt{2E_s}$ per ogni coppia, $P[E]\le(M-1)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)$. Biortogonali ($M/2$ ortogonali più i loro opposti): $P[E]\le(M-2)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)+Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\right)$.Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union bound →, Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →, Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione QUna v.a. continua ha funzione di distribuzione F_x(a) = P(x ≤ a) e densità f_x(a) = dF_x/da ≥ 0 con integrale 1; P(A ≤ x ≤ B) = F_x(B) − F_x(A) = ∫_A^B f_x e P(x = A) = 0. Uniforme U([a,b]): densità 1/(b−a), media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Esponenziale unilatera di media m: (1/m)e^(−a/m), a ≥ 0. Gaussiana N(m, σ²): P(x ≥ A) = Q((A − m)/σ), con Q(A) coda della gaussiana standard. Somme di gaussiane indipendenti sono gaussiane (medie e varianze si sommano); teorema del limite centrale.Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione Q →.

Nel testo la lettera $A$ compare due volte con significati diversi (cifra di matricola qui, ampiezze altrove): qui è solo la cifra. Si ricavano le formule in funzione di $A$ e poi si calcolano due casi concreti, $A=2$ (che ricade nel ramo $A<4$) e $A=7$ (ramo $A\ge4$).

(1) Coordinate e costellazione della 4-PAM

Energia dell'impulso. In una 4-PAM i punti sono $\alpha_m\sqrt{E_h}$ con $\alpha_m\in\{-3,-1,1,3\}$ e l'energia media è $E_s=\frac{M^2-1}{3}E_h=\frac{16-1}{3}E_h=5E_h$ (perché $\overline{\alpha^2}=\frac{9+1+1+9}{4}=5$). Dato $E_s=1{,}8+0{,}145A$: $$E_h=\frac{E_s}{5}=\frac{1{,}8+0{,}145A}{5}=0{,}36+0{,}029A\ \ \text{V}^2\text{s}.$$ Per $A=0,\dots,9$ vale tra $0{,}36$ e $0{,}621$ V$^2$s.

Coordinate. La base è $\phi_1(t)=\frac{h(t)}{\sqrt{E_h}}$, un rettangolo di ampiezza $\frac1{\sqrt T}$ su $[0,T]$, e $$s_1=-3\sqrt{E_h},\quad s_2=-\sqrt{E_h},\quad s_3=+\sqrt{E_h},\quad s_4=+3\sqrt{E_h}.$$ Valore di $B$. L'energia dell'impulso rettangolare è $E_h=\int_0^TB^2dt=B^2T$, quindi $$B=\sqrt{\frac{E_h}{T}}=\sqrt{\frac{1{,}8+0{,}145A}{5T}}.$$ Con $T=10^{-3}$ s: $B=\sqrt{1000\,(0{,}36+0{,}029A)}$ V, cioè tra $18{,}97$ V ($A=0$) e $24{,}92$ V ($A=9$). (La soluzione del corso riporta $B=[80{,}5\div138{,}6]$: ma con $E_h=B^2T$ e $T=1$ ms il valore è quello sopra: per $A=0$ si ha $B^2T=18{,}97^2\cdot10^{-3}=0{,}36=E_h$.)

Caso $A=2$: $E_s=2{,}09$, $E_h=0{,}418$ V$^2$s, $\sqrt{E_h}=0{,}6465$, $B=20{,}45$ V; punti $-1{,}940,\ -0{,}647,\ +0{,}647,\ +1{,}940$ V$\sqrt{\text{s}}$. Caso $A=7$: $E_s=2{,}815$, $E_h=0{,}563$, $\sqrt{E_h}=0{,}7503$, $B=23{,}73$ V; punti $\pm0{,}750,\ \pm2{,}251$.

(2) Estensione a due dimensioni

Il nuovo segnale è ortogonale a $h(t)$. $s_5$ è un'onda "dispari" rispetto a $\frac T2$: vale $+c$ nella prima metà e $-c$ nella seconda ($c=\sqrt{2/T}$). Il prodotto scalare con l'impulso (costante, $B$) è $$\langle s_5,h\rangle=B\left[\int_0^{T/2}c\,dt-\int_{T/2}^Tc\,dt\right]=B\left[c\frac T2-c\frac T2\right]=0.$$ Quindi $s_5\perp\phi_1$ e serve una seconda funzione di base (nessun Gram-Schmidt: è già ortogonale, Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →). Energia di $s_5$: $E_5=\int_0^Tc^2dt=\frac2T\cdot T=2$ V$^2$s, quindi $$\phi_2(t)=\frac{s_5(t)}{\sqrt{E_5}}=\frac{s_5(t)}{\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt T}\begin{cases}+1&0\le t<\frac T2\\-1&\frac T2\le t\le T\end{cases}$$ (energia $\frac1T\cdot T=1$ ✓). Coordinate: $s_5=[0,\sqrt2]$ (energia $2$, $\sqrt2=1{,}414$). Per $s_6$: $$A<4:\ s_6=-s_5=[0,-\sqrt2];\qquad A\ge4:\ s_6=2s_5=[0,2\sqrt2].$$ I primi quattro punti restano sull'asse $\phi_1$ (con $s_{m,2}=0$).

Energia media con 6 simboli equiprobabili ($P=\frac16$ ciascuno). La somma delle energie dei quattro punti PAM è $4E_s^{(4)}$, dove $E_s^{(4)}=1{,}8+0{,}145A$ è l'energia media della 4-PAM (somma delle $E_{s_m}$ divisa per $4$); quindi $$E_s'=\frac{4E_s^{(4)}+E_5+E_6}{6},\qquad E_6=\begin{cases}2&A<4\\8&A\ge4\end{cases}\ \ (\lVert s_6\rVert^2=(2\sqrt2)^2=8).$$

• $A<4$: $E_s'=\frac{4(1{,}8+0{,}145A)+2+2}{6}=\frac{11{,}2+0{,}58A}{6}=1{,}867+0{,}0967A$. Per $A=2$: $\frac{8{,}36+4}{6}=2{,}060$ V$^2$s.
• $A\ge4$: $E_s'=\frac{4(1{,}8+0{,}145A)+2+8}{6}=\frac{17{,}2+0{,}58A}{6}=2{,}867+0{,}0967A$. Per $A=7$: $\frac{11{,}26+10}{6}=3{,}543$ V$^2$s.

(La soluzione del corso scrive $E_s'=0{,}06A+0{,}66$ e $0{,}06A+1{,}66$: usano un valore dell'energia della PAM diverso da quello del testo, $\frac{A}{10}$ al posto di $1{,}8+0{,}145A$, e un'energia $E_5=4$ in conflitto con la figura ($\frac2T\cdot T=2$); inoltre il confine tra i due rami è scritto $A<24$ in un punto e $A<4$ in un altro. Si segue il testo e la figura.)

(3) Limite inferiore alla probabilità d'errore per il simbolo più a destra

Il simbolo più a destra è $s_4=3\sqrt{E_h}$ (sull'asse $\phi_1$). Le distanze dagli altri punti, per $A=2$: da $s_3$: $2\sqrt{E_h}=1{,}293$; da $s_5$ e $s_6$: $\sqrt{9E_h+2}=2{,}400$. Il più vicino è $s_3$, a distanza $d=2\sqrt{E_h}$. Quando si trasmette $s_4$ l'errore comprende almeno l'evento "il ricevitore è più vicino a $s_3$ che a $s_4$" (Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union boundCon $M>2$ segnali ogni simbolo porta $\log_2M$ bit. La probabilità d'errore si limita con la union bound: $P[E\mid m]\le\sum_{m'\ne m}Q\left(\frac{d_{m',m}}{2\sigma_I}\right)$, da cui $\frac{N_{\min}}{M},Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)$ ($d_{\min}$ distanza minima della costellazione, $N_{\min}$ numero di punti che hanno un vicino a quella distanza). Modulazioni ortogonali (PPM): $d=\sqrt{2E_s}$ per ogni coppia, $P[E]\le(M-1)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)$. Biortogonali ($M/2$ ortogonali più i loro opposti): $P[E]\le(M-2)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)+Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\right)$.Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union bound →): un'unione di eventi ha probabilità non minore di uno solo dei suoi eventi, quindi $$P[E\mid s_4]\ge P[\mathcal E_{3,4}\mid s_4]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_w}\right)=Q\left(\frac{\sqrt{E_h}}{\sigma_w}\right),\qquad\sigma_w=\sqrt{0{,}1}=0{,}3162.$$ In pratica l'evento "il rumore lungo $\phi_1$ è minore di $-\sqrt{E_h}$": una gaussiana a media nulla e deviazione $\sigma_w$ che supera $\sqrt{E_h}$ in modulo da un lato (le altre componenti del rumore non servono: la soglia è la retta verticale $x=2\sqrt{E_h}$).

• $A=2$: $\frac{\sqrt{E_h}}{\sigma_w}=\frac{0{,}6465}{0{,}3162}=2{,}044$, $P[E\mid s_4]\ge Q(2{,}044)=0{,}0205$.
• $A=7$: $\frac{0{,}7503}{0{,}3162}=2{,}373$, $P[E\mid s_4]\ge Q(2{,}373)=0{,}00883$.
• Per $A=0,\dots,9$ il limite va da $0{,}0289$ ($A=0$) a $0{,}00635$ ($A=9$).

(La soluzione del corso scrive $Q\left(\frac{\sqrt{E_h}}{2\sqrt{0{,}01}}\right)$, che non corrisponde al testo: con $\sigma_w^2=0{,}1$ l'argomento è $\frac{\sqrt{E_h}}{\sqrt{0{,}1}}$. Si segue il testo.)

(4) Rumore uniforme in $[-0{,}2,\,0{,}2]$

Ora il campione ricevuto è $\underline r=s_4+\underline w$ con le componenti di $\underline w$ limitate a $[-0{,}2,0{,}2]$ (rumore uniforme, Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione QUna v.a. continua ha funzione di distribuzione F_x(a) = P(x ≤ a) e densità f_x(a) = dF_x/da ≥ 0 con integrale 1; P(A ≤ x ≤ B) = F_x(B) − F_x(A) = ∫_A^B f_x e P(x = A) = 0. Uniforme U([a,b]): densità 1/(b−a), media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Esponenziale unilatera di media m: (1/m)e^(−a/m), a ≥ 0. Gaussiana N(m, σ²): P(x ≥ A) = Q((A − m)/σ), con Q(A) coda della gaussiana standard. Somme di gaussiane indipendenti sono gaussiane (medie e varianze si sommano); teorema del limite centrale.Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione Q →): non c'è nessuna coda. Con le regioni a minima distanza, la regione di $s_4$ è delimitata dalle rette che passano a metà tra $s_4$ e ciascun altro punto, quindi il confine più vicino è a distanza $$\frac{d_{\min,4}}{2}=\sqrt{E_h}\ge\sqrt{0{,}36}=0{,}6\quad(\text{per ogni }A).$$ Il rumore sposta il punto di al più $\sqrt{0{,}2^2+0{,}2^2}=0{,}283<0{,}6\le\sqrt{E_h}$ (anche se agiscono entrambe le componenti), quindi $\underline r$ resta sempre nella regione di $s_4$: $$P[E\mid s_4]=0.$$ Il risultato non dipende da $A$ né dal ramo scelto per $s_6$.

Verifica con Python

Calcolati (con math.erfc per la $Q$, simulazione dell'impulso per le energie): $E_h=0{,}418$ ($A=2$) e $0{,}563$ ($A=7$); $B=20{,}445$ e $23{,}728$ V; $\int s_5h=-2\cdot10^{-8}\simeq0$ ed $E_5=2{,}000$ (integrazione numerica su $2\cdot10^6$ punti); $E_s'=2{,}060$ e $3{,}543$; limiti inferiori $0{,}02045$ e $0{,}00883$; distanze di $s_4$ da $s_3,s_5,s_6$: $1{,}293$, $2{,}400$, $2{,}400$ per $A=2$.

Errori comuni

• Dimenticare che $E_s=5E_h$ vale per la 4-PAM: dopo l'aggiunta di $s_5,s_6$ l'energia media cambia e non è più $5E_h$.
• Scrivere $B=E_h/T$ invece di $B=\sqrt{E_h/T}$ (l'energia è $B^2T$).
• Usare $Q\left(\frac{d}{\sigma_w}\right)$ invece di $Q\left(\frac{d}{2\sigma_w}\right)$ nel limite inferiore: è la mezza distanza che conta.
• Credere che con rumore limitato ci sia comunque una probabilità d'errore piccola: se il massimo spostamento è minore della distanza dal confine, la probabilità è esattamente zero.