Esercizio - campionamento e interpolazione di segnali rect, triangolari ed esponenziali (esercizi del corso, cap. 2, es. 20 e 21)

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Teoria usata: Campionamento e interpolazione - mantenimento, lineare e idealeIl campionamento ricava da s(t) la sequenza s_c(mT) = s(mT); l'interpolazione ricostruisce s(t) = Σ s_c(mT) h(t − mT) con la risposta impulsiva h dell'interpolatore: mantenimento (rect su [0,T]), lineare (triangolo) o ideale h(t) = sinc(t/T). Il teorema del campionamento garantisce la ricostruzione esatta con la sinc se T è abbastanza piccolo, cioè F_s = 1/T ≥ 2B per un segnale di banda B. La coppia campionatore-interpolatore è una codifica-decodifica di sorgente senza perdite se il teorema è rispettato.Campionamento e interpolazione - mantenimento, lineare e ideale →, Segnali a tempo continuo - sinusoidi, rect e trasformazioni dell'asse dei tempiUn segnale è una funzione del tempo; è analogico se tempo e valori sono continui, digitale se entrambi sono discreti. La sinusoide A cos(2πf₀t + φ₀) ha periodo T = 1/f₀. Con rect(t) (1 per |t| ≤ 1/2) e triang(t) = 1 − |t| (|t| ≤ 1) si costruiscono impulsi; rect((t − T/2)/T) è 1 su [0,T]. Traslazione s(t − t₀) sposta a destra di t₀, scalamento s(t/A) dilata di A; in s((t − t₀)/A) si scala prima e si trasla poi. Una trasmissione è una somma Σ a_m z(t − mT). Il canale AWGN è r(t) = A·s_Tx(t − t₀) + w(t).Segnali a tempo continuo - sinusoidi, rect e trasformazioni dell'asse dei tempi →.

Campionare significa calcolare $x(kT)$, cioè sostituire $t=kT$ nell'espressione: l'argomento di $\operatorname{rect}$ e $\operatorname{triang}$ diventa un'espressione in $k$. Interpolare vuol dire $y(t)=\sum_nx(nT)\,h(t-nT)$: ogni campione moltiplica una copia di $h$ ritardata in $nT$.

Esercizio 20: campioni

(1) $x(t)=\operatorname{rect}\big(\frac t{3T}\big)$. Con $t=kT$ l'argomento è $\frac{kT}{3T}=\frac k3$: $x(kT)=\operatorname{rect}\big(\frac k3\big)$. Il rect vale $1$ se $\big|\frac k3\big|\le\frac12$, cioè $|k|\le1{,}5$, per $k$ intero $k\in\{-1,0,1\}$: $$x(kT)=1\ \text{ per }k=-1,0,1,\qquad x(kT)=0\ \text{altrove.}$$ (Tre campioni, indipendenti da $T$: il periodo si semplifica perché larghezza e passo sono entrambi multipli di $T$.)

(2) $x(t)=\frac34\operatorname{rect}\big(\frac{t-5/2}{3T}\big)$. $x(kT)=\frac34\operatorname{rect}\Big(\frac{kT-5/2}{3T}\Big)$, uguale a $\frac34$ quando $|kT-\frac52|\le\frac{3T}2$. Qui $T$ non si semplifica e il numero di campioni dipende da $T$: per $T=1$ la condizione $|k-2{,}5|\le1{,}5$ dà $k\in\{1,2,3,4\}$; per $T=0{,}5$, $|0{,}5k-2{,}5|\le0{,}75$ cioè $|k-5|\le1{,}5$ dà $k\in\{4,5,6\}$. In ogni caso i campioni valgono $\frac34$ dentro il rettangolo e $0$ fuori.

(3) $x(t)=e^{-t}\mathbb 1(t)$. Con $t=kT$: $x(kT)=e^{-kT}\,\mathbb 1(k)$, cioè $e^{-kT}$ per $k\ge0$ e $0$ per $k<0$ (il gradino $\mathbb 1(kT)=\mathbb 1(k)$ perché $T>0$). Per $T=0{,}5$: $1;\ 0{,}6065;\ 0{,}3679;\ 0{,}2231;\ 0{,}1353;\dots$ (progressione geometrica di ragione $e^{-T}$).

(4) $x(t)=3\operatorname{triang}\big(\frac t{6T}\big)+1$. $x(kT)=3\operatorname{triang}\big(\frac k6\big)+1$. Il triangolo vale $1-\frac{|k|}{6}$ per $|k|\le6$ e $0$ altrove, quindi $$x(kT)=3\Big(1-\frac{|k|}6\Big)+1=4-\frac{|k|}2\ \ (|k|\le6),\qquad x(kT)=1\ \ (|k|>6).$$ Valori: $4;\ 3{,}5;\ 3;\ 2{,}5;\ 2;\ 1{,}5;\ 1$ per $|k|=0,\dots,6$. La costante $+1$ non è nulla fuori dal supporto del triangolo: la sequenza resta pari a $1$ all'infinito (segnale con energia infinita).

Esercizio 21: interpolazione

(1) $h(t)=\operatorname{rect}\big(\frac tT\big)$. L'interpolatore è un mantenimento centrato (ogni campione è tenuto per $T$, da $nT-\frac T2$ a $nT+\frac T2$; diverso da quello della lezione, con il rect su $[0,T]$). La formula è $$y(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(nT)\,h(t-nT)=\sum_n\frac34\operatorname{rect}\Big(\frac{nT-5/3}{7T}\Big)\operatorname{rect}\Big(\frac{t-nT}{T}\Big).$$ Con $T=0{,}5$ i campioni non nulli sono quelli con $|0{,}5n-\frac53|\le1{,}75$, cioè $-0{,}17\le n\le6{,}83$: $n=0,1,\dots,6$, sette campioni tutti uguali a $\frac34$. I rettangoli $\operatorname{rect}\big(\frac{t-nT}{T}\big)$ di campioni adiacenti si toccano senza sovrapporsi, quindi la somma è un unico rettangolo che va da $-\frac T2=-0{,}25$ a $6T+\frac T2=3{,}25$: larghezza $7T=3{,}5$ e centro $3T=1{,}5$, $$y(t)=\frac34\operatorname{rect}\Big(\frac{t-3T}{7T}\Big)=\frac34\operatorname{rect}\Big(\frac{t-1{,}5}{3{,}5}\Big).$$

(2) $h(t)=\operatorname{triang}\big(\frac t{2T}\big)$. Qui $x(0)=1$, $x(T)=2$, $x(3T)=-5$ e gli altri campioni sono $0$, quindi tre termini: $$y(t)=1\cdot\operatorname{triang}\Big(\frac{t}{2T}\Big)+2\operatorname{triang}\Big(\frac{t-T}{2T}\Big)-5\operatorname{triang}\Big(\frac{t-3T}{2T}\Big).$$ Con $T=0{,}5$, $\frac t{2T}=t$ e $\frac{t-T}{2T}=t-0{,}5$ ecc., quindi le espressioni dei punti 2 e 3 coincidono: $$y(t)=\operatorname{triang}(t)+2\operatorname{triang}(t-0{,}5)-5\operatorname{triang}(t-1{,}5).$$ (3) $h(t)=\operatorname{triang}(t)$: è l'espressione appena scritta (con $T=0{,}5$: $2T=1$). Ogni termine è un triangolo di semibase $1=2T$, cioè più largo del passo $T=0{,}5$ dei campioni: i triangoli vicini si sovrappongono. Valori della somma:

(per esempio $y(0)=\operatorname{triang}(0)+2\operatorname{triang}(-0{,}5)-5\operatorname{triang}(-1{,}5)=1+2\cdot0{,}5-0=2$.) Il segnale è la somma di tre triangoli: salta dal valore $2$ al valore $-5$ tra $0{,}5$ e $1{,}5$.

Osservazione. In $t=nT$ questo $y(t)$ non riproduce i campioni: $y(0)=2\ne x(0)=1$, $y(T)=2{,}5\ne x(T)=2$, mentre $y(3T)=-5=x(3T)$ solo perché i vicini sono nulli. Il motivo è che $h(nT)\ne0$ per $n\ne0$ ($h(T)=\operatorname{triang}(\frac12)=\frac12$): la semibase $2T$ è troppo larga. Un vero interpolatore lineare ha $h(t)=\operatorname{triang}\big(\frac tT\big)$ (semibase $T$, nulla in tutti i multipli non nulli di $T$) e in questo caso $y(t)$ passerebbe per i punti $(0,1)$, $(T,2)$, $(2T,0)$, $(3T,-5)$, $(4T,0)$. Con $T=0{,}5$ il punto 2 assume $\operatorname{triang}\big(\frac{t}{2T}\big)=\operatorname{triang}(t)$: coincidenza che rende il punto 3 uguale al punto 2.

(Verifiche con Python: numero e valori dei campioni dell'es. 20 e tabella di $y(t)$ dell'es. 21. Le espressioni coincidono con quelle della soluzione del corso, che riporta i punti 1 e 2 dell'es. 21; il punto 3 è uguale al 2 per $T=0{,}5$.)

Errori comuni

• Scrivere $x(kT)$ senza sostituire $t=kT$ anche nei centri e nelle larghezze (nel punto 2 il centro $\frac52$ resta in secondi, non diventa $\frac52T$).
• Dimenticare la costante $+1$ fuori dal supporto del triangolo (punto 4).
• Scambiare il rect $\operatorname{rect}\big(\frac tT\big)$ (centrato in $0$) con quello della lezione $\operatorname{rect}\big(\frac{t-T/2}{T}\big)$ (su $[0,T]$): cambia il ritardo di $\frac T2$.
• Usare un triangolo di semibase $2T$ credendo che sia l'interpolatore lineare: non riproduce i campioni.