Quantizzazione non uniforme, companding e conversione A-D

Il quantizzatore uniforme (Quantizzazione uniforme - saturazione, errore granulare e SNR di quantizzazioneUn quantizzatore uniforme a L = 2^b livelli e range [−v_sat, v_sat] ha passo Δ = 2v_sat/L. L'errore e = x − x^(q) è di saturazione fuori range (illimitato, da rendere raro con P_sat piccola) e granulare dentro (|e| ≤ Δ/2, uniforme con potenza Δ²/12). L'SNR di quantizzazione Λ_q = E[x²]/E[e²] vale in decibel 20log₁₀(σ_x/v_sat) + 4,77 + 6,02·b: ogni bit in più dà 6 dB. Per b minimo che garantisce una specifica: ⌈(specifica − c)/6,02⌉ con c = 20log₁₀(σ_x/v_sat) + 4,77.Quantizzazione uniforme - saturazione, errore granulare e SNR di quantizzazione →) ha tutti i gradini uguali: va bene se i campioni occupano il range in modo omogeneo, ma è sprecato quando quasi tutti i campioni cadono vicino a un valore (la voce ha molti campioni piccoli e pochi grandi). Qui si vede come distribuire i livelli in modo non uniforme e come si inserisce la quantizzazione in una conversione analogico-digitale completa. Versioni per le altre lauree: Quantizzatore uniforme - livelli, mid-riser ed erroriUn quantizzatore mappa i campioni reali su $L=2^b$ livelli. Quello uniforme (PCM) sceglie un range dinamico $[-V_{sat},V_{sat}]$ e un passo $\Delta=\frac{2V_{sat}}L$; nel tipo mid-riser i livelli sono $\pm\frac\Delta2,\pm\frac{3\Delta}2,\dots$ e non c'è lo zero. L'errore $e_q=a_q-a$ ha una parte granulare (in $[-\frac\Delta2,\frac\Delta2]$, circa uniforme, potenza $\frac{\Delta^2}{12}$) e una di saturazione (fuori range). Per renderlo piccolo servono $P_{sat}$ piccola e $L$ grande.Quantizzatore uniforme - livelli, mid-riser ed errori → (Ing. Elettronica) e Trasmissione digitale di segnali analogici (PCM)Un segnale analogico trasmesso in forma digitale (PCM: campionamento, quantizzazione, codifica binaria) subisce due errori incorrelati: quello di quantizzazione, $M_{e_q}=\frac{\Delta^2}{12}$, e quello dovuto agli errori sui bit del canale. Con un canale binario simmetrico senza memoria e codice binario naturale, il bit di peso $2^j\Delta$ sbagliato produce un errore $\pm2^j\Delta$ e $M_{e_{ch}}=\Delta^2P_{bit}\frac{4^b-1}3$. L'SNR complessivo, in scala lineare, è $\Lambda_{PCM}=\frac{\Lambda_q}{1+4P_{bit}\left(4^b-1\right)}$: finché $P_{bit}\ll\frac1{4\cdot4^b}$ vale la sola quantizzazione ($6$ dB per bit), oltre domina il canale e aggiungere bit non serve. Da $\Lambda_{PCM}$ richiesto si ricava la $P_{bit}$ massima e il numero di bit.Trasmissione digitale di segnali analogici (PCM) → (Ing. delle Telecomunicazioni).

Quantizzatori non uniformi

Si divide l'asse reale in intervalli di larghezza diversa $I_1,\dots,I_L$ e a ciascuno si associa un livello $a_{q,i}\in I_i$. L'errore del campione che cade nell'intervallo $i$-esimo è $e_{q,i}=x-a_{q,i}$ con $x\in I_i$, e ha potenza condizionata $$M_{e_{q,i}}=E\big[(x-a_{q,i})^2\mid x\in I_i\big]=\frac{\int_{I_i}(a-a_{q,i})^2\,p_x(a)\,da}{\int_{I_i}p_x(a)\,da}.$$ Il denominatore è la probabilità $P(x\in I_i)$ (la densità di $x$ ristretta a $I_i$ va rinormalizzata). La potenza totale dell'errore è la media pesata sulle probabilità degli intervalli (formula delle probabilità totali): $$M_{e_q}=\sum_{i=1}^{L}M_{e_{q,i}}\,P(x\in I_i).$$ Per un intervallo di larghezza $\Delta_i$ in cui la densità è praticamente costante, $M_{e_{q,i}}=\frac{\Delta_i^2}{12}$ come nel caso uniforme, quindi $M_{e_q}=\sum_iP(x\in I_i)\frac{\Delta_i^2}{12}$: conviene avere $\Delta_i$ piccolo dove $P(x\in I_i)$ è grande. Quindi si infittiscono gli intervalli sotto i picchi della densità, e si allargano nelle zone a bassa probabilità (code).

Il livello migliore all'interno di un intervallo è la media condizionata $a_{q,i}=E[x\mid x\in I_i]$: infatti $\frac{d}{dc}\int_{I_i}(a-c)^2p_x(a)\,da=-2\int_{I_i}(a-c)p_x(a)\,da=0$ dà $c=\frac{\int_{I_i}a\,p_x}{\int_{I_i}p_x}$. Per densità simmetriche nell'intervallo è il centro.

Intervalli equiprobabili. Un'altra scelta è mettere le soglie in modo che tutti i livelli escano con la stessa probabilità $\frac1L$: la soglia $t_k$ soddisfa $F_x(t_k)=\frac kL$. Per una gaussiana $\mathcal N(0,\sigma^2)$ con $L=4$ le soglie sono $0$ e $\pm Q^{-1}\big(\frac14\big)\sigma=\pm0{,}6745\,\sigma$ (ciascuno dei quattro intervalli ha probabilità $\frac14$). Quando i livelli sono equiprobabili l'entropia dell'uscita è la massima possibile, $\log_2L$, e la codifica a lunghezza fissa è già ottima (Entropia - informazione di un evento, disuguaglianza di Jensen e valore massimoL'informazione di un evento di probabilità $P$ è $i=\log_2\frac1P$ bit (zero per l'evento certo, additiva per eventi indipendenti). L'entropia di una variabile aleatoria discreta è l'informazione media, $H(x)=E[i_x(x)]=\sum_aP_x(a)\log_2\frac1{P_x(a)}$; vale $0\le H(x)\le\log_2M$ con $M$ cardinalità dell'alfabeto, e il massimo $\log_2M$ si raggiunge se e solo se i simboli sono equiprobabili (dimostrazione con la disuguaglianza di Jensen, perché il logaritmo è strettamente concavo).Entropia - informazione di un evento, disuguaglianza di Jensen e valore massimo →).

Compressione ed espansione (companding)

Un modo semplice di ottenere gradini non uniformi è la cascata di tre blocchi:

1. un blocco non lineare con caratteristica $y=\mu(x)$, il compressore, che "schiaccia" i valori grandi;
2. un quantizzatore uniforme applicato a $y$;
3. all'arrivo, l'espansore, caratteristica inversa $\mu^{-1}$, che ripristina la scala.

Intervalli uguali sull'asse $y$ corrispondono, riportati su $x$ attraverso la curva, a intervalli diseguali: la pendenza $\mu'(x)$ è grande vicino all'origine, dove i gradini in $x$ risultano stretti ($\Delta_x\simeq\Delta_y/\mu'(x)$), e piccola lontano, dove sono larghi. L'insieme compressore + quantizzatore uniforme è dunque un quantizzatore non uniforme.

Esempio (legge $\mu$ della telefonia). La caratteristica standard per segnali in $[-1,1]$ è $y=\operatorname{sgn}(x)\frac{\ln(1+\mu|x|)}{\ln(1+\mu)}$ con $\mu=255$ (non è data nelle slide: è un esempio di scelta di $\mu(x)$). Si quantizzano $y$ in $4$ intervalli uguali per segno, soglie $y=0,\ \frac14,\ \frac12,\ \frac34,\ 1$. Invertendo, $x=\frac{(1+\mu)^y-1}{\mu}=\frac{256^y-1}{255}$:

soglia $y$	$0$	$0{,}25$	$0{,}5$	$0{,}75$	$1$
soglia $x$	$0$	$0{,}0118$	$0{,}0588$	$0{,}2471$	$1$

Le larghezze degli intervalli in $x$ sono $0{,}0118,\ 0{,}0471,\ 0{,}188,\ 0{,}753$: il più largo è $64$ volte il più stretto. Un campione piccolo (per esempio $0{,}005$) è rappresentato con passo $0{,}0118$, uno grande con passo $0{,}75$. Con la scala uniforme i quattro intervalli sarebbero tutti larghi $0{,}25$. (Calcoli verificati con Python: $256^{1/4}=4$, $256^{1/2}=16$, $256^{3/4}=64$.)

Trasformazione digitale. Lo stesso effetto si ottiene lavorando sui bit: si quantizza finemente in modo uniforme con $L=2^8$ livelli e poi si raggruppano gli intervalli adiacenti in $L'=2^3$ gruppi non uniformi: pochi intervalli fini vicino a $0$ (gruppi stretti) e molti lontano (gruppi larghi). A ciascun gruppo si assegna una parola di $3$ bit (per esempio $000$ al primo gruppo a sinistra dello zero, $001$ al successivo). È la forma usata nella telefonia digitale.

La conversione A-D

Un convertitore analogico-digitale combina le due operazioni di questo capitolo:

1. il campionatore produce $s(nT_s)$ ogni $T_s$ secondi (Campionamento e interpolazione - mantenimento, lineare e idealeIl campionamento ricava da s(t) la sequenza s_c(mT) = s(mT); l'interpolazione ricostruisce s(t) = Σ s_c(mT) h(t − mT) con la risposta impulsiva h dell'interpolatore: mantenimento (rect su [0,T]), lineare (triangolo) o ideale h(t) = sinc(t/T). Il teorema del campionamento garantisce la ricostruzione esatta con la sinc se T è abbastanza piccolo, cioè F_s = 1/T ≥ 2B per un segnale di banda B. La coppia campionatore-interpolatore è una codifica-decodifica di sorgente senza perdite se il teorema è rispettato.Campionamento e interpolazione - mantenimento, lineare e ideale →);
2. il quantizzatore traduce ogni campione in $b$ bit.

Se ogni campione ha $b$ bit e i bit escono uno dopo l'altro, il tempo di bit è $T_b=\frac{T_s}{b}$ e il bit rate all'uscita del quantizzatore è $$R_b=\frac1{T_b}=\frac{b}{T_s}=b\,F_s\quad[\text{bit/s}].$$ Esempi: telefonia, $F_s=8$ kHz e $b=8$ bit danno $64$ kbit/s; CD audio stereo, $44{,}1$ kHz con $16$ bit su $2$ canali, $44\,100\cdot16\cdot2=1{,}4112$ Mbit/s. Se i bit vengono poi trasmessi con una modulazione con $M$ simboli, ogni simbolo porta $\log_2M$ bit e per non accumulare ritardo il bit rate della modulazione deve uguagliare quello del quantizzatore, $\frac{\log_2M}{T}=R_b$, da cui il periodo di simbolo $T=\frac{\log_2M}{R_b}$ (Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'erroreLa QAM trasmette due PAM indipendenti su due portanti in quadratura: $s_m(t)=\alpha_{m,I}h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)-\alpha_{m,Q}h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)$ con $\alpha\in{\pm1,\pm3,\dots}$ e $M=2^{2b}$ ($2b$ bit per simbolo). La base è $\phi_{1,2}\propto h_{Tx}\cos,,-h_{Tx}\sin$ con energia $\frac{E_h}2$, i punti stanno su una griglia $\sqrt M\times\sqrt M$ con $d_{\min}=\sqrt{2E_h}$ ed $E_s=\frac{M-1}{3}E_h$. Con $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$: $P[E]=4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q-4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)^2q^2$, con $\frac{E_h}{2\sigma_I^2}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{2(M-1)}$. Con Gray su ogni asse $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'errore →).

Esercizio svolto

Una sorgente emette campioni indipendenti con densità $$p_x(a)=\begin{cases}A\,e^{-a}&a\ge0\\4A\,e^{2a}&a<0.\end{cases}$$

(1) Valore di $A$. La densità deve integrare a $1$: $$A\Big[\int_0^{+\infty}e^{-a}da+\int_{-\infty}^04e^{2a}da\Big]=A\,[\,1+2\,]=3A=1\ \Longrightarrow\ A=\frac13.$$ ($\int_{-\infty}^04e^{2a}da=4\cdot\frac12=2$.)

(2) Media. $E[x]=\int_{-\infty}^0a\,\frac43e^{2a}da+\int_0^{+\infty}a\,\frac13e^{-a}da=-\frac13+\frac13=0$ (per parti: $\int_0^\infty ae^{-a}da=1$ e $\int_{-\infty}^0ae^{2a}da=-\frac14$).

(3) Quantizzatore uniforme con $P_{sat}\le10^{-3}$ e $\Lambda_q\ge15$ dB.

• Saturazione. Le code sono $P(x>v)=\frac13e^{-v}$ e $P(x<-v)=\int_{-\infty}^{-v}\frac43e^{2a}da=\frac23e^{-2v}$. Con $y=e^{-v}$ si impone $$\frac13y+\frac23y^2=10^{-3}\ \Longrightarrow\ y=2{,}98\cdot10^{-3}\ \Longrightarrow\ v_{sat}=-\ln y=5{,}82$$ (un valore maggiore garantirebbe meno saturazione ma più errore granulare; si prende il più piccolo che rispetta il vincolo). La lezione riporta $y=2{,}75\cdot10^{-3}$ e $v_{sat}\simeq5{,}8$: il conto esatto dà $5{,}815$, la differenza non cambia il seguito.
• Potenza. A media nulla $\sigma_x^2=M_x=\int a^2p_x=\frac13\cdot2+\frac43\cdot\frac28=\frac23+\frac13=1$ (per parti: $\int_0^\infty a^2e^{-a}da=2$, $\int_{-\infty}^0a^2e^{2a}da=\frac14$).
• Bit. $c=20\log_{10}\frac1{5{,}815}+4{,}77=-15{,}29+4{,}77=-10{,}52$ e $b\ge\frac{15+10{,}52}{6{,}02}=4{,}24\Rightarrow b=5$. Allora $L=2^5=32$ livelli e $\Delta=\frac{2\cdot5{,}815}{32}=0{,}363$; con $b=5$ la specifica è superata: $\Lambda_q=-10{,}52+30{,}1=19{,}6$ dB (con $b=4$ sarebbe $13{,}6$ dB, insufficiente). Mappatura: un bit di segno e $4$ bit di modulo.

(4) Bit rate. Un campione ogni $T_s=0{,}3$ s, $5$ bit per campione: $R_b=\frac5{0{,}3}=16{,}7$ bit/s.

(5) 16-QAM e periodo di simbolo. Ogni simbolo porta $\log_2 16=4$ bit, quindi $\frac4T=R_b\Rightarrow T=\frac{4}{16{,}7}=0{,}24$ s (pari a $\frac45\cdot0{,}3$ s: un simbolo ogni $0{,}8$ campioni).

(6) Scelta della modulazione. Data l'energia media per simbolo $E_s$ trasmessa e la potenza del rumore su un canale AWGN, il numero $M$ di simboli si trova imponendo $P_{bit}(M,E_s/\sigma_w^2)\le10^{-2}$ (la $P_{bit}$ cresce con $M$, quindi si prende il massimo $M$ che rispetta il vincolo), e poi il periodo di simbolo dal punto (5) con $\log_2M$ (Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'erroreLa QAM trasmette due PAM indipendenti su due portanti in quadratura: $s_m(t)=\alpha_{m,I}h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)-\alpha_{m,Q}h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)$ con $\alpha\in{\pm1,\pm3,\dots}$ e $M=2^{2b}$ ($2b$ bit per simbolo). La base è $\phi_{1,2}\propto h_{Tx}\cos,,-h_{Tx}\sin$ con energia $\frac{E_h}2$, i punti stanno su una griglia $\sqrt M\times\sqrt M$ con $d_{\min}=\sqrt{2E_h}$ ed $E_s=\frac{M-1}{3}E_h$. Con $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$: $P[E]=4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q-4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)^2q^2$, con $\frac{E_h}{2\sigma_I^2}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{2(M-1)}$. Con Gray su ogni asse $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'errore →).

Esercizi svolti

• Quantizzatore non uniforme con $3$ livelli equiprobabili e densità a tratti: Esercizio - quantizzatore con densità a tratti, 4-QAM di Gray e quantizzatore non uniforme (primo compitino del 29 novembre 2024, es. 184).
• Confronto tra entropia di un quantizzatore uniforme ed equiprobabile e bit rate: Esercizio - quantizzatore con densità esponenziale a due lati, codice di Shannon, 64-QAM e Hamming (compito del 23 gennaio 2026, es. 198).

Domande d'esame

1. Perché si usano quantizzatori non uniformi? Come si calcola la potenza dell'errore? Per avere gradini fini dove i campioni sono più probabili. $M_{e_q}=\sum_iM_{e_{q,i}}P(x\in I_i)$ con $M_{e_{q,i}}=E[(x-a_{q,i})^2\mid x\in I_i]$.
2. Disegnare lo schema di un compander e dire cosa fa. Compressore $\mu(x)$, quantizzatore uniforme, espansore: gradini stretti vicino a $0$, larghi lontano.
3. Un segnale a $5$ kHz di banda è campionato a $2B$ e quantizzato con $8$ bit. Quanti bit/s escono? $F_s=10$ kHz, $R_b=8\cdot10^4=80$ kbit/s.