Segnali a tempo continuo - sinusoidi, rect e trasformazioni dell'asse dei tempi

Un segnale è una grandezza fisica (tensione, corrente, campo) che varia nel tempo e trasporta informazione: la voce al microfono, la tensione che pilota un'antenna, la sequenza di bit di un file. Matematicamente è una funzione del tempo $s(t)$. Questa nota fissa il vocabolario e gli strumenti di calcolo sull'asse dei tempi, che servono in tutto il resto del corso (campionamento, energia, modulazioni). La teoria dei segnali generale è in Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioniUn segnale a tempo continuo è una funzione complessa di variabile reale $s:\mathbb R\to\mathbb C$ (reale se $s=s^*$). Si descrive con parte reale e immaginaria oppure con modulo e fase (valore principale in $(-\pi,\pi]$). Sui segnali si fanno tre operazioni elementari: ribaltamento $s(-t)$, traslazione $s(t-t_0)$ e cambio di scala $s(at)$. Ogni segnale si scompone in una parte pari e una dispari, in una reale e una immaginaria, in una hermitiana e una antihermitiana. Estensione e durata dicono dove il segnale è diverso da zero; i segnali con estensione nel semiasse positivo sono causali.Segnali a tempo continuo - definizioni e trasformazioni → e Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenzialiI segnali di uso più frequente sono la costante, la sinusoide $A_0\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ e l'esponenziale complesso $Ae^{i2\pi f_0t}$ (periodici, a potenza finita), il gradino $\mathbf 1(t)$ e il segno, e gli impulsi a energia finita: $\operatorname{rect}$ (area $D$), $\operatorname{tri}$, $\operatorname{sinc}$ (area $1$), la gaussiana $e^{-\pi t^2}$ e gli esponenziali smorzati. Per ciascuno si sanno a memoria forma, area ed energia; gli altri segnali si ottengono da questi con traslazioni, scalature, somme e differenze.Segnali notevoli - gradino, rect, tri, sinc ed esponenziali →; per le trasformazioni dell'asse dei tempi anche Trasformazioni elementari e simmetrie dei segnaliRibaltamento $x(-t)$, traslazione $x(t-t_0)$ e scala $x(t/a)$ permettono di costruire ogni segnale a partire da pochi modelli ($\operatorname{rect}$, $\Lambda$, $u$). L'ordine di scala e traslazione conta. Un segnale si scompone in parte pari e dispari, reale e immaginaria, hermitiana e antihermitiana; la ripetizione periodica $\operatorname{rep}_{T}x$ costruisce segnali periodici.Trasformazioni elementari e simmetrie dei segnali → e Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puriUn segnale continuo è periodico di periodo T se x(t+T)=x(t); $e^{j2\pi f_0t}$ ha periodo minimo $1/|f_0|$ e una somma di periodici è periodica solo se il rapporto dei periodi è razionale. A tempo discreto $e^{j2\pi\nu n}$ è periodico solo se $\nu$ è razionale, e le pulsazioni che differiscono di $2\pi$ sono lo stesso segnale: ogni sinusoide si riporta alla forma canonica con $\omega\in[0,\pi]$.Segnali periodici, sinusoidi ed esponenziali immaginari puri →.

Segnali a tempo continuo o discreto, a valori continui o discreti

Due scelte indipendenti descrivono un segnale.

• Analogico: tempo continuo e valori continui, per esempio $s(t)$ la tensione di un microfono.
• Digitale: tempo discreto e valori discreti, per esempio la sequenza dei bit $b(kT)$ con $b\in\{0,1\}$ e $T_{bit}$ la durata di un bit.
• Un segnale a tempo discreto si scrive $x(kT)$: se è la temperatura misurata una volta al giorno, $T=1$ giorno e $k$ è la data. Passare dal continuo al discreto è il campionamento (Campionamento e interpolazione - mantenimento, lineare e idealeIl campionamento ricava da s(t) la sequenza s_c(mT) = s(mT); l'interpolazione ricostruisce s(t) = Σ s_c(mT) h(t − mT) con la risposta impulsiva h dell'interpolatore: mantenimento (rect su [0,T]), lineare (triangolo) o ideale h(t) = sinc(t/T). Il teorema del campionamento garantisce la ricostruzione esatta con la sinc se T è abbastanza piccolo, cioè F_s = 1/T ≥ 2B per un segnale di banda B. La coppia campionatore-interpolatore è una codifica-decodifica di sorgente senza perdite se il teorema è rispettato.Campionamento e interpolazione - mantenimento, lineare e ideale →); discretizzare anche i valori è la quantizzazione (Quantizzazione uniforme - saturazione, errore granulare e SNR di quantizzazioneUn quantizzatore uniforme a L = 2^b livelli e range [−v_sat, v_sat] ha passo Δ = 2v_sat/L. L'errore e = x − x^(q) è di saturazione fuori range (illimitato, da rendere raro con P_sat piccola) e granulare dentro (|e| ≤ Δ/2, uniforme con potenza Δ²/12). L'SNR di quantizzazione Λ_q = E[x²]/E[e²] vale in decibel 20log₁₀(σ_x/v_sat) + 4,77 + 6,02·b: ogni bit in più dà 6 dB. Per b minimo che garantisce una specifica: ⌈(specifica − c)/6,02⌉ con c = 20log₁₀(σ_x/v_sat) + 4,77.Quantizzazione uniforme - saturazione, errore granulare e SNR di quantizzazione →).

La sinusoide

L'esempio più importante di segnale analogico è $$s(t)=A\cos(2\pi f_0t+\varphi_0),\qquad t\in\mathbb R,$$ con $A$ l'ampiezza, $f_0$ la frequenza (in Hz) e $\varphi_0$ la fase iniziale. Il valore all'istante $0$ è $s(0)=A\cos\varphi_0$. Il segnale si ripete uguale quando l'argomento del coseno aumenta di $2\pi$: se all'istante $t$ vale $A\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$, il primo istante successivo in cui assume lo stesso valore con la stessa pendenza è quello in cui $2\pi f_0\,\Delta t=2\pi$, cioè $$\Delta t=\frac1{f_0}=T\qquad\text{(periodo).}$$ Esempio: con $f_0=1$ kHz il periodo è $T=1$ ms. Una fase $\varphi_0\neq0$ non cambia il periodo, trasla la sinusoide: $A\cos\big(2\pi f_0t+\varphi_0\big)=A\cos\big(2\pi f_0(t+\tfrac{\varphi_0}{2\pi f_0})\big)$ è un coseno anticipato. Il seno è un coseno con fase $-\frac\pi2$.

Un bit per periodo. Si può trasmettere un bit in ogni periodo del coseno scegliendo l'ampiezza: bit $0\Rightarrow A=1$, bit $1\Rightarrow A=-1$ (con $\varphi_0=0$). Per la sequenza $0,0,1$ si disegna un coseno con picco $+1$ per due periodi e poi un coseno ribaltato. Il ricevitore distingue i bit dal segno dell'ampiezza.

Il rettangolo e il triangolo

Per descrivere impulsi di durata finita si usano due segnali elementari.

Definizione (rettangolo). $$\operatorname{rect}(t)=\begin{cases}1&t\in\left[-\frac12,\frac12\right]\\0&\text{altrove}\end{cases}$$ È un impulso di altezza $1$ e larghezza $1$, centrato in $0$. Il numero $3\operatorname{rect}(t)$ è lo stesso impulso con altezza $3$.

Definizione (triangolo). $$\operatorname{triang}(t)=\begin{cases}t+1&t\in[-1,0)\\1-t&t\in[0,1]\\0&\text{altrove}\end{cases}=1-|t|\ \text{ per }|t|\le1.$$ Altezza $1$ in $t=0$, base $2$ (da $-1$ a $1$), simmetrico.

L'argomento della funzione ($t$ dentro $\operatorname{rect}(t)$) può essere una qualsiasi espressione lineare di $t$: è la chiave di tutte le trasformazioni.

Finestratura. Un coseno su un solo periodo (nullo fuori) si ottiene moltiplicando per un rettangolo: $$y(t)=\cos(2\pi f_0t)\,\operatorname{rect}\Big(\frac{t-T/2}{T}\Big),\qquad T=\frac1{f_0}.$$ Il rettangolo vale $1$ quando il suo argomento sta in $\left[-\frac12,\frac12\right]$. Si risolve la disequazione: $$-\frac12\le\frac{t-T/2}{T}\le\frac12\ \Longleftrightarrow\ -\frac T2\le t-\frac T2\le\frac T2\ \Longleftrightarrow\ 0\le t\le T.$$ (Controllo sui due estremi: $\frac{t-T/2}{T}=\frac12\Rightarrow t=T$; $\frac{t-T/2}{T}=-\frac12\Rightarrow t=0$.) Quindi $y(t)$ è proprio un periodo di coseno su $[0,T]$ e vale $0$ altrove.

Traslazione e scalamento dell'asse dei tempi

Dato un segnale $s(t)$, le due operazioni elementari sono le seguenti.

• Traslazione (ritardo): $y(t)=s(t-t_0)$. Per $t_0>0$ la forma d'onda si sposta a destra di $t_0$. Conferma: $y(t_0)=s(t_0-t_0)=s(0)$, cioè quello che $s$ fa in $0$ lo fa $y$ in $t_0$; mentre $y(0)=s(-t_0)$.
• Scalamento: $y(t)=s\big(\frac tA\big)$ con $A>0$. L'altezza non cambia ($y(0)=s(0)$), l'asse dei tempi si dilata di $A$ se $A>1$ (e si comprime se $A<1$): $y(A\,b)=s\big(\frac{Ab}{A}\big)=s(b)$, quindi il punto $b$ di $s$ finisce in $Ab$. Un segnale con supporto $[-B,B]$ e $A=2$ ha supporto $[-2B,2B]$: $y(2B)=s(B)$, $y(B)=s(B/2)$.

Composizione. Per $y(t)=s\Big(\dfrac{t-t_0}{A}\Big)$ si procede in due passi nell'ordine: prima si scala, $z(t)=s\big(\frac tA\big)$, poi si trasla $z$: $$y(t)=z(t-t_0)=s\Big(\frac{t-t_0}{A}\Big).$$ Se invece si traslasse $s$ e poi si scalasse si otterrebbe $s\big(\frac{t}{A}-t_0\big)$, che è un'altra cosa. Esempio con $s=\operatorname{rect}$, $A=T$, $t_0=\frac T2$: $\operatorname{rect}\big(\frac tT\big)$ è un rettangolo largo $T$ centrato in $0$ (base $[-\frac T2,\frac T2]$), traslato di $\frac T2$ diventa $\operatorname{rect}\big(\frac{t-T/2}{T}\big)$ con base $[0,T]$ (è la finestra di sopra).

Metodo rapido. Per capire dove sta un impulso $s(\text{arg}(t))$ si risolve $\text{arg}(t)\in$ supporto di $s$ (per $\operatorname{rect}$: $[-\frac12,\frac12]$, per $\operatorname{triang}$: $[-1,1]$), e il centro si trova ponendo $\text{arg}(t)=0$.

Esempio (triangoli).

1. $\operatorname{triang}\big(\frac{t-2}{3}\big)$: supporto $-1\le\frac{t-2}{3}\le1\Rightarrow-1\le t\le5$; centro in $t=2$ (argomento nullo), altezza $1$, base $6$.
2. $\operatorname{triang}\big(\frac53-\frac t4\big)$: argomento nullo per $t=\frac{20}3$; supporto $-1\le\frac53-\frac t4\le1\Rightarrow\frac83\le t\le\frac{32}3$. Il segno meno ribalta l'asse dei tempi, ma il triangolo è pari, quindi il risultato è come $\operatorname{triang}\big(\frac{t-20/3}{4}\big)$: centro $\frac{20}3$, base $8$, altezza $1$.
3. $3\operatorname{triang}\big(\frac{t-2+3t}{5}\big)=3\operatorname{triang}\big(\frac{4t-2}{5}\big)=3\operatorname{triang}\Big(\frac{t-1/2}{5/4}\Big)$: centro $\frac12$, semibase $\frac54$ (supporto $[-\frac34,\frac74]$), altezza $3$.

Un segnale trasmesso è una somma di impulsi

Il segnale emesso da un trasmettitore digitale si costruisce con un impulso base $z(t)$ ripetuto una volta per periodo e pesato da un coefficiente. Nell'esempio del coseno a un periodo per bit, $z(t)=\cos(2\pi f_0t)\operatorname{rect}\big(\frac{t-T/2}{T}\big)$ e la sequenza di ampiezze $a_m$ ($a_m=+A$ per il bit $0$, $-A$ per il bit $1$) dà $$s_{Tx}(t)=\sum_{m=0}^{4}a_m\,z(t-mT).$$ Il termine $m$ è l'impulso base ritardato di $mT$ (il periodo con indice $m$) e moltiplicato per $a_m$. Per i bit $0,0,1,0,1$ si ha $a=(A,A,-A,A,-A)$.

È la struttura di ogni modulazione digitale lineare: l'informazione sta nei coefficienti $a_m$, la forma dell'onda in $z(t)$ (Modulazione digitale - trasmettitore, bit map e canale AWGNIl trasmettitore digitale ha due blocchi: la bit map raggruppa $\log_2M$ bit in un simbolo $a_m\in{1,\dots,M}$ (periodo $T=T_b\log_2M$) e il modulatore associa a ogni simbolo una forma d'onda $s_{a_m}(t)$, così $s_{Tx}(t)=\sum_ms_{a_m}(t-mT)$; l'insieme delle $M$ forme d'onda è la segnalazione. Il canale ideale lascia il segnale com'è, il canale AWGN lo scala di $A$ e somma il rumore bianco gaussiano $w(t)$, il canale multipath somma echi ritardati: i suoi due effetti sono la deformazione delle forme d'onda ($s'_m$) e l'interferenza intersimbolica. Il ricevitore ha un demodulatore digitale che decide $\hat a_m$ e una bit demap.Modulazione digitale - trasmettitore, bit map e canale AWGN →).

Il canale AWGN

Nella catena di comunicazione i bit $b_\ell$ (con periodo di bit $T_b$ e $\ell$ indice del periodo) entrano nel trasmettitore, che produce $s_{Tx}(t)$; il segnale attraversa il canale e arriva al ricevitore come $r(t)$, da cui si ricavano i bit stimati $\hat b_\ell$. Il modello di canale usato nel corso è il canale AWGN (additive white Gaussian noise, rumore gaussiano bianco additivo): $$r(t)=A\,s_{Tx}(t-t_0)+w(t).$$

• $A$ è l'attenuazione di ampiezza ($A<1$ se il segnale si indebolisce) e $t_0$ il ritardo di propagazione, $t_0=\frac{\text{distanza TX-RX}}{c}$, con $c\simeq3\cdot10^8$ m/s la velocità della luce (per $3$ km, $t_0=10\ \mu$s).
• $w(t)$ è il rumore: per ogni istante $t$ è una variabile gaussiana a media nulla e varianza $\sigma^2$, e $w(t_1)$, $w(t_2)$ sono indipendenti per $t_1\ne t_2$ (rumore "bianco"); le proprietà della gaussiana sono in Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione QUna v.a. continua ha funzione di distribuzione F_x(a) = P(x ≤ a) e densità f_x(a) = dF_x/da ≥ 0 con integrale 1; P(A ≤ x ≤ B) = F_x(B) − F_x(A) = ∫_A^B f_x e P(x = A) = 0. Uniforme U([a,b]): densità 1/(b−a), media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Esponenziale unilatera di media m: (1/m)e^(−a/m), a ≥ 0. Gaussiana N(m, σ²): P(x ≥ A) = Q((A − m)/σ), con Q(A) coda della gaussiana standard. Somme di gaussiane indipendenti sono gaussiane (medie e varianze si sommano); teorema del limite centrale.Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione Q →.

Quanto è buona la comunicazione dipende dal rapporto tra segnale utile $A\,s_{Tx}$ e rumore: è l'oggetto di Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibelL'energia di un segnale è E_s = ∫s²(t)dt (a tempo discreto Σs²(mT)), si misura in V²s, vale α²E_s se il segnale è moltiplicato per α; un impulso triangolare di altezza A e base B ha E = A²B/3, un rettangolo di altezza A e durata T ha A²T. La potenza media si usa per segnali che durano sempre (sinusoide: A²/2). Con simboli aleatori si calcola l'energia media pesando con le probabilità. Sul canale AWGN l'energia media del rumore su [0,T] è σ²T e SNR = E_su/E_w = A²E_sTx/E_w, che in decibel è 10log₁₀ del rapporto (A² vale 20log₁₀A dB; dBW e dBm sono potenze rispetto a 1 W e 1 mW).Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibel →.

Esercizi svolti

• Esercizio - onde quadre, segnali a gradini ed energia di impulsi rect e triangolari (esercizi del corso, cap. 2, es. 12-17): scrivere un segnale come somma di $\operatorname{rect}$ traslati e scalati.

Domande d'esame

1. Che differenza c'è tra segnale analogico e digitale? Analogico: tempo continuo e valori continui; digitale: tempo discreto e valori discreti.
2. Scrivere con $\operatorname{rect}$ un impulso di altezza $A$ su $[0,T]$ e dire dove si trova $\operatorname{triang}\big(\frac{t-2}{3}\big)$. $A\operatorname{rect}\big(\frac{t-T/2}{T}\big)$; centro in $2$, supporto $[-1,5]$, altezza $1$.
3. Qual è l'ordine delle operazioni in $s\big(\frac{t-t_0}{A}\big)$? Prima lo scalamento $s(t/A)$, poi la traslazione di $t_0$: il centro finisce in $t_0$ e le larghezze si moltiplicano per $A$.