Esercizio - combinazioni lineari di variabili gaussiane (esercizi del corso, cap. 2, es. 8 e 10)

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Teoria usata: Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione QUna v.a. continua ha funzione di distribuzione F_x(a) = P(x ≤ a) e densità f_x(a) = dF_x/da ≥ 0 con integrale 1; P(A ≤ x ≤ B) = F_x(B) − F_x(A) = ∫A^B f_x e P(x = A) = 0. Uniforme U([a,b]): densità 1/(b−a), media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Esponenziale unilatera di media m: (1/m)e^(−a/m), a ≥ 0. Gaussiana N(m, σ²): P(x ≥ A) = Q((A − m)/σ), con Q(A) coda della gaussiana standard. Somme di gaussiane indipendenti sono gaussiane (medie e varianze si sommano); teorema del limite centrale.Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione Q →, Probabilità per le telecomunicazioni - eventi e variabili aleatorie discreteGli eventi hanno probabilità tra 0 e 1 e P(x∪y) = P(x) + P(y) − P(x∩y). Una variabile aleatoria discreta ha un alfabeto A_x e una densità p_x(a) = P(x = a) con somma 1. Si definiscono probabilità condizionata, indipendenza (p{x,y}(a,b) = p_x(a)p_y(b)), valore atteso E(x) = m_x, potenza M_x = E(x²), varianza σ_x² con M_x = m_x² + σ_x²; l'aspettazione è lineare e per variabili indipendenti E(xy) = E(x)E(y).Probabilità per le telecomunicazioni - eventi e variabili aleatorie discrete →, Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →, Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →.

Le regole sono tre.

1. Una combinazione lineare di variabili congiuntamente gaussiane è gaussiana: basta calcolarne media e varianza.
2. La media è lineare sempre: $E(\alpha x+\beta y+\gamma)=\alpha\mu_x+\beta\mu_y+\gamma$.
3. La varianza: $\operatorname{Var}(\alpha x+\beta y)=\alpha^2\sigma_x^2+\beta^2\sigma_y^2+2\alpha\beta\operatorname{cov}(x,y)$. Se le variabili sono indipendenti (o incorrelate: per le gaussiane è equivalente) la covarianza è nulla e si sommano solo i termini $\alpha^2\sigma^2$. Una costante additiva non cambia la varianza.

Il testo dell'es. 8 non dice che $x$ e $y$ sono indipendenti, ma la soluzione del corso assume (e il contesto del capitolo suggerisce) che lo siano: in caso contrario i risultati cambierebbero per il termine $2\alpha\beta\operatorname{cov}(x,y)$. Qui si assume l'indipendenza.

Esercizio 8

• (1) $x+y$. Media $\mu_x+\mu_y$. Varianza $\sigma_x^2+\sigma_y^2$ (coefficienti $1$ e $1$, quindi $1^2\sigma_x^2+1^2\sigma_y^2$). Quindi $x+y\sim\mathcal N\big(\mu_x+\mu_y,\ \sigma_x^2+\sigma_y^2\big)$.
• (2) $x-y$. Media $\mu_x-\mu_y$. Varianza $1^2\sigma_x^2+(-1)^2\sigma_y^2=\sigma_x^2+\sigma_y^2$: le varianze si sommano anche quando si sottrae, perché il coefficiente è al quadrato. $x-y\sim\mathcal N\big(\mu_x-\mu_y,\ \sigma_x^2+\sigma_y^2\big)$.
• (3) $2x-3y$. Media $2\mu_x-3\mu_y$. Varianza $2^2\sigma_x^2+(-3)^2\sigma_y^2=4\sigma_x^2+9\sigma_y^2$. $2x-3y\sim\mathcal N\big(2\mu_x-3\mu_y,\ 4\sigma_x^2+9\sigma_y^2\big)$.
• (4) $3x+4$. Media $3\mu_x+4$. Varianza $3^2\sigma_x^2=9\sigma_x^2$ (la costante $4$ trasla la campana ma non la allarga). $3x+4\sim\mathcal N\big(3\mu_x+4,\ 9\sigma_x^2\big)$.

Controllo con numeri. Con $\mu_x=1$, $\sigma_x^2=4$, $\mu_y=-2$, $\sigma_y^2=9$ (valori scelti per il confronto): $x+y\sim\mathcal N(-1,\,13)$, $x-y\sim\mathcal N(3,\,13)$, $2x-3y\sim\mathcal N(8,\,16+81=97)$, $3x+4\sim\mathcal N(7,\,36)$. Una simulazione Monte Carlo con $10^6$ estrazioni indipendenti (Python) ha dato medie campionarie entro $0{,}02$ e varianze campionarie entro lo $0{,}3\%$ da questi valori.

Esercizio 10

Si riconosce la struttura. $y$ è una combinazione lineare di variabili gaussiane indipendenti $x_0,\dots,x_{N-1}$ con coefficienti $\alpha_k$, quindi è gaussiana. Basta calcolare media e varianza.

• Media: $E(y)=\sum_{k=0}^{N-1}\alpha_kE(x_k)=0$, perché ogni $x_k$ ha media nulla.
• Varianza: essendo le $x_k$ indipendenti, la varianza della somma è la somma delle varianze $\alpha_k^2\sigma^2$: $$\sigma_y^2=\sum_{k=0}^{N-1}\alpha_k^2\,\sigma^2=0{,}1\sum_{k=0}^{N-1}(0{,}25^k)^2=0{,}1\sum_{k=0}^{N-1}0{,}0625^k.$$ È una somma geometrica di ragione $r=0{,}0625=0{,}25^2$, per cui $\sum_{k=0}^{N-1}r^k=\frac{1-r^N}{1-r}$: $$\sigma_y^2=0{,}1\,\frac{1-0{,}0625^N}{1-0{,}0625}.$$
• Per $N=1$ c'è un solo termine, $\alpha_0=1$: $\sigma_y^2=0{,}1\cdot1=0{,}1$, cioè $y=x_0\sim\mathcal N(0;\,0{,}1)$.
• Per $N=10$: $0{,}0625^{10}=9{,}1\cdot10^{-13}$ è trascurabile, quindi $\sigma_y^2=\frac{0{,}1}{0{,}9375}=0{,}10667$, cioè $y\sim\mathcal N(0;\,0{,}1067)$. Il valore a $N\to\infty$ è lo stesso: i termini con $k\ge2$ contano pochissimo ($\alpha_1^2=0{,}0625$, $\alpha_2^2=0{,}0039$).

La soluzione del corso riporta $0{,}106$ per $N=10$: è $0{,}10667$ troncato invece che arrotondato ($0{,}107$).

Errori comuni

• Sottrarre le varianze per $x-y$ (il segno meno scompare con il quadrato).
• Dimenticare il quadrato del coefficiente: $2x-3y$ ha varianza $4\sigma_x^2+9\sigma_y^2$, non $2\sigma_x^2+3\sigma_y^2$.
• Sommare le deviazioni standard invece delle varianze nell'es. 8, o usare $\alpha_k$ e non $\alpha_k^2$ nell'es. 10.
• Aggiungere $4^2$ alla varianza di $3x+4$: le costanti additive cambiano solo la media.
• Usare queste regole con variabili correlate senza il termine $2\alpha\beta\operatorname{cov}(x,y)$.