Esercizio - costellazione rettangolare a quattro punti, ricevitore a due rami e probabilità di decisione corretta (esercizi del corso, cap. 3, es. 26)

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Teoria usata: Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →, Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →, Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanzaIl demodulatore digitale proietta il segnale ricevuto sulla base ortonormale della segnalazione: $r_i=\langle r,\phi_i\rangle=s_{a_0,i}+w_i$, cioè $\mathbf r=\mathbf s_{a_0}+\mathbf w$. Con rumore bianco gaussiano le componenti $w_i$ sono gaussiane a media nulla, scorrelate e quindi indipendenti, tutte con varianza $\sigma_I^2=N_0/2$: $\mathbf r|{a_0=m}$ è una nuvola gaussiana circolare centrata su $\mathbf s_m$. La parte di rumore fuori dallo spazio dei segnali (le componenti $w{I+1},\dots$) non porta informazione e si butta via: è il teorema di irrilevanza, che vale se le componenti scartate sono indipendenti da quelle usate e dal simbolo trasmesso.Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanza →, Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione QUna v.a. continua ha funzione di distribuzione F_x(a) = P(x ≤ a) e densità f_x(a) = dF_x/da ≥ 0 con integrale 1; P(A ≤ x ≤ B) = F_x(B) − F_x(A) = ∫_A^B f_x e P(x = A) = 0. Uniforme U([a,b]): densità 1/(b−a), media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Esponenziale unilatera di media m: (1/m)e^(−a/m), a ≥ 0. Gaussiana N(m, σ²): P(x ≥ A) = Q((A − m)/σ), con Q(A) coda della gaussiana standard. Somme di gaussiane indipendenti sono gaussiane (medie e varianze si sommano); teorema del limite centrale.Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione Q →.

(1) Ricevitore e regioni

I quattro punti hanno $M=4$ ma stanno in un piano: $I=2$. Il ricevitore più efficiente usa $I=2$ rami (correlatori o filtri adattati alle due funzioni di base) anziché $M=4$ (Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →); i due campioni $\mathbf r=[x,y]$ entrano nel blocco decisionale. Simboli equiprobabili e AWGN: minima distanza. I confini sono gli assi dei segmenti:

• tra $\mathbf s_1$ e $\mathbf s_2$ (orizzontale, punti medi in $(0,B)$): la retta $x=0$;
• tra $\mathbf s_1$ e $\mathbf s_4$ (verticale): $y=0$;
• tra $\mathbf s_1$ e $\mathbf s_3$ (diagonale): la retta $Ax+By=0$, che passa per l'origine; ma è nascosta dagli altri due confini perché i punti con $x>0,y>0$ sono già più vicini a $\mathbf s_1$ che a $\mathbf s_3$.

Le quattro regioni sono i quattro quadranti: $$\mathcal R_1=\{x>0,\ y>0\},\quad\mathcal R_2=\{x<0,\ y>0\},\quad\mathcal R_3=\{x<0,\ y<0\},\quad\mathcal R_4=\{x>0,\ y<0\}.$$ Le decisioni sul segno di $x$ e di $y$ sono indipendenti: per questo il ricevitore equivale a due decisori binari (uno per ciascun ramo).

(2) Probabilità di decisione corretta

Se è stato trasmesso $\mathbf s_1$: $x=A+w_1$, $y=B+w_2$, con $w_1,w_2$ gaussiane indipendenti di varianza $\sigma_I^2$ (Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanzaIl demodulatore digitale proietta il segnale ricevuto sulla base ortonormale della segnalazione: $r_i=\langle r,\phi_i\rangle=s_{a_0,i}+w_i$, cioè $\mathbf r=\mathbf s_{a_0}+\mathbf w$. Con rumore bianco gaussiano le componenti $w_i$ sono gaussiane a media nulla, scorrelate e quindi indipendenti, tutte con varianza $\sigma_I^2=N_0/2$: $\mathbf r|{a_0=m}$ è una nuvola gaussiana circolare centrata su $\mathbf s_m$. La parte di rumore fuori dallo spazio dei segnali (le componenti $w{I+1},\dots$) non porta informazione e si butta via: è il teorema di irrilevanza, che vale se le componenti scartate sono indipendenti da quelle usate e dal simbolo trasmesso.Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanza →). Si decide bene se $\mathbf r\in\mathcal R_1$: $$P[C|\mathbf s_1]=P[A+w_1>0,\ B+w_2>0]=P[w_1>-A]\,P[w_2>-B]=\left[1-Q\left(\frac A{\sigma_I}\right)\right]\left[1-Q\left(\frac B{\sigma_I}\right)\right],$$ dove si è usata l'indipendenza e $P[w>-a]=1-P[w<-a]=1-Q\left(\frac a\sigma\right)$ (per simmetria, $P[w>-a]=P[w<a]=1-Q\left(\frac a\sigma\right)$; Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione QUna v.a. continua ha funzione di distribuzione F_x(a) = P(x ≤ a) e densità f_x(a) = dF_x/da ≥ 0 con integrale 1; P(A ≤ x ≤ B) = F_x(B) − F_x(A) = ∫_A^B f_x e P(x = A) = 0. Uniforme U([a,b]): densità 1/(b−a), media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Esponenziale unilatera di media m: (1/m)e^(−a/m), a ≥ 0. Gaussiana N(m, σ²): P(x ≥ A) = Q((A − m)/σ), con Q(A) coda della gaussiana standard. Somme di gaussiane indipendenti sono gaussiane (medie e varianze si sommano); teorema del limite centrale.Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione Q →). I quattro punti hanno la stessa distanza dagli assi, quindi per simmetria $P[C|\mathbf s_m]$ è la stessa per $m=1,\dots,4$ e coincide con $P[C]$: $$P[C]=\left[1-Q\left(\frac A{\sigma_I}\right)\right]\left[1-Q\left(\frac B{\sigma_I}\right)\right].$$

(3) Probabilità di errore sul bit

Con $\sigma_I=1$: $Q(2{,}3)=0{,}010724$ e $Q(5)=2{,}87\cdot10^{-7}$. Quindi $$P[C]=(1-0{,}010724)(1-2{,}87\cdot10^{-7})=0{,}98928,\qquad P[E]=1-P[C]=Q(2{,}3)+Q(5)-Q(2{,}3)Q(5)=1{,}0724\cdot10^{-2}.$$ Per passare al bit si usa la codifica di Gray ($\log_24=2$ bit per simbolo): bit $b_1$ legato al segno di $x$ e $b_2$ a quello di $y$, per esempio $\mathbf s_1=00$, $\mathbf s_2=10$, $\mathbf s_3=11$, $\mathbf s_4=01$ (due punti adiacenti differiscono in un solo bit). Allora $b_1$ è sbagliato se $w_1$ riporta $x$ al segno opposto (probabilità $Q(A/\sigma_I)$) e $b_2$ se lo fa $w_2$ (probabilità $Q(B/\sigma_I)$): $$P_{bit}=\frac12\left[Q\left(\frac A{\sigma_I}\right)+Q\left(\frac B{\sigma_I}\right)\right]=\frac12\left(0{,}010724+2{,}9\cdot10^{-7}\right)=5{,}36\cdot10^{-3}.$$ È uguale, in questo caso, all'approssimazione $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}=\frac{1{,}0724\cdot10^{-2}}2=5{,}36\cdot10^{-3}$ (la soluzione del corso riporta $5\cdot10^{-3}$, valore arrotondato). Si noti che il termine con $Q(5)$ non conta: la dimensione "larga" ($B=5$) è praticamente senza errori, e l'errore è dominato da $A=2{,}3$.