Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazione

Qui si calcola, per la prima volta in modo completo, quanto spesso sbaglia un ricevitore digitale. Si parte dal caso più semplice, $M=2$ segnali, perché tutto si riduce a una sola funzione, la $Q$. Le note successive (Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union boundCon $M>2$ segnali ogni simbolo porta $\log_2M$ bit. La probabilità d'errore si limita con la union bound: $P[E\mid m]\le\sum_{m'\ne m}Q\left(\frac{d_{m',m}}{2\sigma_I}\right)$, da cui $\frac{N_{\min}}{M},Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)$ ($d_{\min}$ distanza minima della costellazione, $N_{\min}$ numero di punti che hanno un vicino a quella distanza). Modulazioni ortogonali (PPM): $d=\sqrt{2E_s}$ per ogni coppia, $P[E]\le(M-1)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)$. Biortogonali ($M/2$ ortogonali più i loro opposti): $P[E]\le(M-2)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)+Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\right)$.Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union bound →, Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'erroreNella PAM i segnali sono un impulso $h_{Tx}(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh_{Tx}(t)$. La base è $\phi_1=\frac{h_{Tx}}{\sqrt{E_h}}$, i punti sono $\alpha_m\sqrt{E_h}$ su una retta, $d_{\min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}{3}E_h$. I due simboli esterni sbagliano da una parte sola, gli $M-2$ interni da due: $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{M^2-1}}\right)$. Con la codifica di Gray (simboli adiacenti differiscono per un bit) $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'errore →, Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'erroreLa QAM trasmette due PAM indipendenti su due portanti in quadratura: $s_m(t)=\alpha_{m,I}h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)-\alpha_{m,Q}h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)$ con $\alpha\in{\pm1,\pm3,\dots}$ e $M=2^{2b}$ ($2b$ bit per simbolo). La base è $\phi_{1,2}\propto h_{Tx}\cos,,-h_{Tx}\sin$ con energia $\frac{E_h}2$, i punti stanno su una griglia $\sqrt M\times\sqrt M$ con $d_{\min}=\sqrt{2E_h}$ ed $E_s=\frac{M-1}{3}E_h$. Con $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$: $P[E]=4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q-4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)^2q^2$, con $\frac{E_h}{2\sigma_I^2}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{2(M-1)}$. Con Gray su ogni asse $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'errore →) usano gli stessi ingredienti.

Si suppone di avere già visto il modello: trasmettitore con bit map e canale AWGN (Modulazione digitale - trasmettitore, bit map e canale AWGNIl trasmettitore digitale ha due blocchi: la bit map raggruppa $\log_2M$ bit in un simbolo $a_m\in{1,\dots,M}$ (periodo $T=T_b\log_2M$) e il modulatore associa a ogni simbolo una forma d'onda $s_{a_m}(t)$, così $s_{Tx}(t)=\sum_ms_{a_m}(t-mT)$; l'insieme delle $M$ forme d'onda è la segnalazione. Il canale ideale lascia il segnale com'è, il canale AWGN lo scala di $A$ e somma il rumore bianco gaussiano $w(t)$, il canale multipath somma echi ritardati: i suoi due effetti sono la deformazione delle forme d'onda ($s'm$) e l'interferenza intersimbolica. Il ricevitore ha un demodulatore digitale che decide $\hat a_m$ e una bit demap.Modulazione digitale - trasmettitore, bit map e canale AWGN →), base ortonormale e coordinate (Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →), rumore proiettato sulla base (Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanzaIl demodulatore digitale proietta il segnale ricevuto sulla base ortonormale della segnalazione: $r_i=\langle r,\phi_i\rangle=s{a_0,i}+w_i$, cioè $\mathbf r=\mathbf s_{a_0}+\mathbf w$. Con rumore bianco gaussiano le componenti $w_i$ sono gaussiane a media nulla, scorrelate e quindi indipendenti, tutte con varianza $\sigma_I^2=N_0/2$: $\mathbf r|{a_0=m}$ è una nuvola gaussiana circolare centrata su $\mathbf s_m$. La parte di rumore fuori dallo spazio dei segnali (le componenti $w{I+1},\dots$) non porta informazione e si butta via: è il teorema di irrilevanza, che vale se le componenti scartate sono indipendenti da quelle usate e dal simbolo trasmesso.Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanza →) e regole di decisione (Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →).

Versione per Ing. Elettronica: Modulazione binaria - correlazione, distanza e probabilità di erroreDue segnali $s_1,s_2$ hanno costellazione $\mathbf s_1=(\sqrt{E_1},0)$, $\mathbf s_2=(\rho\sqrt{E_2},\sqrt{E_2(1-\rho^2)})$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}\in[-1,1]$ e distanza $d_{1,2}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$. Con AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{1,2}}{2\sigma_I}\right)$. A parità di energia $E_s$ il minimo errore si ha per $\rho=-1$ (antipodale: $Q\left(\sqrt{2E_s/N_0}\right)$); per $\rho=0$ (ortogonale) $Q\left(\sqrt{E_s/N_0}\right)$, 3 dB peggio.Modulazione binaria - correlazione, distanza e probabilità di errore →. Versione per Ing. delle Telecomunicazioni: Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →.*

Notazione

• $s_1(t),s_2(t)$: i due segnali, con coordinate $\underline s_1,\underline s_2$ nella base ortonormale $\phi_1,\dots,\phi_I$; energie $E_{s_1},E_{s_2}$.
• $\underline r=\underline s_m+\underline w$: vettore ricevuto (punto di decisione). Le componenti $w_i$ del rumore sono gaussiane, a media nulla, indipendenti, tutte con varianza $\sigma_I^2$ (in alcuni fogli del corso si scrive $\sigma_w^2$: è la stessa grandezza, la varianza per dimensione). Per rumore bianco con densità di potenza $\frac{N_0}{2}$ vale $\sigma_I^2=\frac{N_0}{2}$.
• $E_s=\mathbb E\left[E_{s_{a_0}}\right]=\frac12E_{s_1}+\frac12E_{s_2}$: energia media della segnalazione (per simbolo). Se il canale attenua, $r(t)=\alpha\,s_{Tx}(t)+w(t)$, e l'energia al ricevitore è $E_s=\alpha^2E_{Tx}$: le formule di questa nota usano sempre l'energia al ricevitore, cioè quella del punto di decisione (Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio liberoIl canale moltiplica il segnale per un fattore $A$ e aggiunge il rumore, che nasce al ricevitore: $r(t)=A,s_{Tx}(t)+w(t)$, con $\frac{E_r}{E_{Tx}}=A^2$. Se $A<1$ c'è attenuazione $a=\frac1A$, in dB $(a^2){dB}=10\log{10}a^2$. Cavo e fibra: attenuazione proporzionale alla lunghezza, $(a^2){dB}=\tilde a\cdot l{km}$ (cavo in rame: $\tilde a$ cresce con $\sqrt f$; fibra circa $0{,}2$ dB/km). Radio in spazio libero: $(a){dB}=32{,}4+20\log{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{Tx,dB}-g_{Rx,dB}$. L'energia al ricevitore $E_s=A^2E_{Tx}$ è quella da usare nelle formule di $P[E]$; poiché $P=\frac{E}{T}$, vale $\frac{E_r}{E_{Tx}}=\frac{P_r}{P_{Tx}}$.Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio libero →).
• Simboli equiprobabili, criterio minima distanza (MD), che per AWGN ed equiprobabili coincide con MAP e ML.

La funzione Q

Per una variabile aleatoria gaussiana standard $Z\sim\mathcal N(0,1)$ $$Q(x)=P[Z>x]=\int_x^{+\infty}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}\,dt,$$ cioè l'area della coda destra della campana oltre $x$ (Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione QUna v.a. continua ha funzione di distribuzione F_x(a) = P(x ≤ a) e densità f_x(a) = dF_x/da ≥ 0 con integrale 1; P(A ≤ x ≤ B) = F_x(B) − F_x(A) = ∫_A^B f_x e P(x = A) = 0. Uniforme U([a,b]): densità 1/(b−a), media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Esponenziale unilatera di media m: (1/m)e^(−a/m), a ≥ 0. Gaussiana N(m, σ²): P(x ≥ A) = Q((A − m)/σ), con Q(A) coda della gaussiana standard. Somme di gaussiane indipendenti sono gaussiane (medie e varianze si sommano); teorema del limite centrale.Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione Q →; per la gaussiana in generale Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →). Proprietà usate di continuo:

• $Q$ è decrescente: più $x$ è grande, più piccola è la probabilità di superarlo.
• $Q(0)=\frac12$ e $Q(-x)=1-Q(x)$ per simmetria della campana.
• Se $w\sim\mathcal N(0,\sigma^2)$, allora $P[w>a]=Q\left(\frac a\sigma\right)$ e, per simmetria, $P[w<-a]=Q\left(\frac a\sigma\right)$: si divide sempre per la deviazione standard (non per la varianza).

Valori (calcolati con Python, $Q(x)=\frac12\operatorname{erfc}\left(\frac x{\sqrt2}\right)$):

E, per progettare, i valori inversi $x=Q^{-1}(p)$:

La $Q$ cala molto in fretta: tra $x=3$ e $x=4$ la probabilità si divide per circa $43$. Per questo una piccola variazione di $x$ (cioè di SNR) cambia di molto la $P[E]$.

Probabilità d'errore con due segnali

Si calcola $P[C]=1-P[E]$, probabilità di decisione corretta. Con simboli equiprobabili $$P[C]=\tfrac12P[\hat a_0=1\mid a_0=1]+\tfrac12P[\hat a_0=2\mid a_0=2].$$

Primo termine. Se si trasmette il simbolo 1 il ricevitore decide $\hat a_0=1$ quando $\underline r$ è più vicino a $\underline s_1$ che a $\underline s_2$. Poiché $\underline r=\underline s_1+\underline w$: $$\lVert\underline w\rVert^2\le\lVert\underline s_1-\underline s_2+\underline w\rVert^2=\sum_{i}\left(s_{1,i}-s_{2,i}\right)^2+2\sum_iw_i\left(s_{1,i}-s_{2,i}\right)+\sum_iw_i^2.$$ Il termine $\sum_iw_i^2$ compare a sinistra e a destra e si cancella; resta $$0\le\sum_i(s_{1,i}-s_{2,i})^2+2\sum_iw_i(s_{1,i}-s_{2,i})\iff\underbrace{\sum_iw_i\left(s_{1,i}-s_{2,i}\right)}_{V}\ge-\frac{d^2}{2},$$ dove $d^2=\sum_i(s_{1,i}-s_{2,i})^2=\lVert\underline s_1-\underline s_2\rVert^2$ è la distanza al quadrato tra i due punti. Perché ci interessa $V$: è una combinazione lineare di gaussiane indipendenti, quindi è gaussiana, a media nulla e con varianza $$\operatorname{Var}[V]=\sum_i(s_{1,i}-s_{2,i})^2\,\sigma_I^2=d^2\sigma_I^2 .$$ Standardizzando ($\frac{V}{d\sigma_I}\sim\mathcal N(0,1)$): $$P[\hat a_0=1\mid a_0=1]=P\left[V\ge-\frac{d^2}2\right]=Q\left(-\frac{d^2}{2}\cdot\frac1{d\sigma_I}\right)=Q\left(-\frac{d}{2\sigma_I}\right)=1-Q\left(\frac d{2\sigma_I}\right).$$ Secondo termine. Per simmetria (basta scambiare i ruoli di $\underline s_1$ e $\underline s_2$) vale lo stesso valore. Quindi $P[C]=1-Q\left(\frac d{2\sigma_I}\right)$ e $$\boxed{P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)}$$

Lettura geometrica. Il rumore ha componenti indipendenti in ogni direzione; l'unica che conta è quella lungo il segmento che unisce $\underline s_1$ e $\underline s_2$ (Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanzaIl demodulatore digitale proietta il segnale ricevuto sulla base ortonormale della segnalazione: $r_i=\langle r,\phi_i\rangle=s_{a_0,i}+w_i$, cioè $\mathbf r=\mathbf s_{a_0}+\mathbf w$. Con rumore bianco gaussiano le componenti $w_i$ sono gaussiane a media nulla, scorrelate e quindi indipendenti, tutte con varianza $\sigma_I^2=N_0/2$: $\mathbf r|{a_0=m}$ è una nuvola gaussiana circolare centrata su $\mathbf s_m$. La parte di rumore fuori dallo spazio dei segnali (le componenti $w{I+1},\dots$) non porta informazione e si butta via: è il teorema di irrilevanza, che vale se le componenti scartate sono indipendenti da quelle usate e dal simbolo trasmesso.Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanza →). La soglia di decisione è a distanza $\frac d2$ da ciascun punto, e si sbaglia se quella componente del rumore, di deviazione standard $\sigma_I$, supera $\frac d2$: ecco $Q\left(\frac{d/2}{\sigma_I}\right)$. Le due code (una per ogni simbolo) hanno la stessa area.

Con una sola dimensione. Se la costellazione è sulla retta ($I=1$) si arriva allo stesso risultato senza cancellazioni: $\underline r=s_1+w$, errore se $w>\frac d2$, probabilità $Q\left(\frac{d/2}{\sigma_I}\right)$.

Con due soli simboli ogni errore di simbolo è un errore su un bit, quindi $P_{bit}=P[E]$.

Coefficiente di correlazione

Per avere la distanza a partire dalle forme d'onda, e non dalle coordinate, si usa il coefficiente di correlazione $$\boxed{\rho=\frac{\langle s_1(t),s_2(t)\rangle}{\sqrt{E_{s_1}}\sqrt{E_{s_2}}}\in[-1,1]}\qquad\langle s_1,s_2\rangle=\int s_1(t)s_2(t)\,dt,$$ definito se entrambi i segnali hanno energia non nulla. È il coseno dell'angolo tra i due vettori $\underline s_1,\underline s_2$; $\lvert\rho\rvert\le1$ per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Coordinate. Si sceglie $\phi_1=\frac{s_1}{\sqrt{E_{s_1}}}$ (così $\underline s_1$ sta sull'asse $\phi_1$). La prima coordinata di $s_2$ è $\langle\phi_1,s_2\rangle=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_{s_1}}}=\rho\sqrt{E_{s_2}}$; la seconda si ricava dal fatto che l'energia di $s_2$ è la somma dei quadrati delle coordinate (Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →): $$\underline s_1=\left[\sqrt{E_{s_1}},\,0\right],\qquad\underline s_2=\left[\sqrt{E_{s_2}}\,\rho,\ \sqrt{E_{s_2}-E_{s_2}\rho^2}\right]=\left[\sqrt{E_{s_2}}\,\rho,\ \sqrt{E_{s_2}}\sqrt{1-\rho^2}\right].$$

Distanza. $d^2=\lVert\underline s_2-\underline s_1\rVert^2=E_{s_1}+E_{s_2}-2\langle s_1,s_2\rangle$ (teorema del coseno). Nel caso di energie uguali, $E_{s_1}=E_{s_2}=E_s$ (che è anche l'energia media): $$d^2=2E_s(1-\rho).$$ Sostituendo in $P[E]=Q\left(\frac d{2\sigma_I}\right)$: $$\frac{d}{2\sigma_I}=\frac{\sqrt{2E_s(1-\rho)}}{2\sigma_I}=\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\sqrt{\frac{1-\rho}{2}},\qquad\boxed{P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\sqrt{\frac{1-\rho}{2}}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}(1-\rho)}\right)}$$ (l'ultima forma usa $\sigma_I^2=\frac{N_0}{2}$). Il rapporto $\frac{E_s}{\sigma_I^2}$ è l'SNR; il fattore $\frac{1-\rho}{2}$ dipende solo da come sono disposti i due punti. Se $\rho$ cala, $d$ cresce e $P[E]$ cala. Per il legame tra energia, potenza e SNR in decibel: Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibelL'energia di un segnale è E_s = ∫s²(t)dt (a tempo discreto Σs²(mT)), si misura in V²s, vale α²E_s se il segnale è moltiplicato per α; un impulso triangolare di altezza A e base B ha E = A²B/3, un rettangolo di altezza A e durata T ha A²T. La potenza media si usa per segnali che durano sempre (sinusoide: A²/2). Con simboli aleatori si calcola l'energia media pesando con le probabilità. Sul canale AWGN l'energia media del rumore su [0,T] è σ²T e SNR = E_su/E_w = A²E_sTx/E_w, che in decibel è 10log₁₀ del rapporto (A² vale 20log₁₀A dB; dBW e dBm sono potenze rispetto a 1 W e 1 mW).Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibel →.

Tre casi notevoli

Con $\rho=1$ ($s_1=s_2$) i due simboli non si distinguono: si tira a indovinare, $P[E]=0{,}5$, inutile per comunicare.

Quanto vale la differenza. Per ottenere la stessa $P[E]$ gli ortogonali hanno bisogno di un argomento della $Q$ uguale, cioè di $\frac{E_s}{2\sigma_I^2}=\frac{E_s'}{\sigma_I^2}$: energia doppia, cioè $10\log_{10}2\simeq3$ dB in più. Esempio: per $P[E]=10^{-3}$ serve $Q^{-1}(10^{-3})=3{,}090$, quindi $\frac{E_s}{\sigma_I^2}=3{,}090^2=9{,}55$ ($9{,}8$ dB) per gli antipodali e $2\cdot9{,}55=19{,}1$ ($12{,}8$ dB) per gli ortogonali. Valori della $P[E]$ in funzione dell'SNR (Python):

Esempi di modulazione binaria

BPSK (binary phase-shift keying): $s_1(t)=A\cos(2\pi f_0t)$ e $s_2(t)=-A\cos(2\pi f_0t)=A\cos(2\pi f_0t+\pi)$ per $t\in[0,T]$, nulli altrove. Con $f_0\gg\frac1T$ le energie sono $$E_{s_1}=E_{s_2}=\int_0^TA^2\cos^2(2\pi f_0t)\,dt=\frac{A^2T}{2}+\frac{A^2}{2}\int_0^T\cos(4\pi f_0t)\,dt\simeq\frac{A^2T}{2}=E_s$$ (l'ultimo integrale vale $\frac{\sin(4\pi f_0T)}{4\pi f_0}$, trascurabile rispetto a $T$ se $f_0T\gg1$). I segnali sono antipodali: $\rho=-1$, base $\phi_1=\sqrt{\frac2T}\cos(2\pi f_0t)$, punti $\pm\sqrt{\frac{A^2T}{2}}$, soglia in $0$: $$P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{A^2T}{2\sigma_I^2}}\right).$$ Si trasmette un bit ogni $T$ secondi: bit rate $\frac1T$.

Esempio numerico. $A=2$ V, $T=1\ \mu$s, $\frac{N_0}2=\sigma_I^2=10^{-7}$ V$^2$/Hz. Allora $E_s=\frac{4\cdot10^{-6}}{2}=2\cdot10^{-6}$ V$^2$s, $\frac{E_s}{\sigma_I^2}=20$ ($13$ dB) e $P[E]=Q\left(\sqrt{20}\right)=Q(4{,}47)=3{,}9\cdot10^{-6}$; bit rate $1$ Mbit/s.

Binaria ortogonale con $s_1(t)=A\cos(2\pi f_0t)$, $s_2(t)=A\sin(2\pi f_0t)$ su $[0,T]$: $\langle s_1,s_2\rangle=A^2\int_0^T\cos\sin\,dt=\frac{A^2}{2}\int_0^T\sin(4\pi f_0t)\,dt\simeq0$ per $f_0\gg\frac1T$; stessa energia $\frac{A^2T}{2}$. Quindi $\rho=0$ e $$P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{A^2T}{4\sigma_I^2}}\right).$$ Con i dati dell'esempio precedente: $Q\left(\sqrt{10}\right)=Q(3{,}16)=7{,}8\cdot10^{-4}$: 3 dB peggio della BPSK, a parità di $A$, $T$ e rumore.

Energie diverse. Se $E_{s_1}\ne E_{s_2}$ la formula $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$ vale lo stesso, ma con $d^2=E_{s_1}+E_{s_2}-2\rho\sqrt{E_{s_1}E_{s_2}}$ e senza la comoda forma in $\rho$. Caso estremo, on-off keying: $s_2=0$, $s_1\ne0$: $d=\sqrt{E_{s_1}}$, energia media $E_s=\frac{E_{s_1}}2$, quindi $d^2=2E_s$ e $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)$: come gli ortogonali, a parità di energia media (la soglia è però a $\frac{\sqrt{E_{s_1}}}{2}$, non in $0$).

Ricevitore a un solo ramo

Due punti stanno sempre su una retta. Si costruisce una nuova base con $$\phi_1'(t)=\frac{s_1(t)-s_2(t)}{\lVert s_1(t)-s_2(t)\rVert},\qquad\lVert s_1-s_2\rVert=d.$$ In questa base i due punti hanno la stessa seconda coordinata, cioè tutta l'informazione sta nella prima: $s_{1,1}'=\langle s_1,\phi_1'\rangle$ e $s_{2,1}'=\langle s_2,\phi_1'\rangle$, con $s_{1,1}'-s_{2,1}'=d$. La decisione è a soglia: $$s^*=\frac{s_{1,1}'+s_{2,1}'}{2},\qquad\hat a_0=\begin{cases}1&\langle r(t),\phi_1'(t)\rangle\ge s^*\2&\langle r(t),\phi_1'(t)\rangle<s^*\end{cases}$$ (si decide $1$ se la statistica supera $s^*$, dato che $s_{1,1}'>s_{2,1}'$). Per qualunque modulazione binaria basta quindi un solo correlatore (o un solo filtro adattato a $\phi_1'(t_0-t)$ campionato in $t_0+kT$), invece di uno per ogni elemento della base: è il ricevitore più semplice (Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →). Per la BPSK $s^*=0$.

Errori comuni

• Dividere per $\sigma_I^2$ invece che per $\sigma_I$ nell'argomento della $Q$: l'argomento è $\frac{d}{2\sigma_I}$ (equivalente a $\sqrt{\frac{d^2}{4\sigma_I^2}}$).
• Usare l'energia in trasmissione invece di quella al ricevitore: se c'è attenuazione $E_s=\alpha^2E_{Tx}$.
• Scambiare le due formule notevoli: l'antipodale ha $\sqrt{E_s/\sigma_I^2}$ (non $\sqrt{2E_s/\sigma_I^2}$) quando si usa $\sigma_I^2$; con $N_0$ diventa $\sqrt{2E_s/N_0}$.
• Dimenticare che $E_s$ è l'energia media (con energie diverse non coincide con $E_{s_1}$).
• Usare la $Q(-x)$ senza riportarla a $1-Q(x)$ (nei calcoli numerici di $P[C]$).

Domande d'esame

1. Si ricavi la probabilità d'errore di una modulazione binaria con decisione MD su canale AWGN. Traccia: $P[C]$ come somma pesata; condizione $\lVert\underline r-\underline s_1\rVert\le\lVert\underline r-\underline s_2\rVert$; cancellazione di $\lVert\underline w\rVert^2$; variabile $V=\sum w_i(s_{1,i}-s_{2,i})$ gaussiana di varianza $d^2\sigma_I^2$; $P[E]=Q\left(\frac d{2\sigma_I}\right)$.
2. Confrontare segnali antipodali e ortogonali di uguale energia. Traccia: $d^2=2E_s(1-\rho)$; $\rho=-1$ dà $d=2\sqrt{E_s}$, $\rho=0$ dà $d=\sqrt2\sqrt{E_s}$; argomenti $\sqrt{E_s/\sigma_I^2}$ e $\sqrt{E_s/(2\sigma_I^2)}$; gli ortogonali richiedono il doppio dell'energia, $3$ dB.
3. Perché per una modulazione binaria qualsiasi basta un solo correlatore? Traccia: $\phi_1'\propto s_1-s_2$; i due punti differiscono solo nella prima coordinata; decisione a soglia in $s^*=\frac{s_{1,1}'+s_{2,1}'}{2}$.