Esercizio - 4-PAM irregolare con attenuazione di 20 dB, soglie di decisione e disturbo ortogonale (esercizi del corso, cap. 3, es. 30)

---

Teoria usata: Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'erroreNella PAM i segnali sono un impulso $h_{Tx}(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh_{Tx}(t)$. La base è $\phi_1=\frac{h_{Tx}}{\sqrt{E_h}}$, i punti sono $\alpha_m\sqrt{E_h}$ su una retta, $d_{\min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}{3}E_h$. I due simboli esterni sbagliano da una parte sola, gli $M-2$ interni da due: $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{M^2-1}}\right)$. Con la codifica di Gray (simboli adiacenti differiscono per un bit) $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'errore →, Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →, Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio liberoIl canale moltiplica il segnale per un fattore $A$ e aggiunge il rumore, che nasce al ricevitore: $r(t)=A,s_{Tx}(t)+w(t)$, con $\frac{E_r}{E_{Tx}}=A^2$. Se $A<1$ c'è attenuazione $a=\frac1A$, in dB $(a^2){dB}=10\log{10}a^2$. Cavo e fibra: attenuazione proporzionale alla lunghezza, $(a^2){dB}=\tilde a\cdot l{km}$ (cavo in rame: $\tilde a$ cresce con $\sqrt f$; fibra circa $0{,}2$ dB/km). Radio in spazio libero: $(a){dB}=32{,}4+20\log{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{Tx,dB}-g_{Rx,dB}$. L'energia al ricevitore $E_s=A^2E_{Tx}$ è quella da usare nelle formule di $P[E]$; poiché $P=\frac{E}{T}$, vale $\frac{E_r}{E_{Tx}}=\frac{P_r}{P_{Tx}}$.Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio libero →, Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanzaIl demodulatore digitale proietta il segnale ricevuto sulla base ortonormale della segnalazione: $r_i=\langle r,\phi_i\rangle=s_{a_0,i}+w_i$, cioè $\mathbf r=\mathbf s_{a_0}+\mathbf w$. Con rumore bianco gaussiano le componenti $w_i$ sono gaussiane a media nulla, scorrelate e quindi indipendenti, tutte con varianza $\sigma_I^2=N_0/2$: $\mathbf r|{a_0=m}$ è una nuvola gaussiana circolare centrata su $\mathbf s_m$. La parte di rumore fuori dallo spazio dei segnali (le componenti $w{I+1},\dots$) non porta informazione e si butta via: è il teorema di irrilevanza, che vale se le componenti scartate sono indipendenti da quelle usate e dal simbolo trasmesso.Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanza →, Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →.

(1) Base, costellazione e soglie

Base. Tutti i segnali sono multipli di $h_{Tx}$: una sola dimensione, $\phi_1(t)=\frac{h_{Tx}(t)}{\sqrt{E_h}}$ con $E_h=\int_0^T1^2dt=T=1$ V$^2$s, cioè $\phi_1=h_{Tx}=\operatorname{rect}\left(\frac{t-1/2}{1}\right)$.

Costellazione in trasmissione. Le coordinate sono i coefficienti: $-4,\ -1,\ +1,\ +4$ V$\sqrt{\text{s}}$. Non è una PAM regolare (i punti non sono $\pm1,\pm3$): la spaziatura è $3$ tra $-4$ e $-1$, $2$ tra $-1$ e $1$, $3$ tra $1$ e $4$.

Attenuazione di $20$ dB. Un'attenuazione di $20$ dB sull'energia è un fattore $10^{20/10}=100$, cioè un fattore $\sqrt{100}=10$ sulle ampiezze (Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio liberoIl canale moltiplica il segnale per un fattore $A$ e aggiunge il rumore, che nasce al ricevitore: $r(t)=A,s_{Tx}(t)+w(t)$, con $\frac{E_r}{E_{Tx}}=A^2$. Se $A<1$ c'è attenuazione $a=\frac1A$, in dB $(a^2){dB}=10\log{10}a^2$. Cavo e fibra: attenuazione proporzionale alla lunghezza, $(a^2){dB}=\tilde a\cdot l{km}$ (cavo in rame: $\tilde a$ cresce con $\sqrt f$; fibra circa $0{,}2$ dB/km). Radio in spazio libero: $(a){dB}=32{,}4+20\log{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{Tx,dB}-g_{Rx,dB}$. L'energia al ricevitore $E_s=A^2E_{Tx}$ è quella da usare nelle formule di $P[E]$; poiché $P=\frac{E}{T}$, vale $\frac{E_r}{E_{Tx}}=\frac{P_r}{P_{Tx}}$.Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio libero →). Il canale moltiplica le coordinate per $A=\frac1{10}$. Nel punto di decisione: $$s_1=-0{,}4,\quad s_2=-0{,}1,\quad s_3=+0{,}1,\quad s_4=+0{,}4\quad(\text{V}\sqrt{\text{s}}).$$ Soglie MD (simboli equiprobabili, AWGN: minima distanza, Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →): a metà tra punti adiacenti, $$\theta_{12}=\frac{-0{,}4-0{,}1}{2}=-0{,}25,\qquad\theta_{23}=0,\qquad\theta_{34}=+0{,}25.$$

(2) Ricevitore

La dimensione è $1$: basta un solo ramo. Filtro adattato a $\phi_1$: $h_{Rc}(t)=\phi_1(t_0-t)=\operatorname{rect}\left(\frac{t_0-t-1/2}{1}\right)$, che con $t_0=T=1$ è uguale a $\operatorname{rect}\left(\frac{t-1/2}{1}\right)$ (il rettangolo è simmetrico). Si campiona a $t_0+kT=(k+1)T$ ottenendo $r_k=s_{a_k}+w_k$, con $w_k\sim\mathcal N\left(0,\frac{N_0}{2}\right)$. Regola di decisione: $$\hat a_k=\begin{cases}1&r_k<-0{,}25\\2&-0{,}25\le r_k<0\\3&0\le r_k<0{,}25\\4&r_k\ge0{,}25.\end{cases}$$ (Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →. La varianza del campione di rumore è $\sigma_I^2=\frac{N_0}2=10^{-3}$ V$^2$s perché $\phi_1$ ha energia unitaria.)

(3) Probabilità d'errore

Con $\sigma_I=\sqrt{10^{-3}}=0{,}03162$. Distanze dei punti dalle soglie vicine (nel punto di decisione):

• $s_1=-0{,}4$: errore se $w>0{,}15$ (soglia $-0{,}25$): $Q\left(\frac{0{,}15}{\sigma_I}\right)=Q(4{,}743)$;
• $s_2=-0{,}1$: errore se $w<-0{,}15$ o $w>0{,}1$ (soglie $-0{,}25$ e $0$): $Q(4{,}743)+Q\left(\frac{0{,}1}{\sigma_I}\right)=Q(4{,}743)+Q(3{,}162)$;
• $s_3=+0{,}1$: simmetrico di $s_2$;
• $s_4=+0{,}4$: simmetrico di $s_1$: $Q(4{,}743)$.

Con $Q(4{,}743)=1{,}05\cdot10^{-6}$ e $Q(3{,}162)=7{,}83\cdot10^{-4}$: $$P[E]=\frac14\left[Q(4{,}743)+2\left(Q(4{,}743)+Q(3{,}162)\right)+Q(4{,}743)\right]=Q(4{,}743)+\frac12Q(3{,}162)=1{,}05\cdot10^{-6}+3{,}91\cdot10^{-4}=3{,}92\cdot10^{-4}.$$ Lettura. Il valore è dominato dai due simboli centrali, che distano solo $0{,}1$ dalla soglia centrale, mentre quelli esterni ne distano $0{,}15$. La costellazione ha energia media $E_{s,Tx}=\frac{16+1+1+16}{4}=8{,}5$ V$^2$s e al ricevitore $\frac{8{,}5}{100}=0{,}085$ V$^2$s: SNR $\frac{E_s}{\sigma_I^2}=85$, cioè $19{,}3$ dB. (La soluzione del corso scrive la stessa espressione: $\frac12\left[2Q\left(\frac{0{,}15}{\sigma_I}\right)+Q\left(\frac{0{,}1}{\sigma_I}\right)\right]$, uguale a questa.)

(4) Disturbo $d(t)$ aggiunto

Il disturbo si somma al segnale e al rumore. All'uscita del filtro adattato (correlatore con $\phi_1$) il campione è $r_k=s_{a_k}+w_k+\langle d,\phi_1\rangle$, con $$\langle d,\phi_1\rangle=\int_0^Td(t)\,\phi_1(t)\,dt=\int_0^{T/2}2\cdot1\,dt+\int_{T/2}^T(-2)\cdot1\,dt=1-1=0.$$ Il disturbo è ortogonale alla base della segnalazione: la sua proiezione su $\phi_1$ è nulla e il campione non cambia (Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanzaIl demodulatore digitale proietta il segnale ricevuto sulla base ortonormale della segnalazione: $r_i=\langle r,\phi_i\rangle=s_{a_0,i}+w_i$, cioè $\mathbf r=\mathbf s_{a_0}+\mathbf w$. Con rumore bianco gaussiano le componenti $w_i$ sono gaussiane a media nulla, scorrelate e quindi indipendenti, tutte con varianza $\sigma_I^2=N_0/2$: $\mathbf r|{a_0=m}$ è una nuvola gaussiana circolare centrata su $\mathbf s_m$. La parte di rumore fuori dallo spazio dei segnali (le componenti $w{I+1},\dots$) non porta informazione e si butta via: è il teorema di irrilevanza, che vale se le componenti scartate sono indipendenti da quelle usate e dal simbolo trasmesso.Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanza →: solo le componenti lungo la base contano). La probabilità d'errore non cambia: $P[E]=3{,}92\cdot10^{-4}$.

(Il risultato vale per ogni onda quadra a semiperiodo $\frac T2$ in fase con l'impulso; con una fase diversa la proiezione non sarebbe nulla.)

Verifica con Python

$Q(0{,}15/0{,}03162)=1{,}051\cdot10^{-6}$, $Q(0{,}1/0{,}03162)=7{,}827\cdot10^{-4}$, $P[E]=3{,}924\cdot10^{-4}$; $E_{s,Tx}=8{,}5$, $E_{s,Rx}=0{,}085$.

Errori comuni

• Applicare i $20$ dB come fattore $20$ o $100$ sulle ampiezze: $20$ dB sull'energia sono $100$ in energia e $10$ in ampiezza (le coordinate si dividono per $10$).
• Mettere le soglie a $\pm2$ o a $\pm2{,}5$ nel punto di decisione: vanno calcolate dopo l'attenuazione, a metà tra i punti ricevuti.
• Usare la formula $2\left(1-\frac1M\right)Q$ della PAM regolare: la costellazione non è regolare, vanno contate le code una per una.
• Pensare che il disturbo aumenti l'errore: se è ortogonale alla base non passa dal correlatore.