Esercizio - tre punti a L, regioni di decisione, union bound e costellazione ridotta a due punti (esercizi del corso, cap. 3, es. 28)

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Teoria usata: Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →, Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →, Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union boundCon $M>2$ segnali ogni simbolo porta $\log_2M$ bit. La probabilità d'errore si limita con la union bound: $P[E\mid m]\le\sum_{m'\ne m}Q\left(\frac{d_{m',m}}{2\sigma_I}\right)$, da cui $\frac{N_{\min}}{M},Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)$ ($d_{\min}$ distanza minima della costellazione, $N_{\min}$ numero di punti che hanno un vicino a quella distanza). Modulazioni ortogonali (PPM): $d=\sqrt{2E_s}$ per ogni coppia, $P[E]\le(M-1)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)$. Biortogonali ($M/2$ ortogonali più i loro opposti): $P[E]\le(M-2)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)+Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\right)$.Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union bound →, Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazioneIn una modulazione binaria con rumore AWGN e decisione a minima distanza l'errore avviene solo se la componente di rumore lungo la congiungente dei due punti supera metà distanza: $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$ con $d=\lVert\underline s_1-\underline s_2\rVert$. A parità di energia $E_s$ si ha $d^2=2E_s(1-\rho)$, quindi $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\sqrt{\frac{1-\rho}{2}}\right)$, con $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_{s_1}E_{s_2}}}$ coefficiente di correlazione. Antipodali ($\rho=-1$, BPSK): $Q\left(\sqrt{E_s/\sigma_I^2}\right)$; ortogonali ($\rho=0$): $Q\left(\sqrt{E_s/(2\sigma_I^2)}\right)$, 3 dB peggio; $\rho=1$: $P[E]=\frac12$. Per qualunque modulazione binaria basta un solo ramo del ricevitore, lungo $\phi_1'\propto s_1-s_2$.Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazione →.

Si chiamano $\mathbf s_1=(A,A)$, $\mathbf s_2=(-A,A)$, $\mathbf s_3=(A,-A)$. Rumore: $\sigma_I=10$. Le distanze: $d_{1,2}=2A=100$ (orizzontale), $d_{1,3}=2A=100$ (verticale) e $d_{2,3}=2\sqrt2A=141{,}4$ (diagonale). In unità di $2\sigma_I=20$: $\frac{d_{1,2}}{2\sigma_I}=\frac{d_{1,3}}{2\sigma_I}=5$ e $\frac{d_{2,3}}{2\sigma_I}=5\sqrt2=7{,}07$.

(1) Ricevitore ottimo e regioni di decisione

I tre punti stanno in un piano ($I=2$) e $M=3>I$: il ricevitore più efficiente ha $I=2$ rami (uno per funzione di base) seguiti dal blocco decisionale, anziché $M=3$ filtri adattati (Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →). Equiprobabili + AWGN: minima distanza, confini = assi dei segmenti.

• $\mathbf s_1$ contro $\mathbf s_2$: asse del segmento orizzontale tra $(A,A)$ e $(-A,A)$: la retta $x=0$ ($\mathbf s_1$ per $x>0$).
• $\mathbf s_1$ contro $\mathbf s_3$: la retta $y=0$ ($\mathbf s_1$ per $y>0$).
• $\mathbf s_2$ contro $\mathbf s_3$: asse del segmento tra $(-A,A)$ e $(A,-A)$, che ha pendenza $-1$ e passa per l'origine (punto medio): la retta $y=x$ ($\mathbf s_2$ sopra, per $y>x$).

Le tre rette passano per l'origine, che è equidistante dai tre punti (il triangolo è rettangolo in $\mathbf s_1$ e l'origine è il punto medio dell'ipotenusa). Le regioni: $$\mathcal R_1=\{x>0,\ y>0\},\qquad\mathcal R_2=\{x<0,\ y>x\},\qquad\mathcal R_3=\{y<0,\ y<x\}.$$ Equivalenti alla forma: $\mathcal R_3=\{(x>0,y<0)\cup(x<0,y<x)\}$ e $\mathcal R_2=\{(x<0,y>0)\cup(y<0,y>x)\}$. (Verificato numericamente contro la classificazione al punto più vicino.)

(2) Upper bound alla probabilità d'errore

Si usa la union bound con tutte le distanze (Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union boundCon $M>2$ segnali ogni simbolo porta $\log_2M$ bit. La probabilità d'errore si limita con la union bound: $P[E\mid m]\le\sum_{m'\ne m}Q\left(\frac{d_{m',m}}{2\sigma_I}\right)$, da cui $\frac{N_{\min}}{M},Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)$ ($d_{\min}$ distanza minima della costellazione, $N_{\min}$ numero di punti che hanno un vicino a quella distanza). Modulazioni ortogonali (PPM): $d=\sqrt{2E_s}$ per ogni coppia, $P[E]\le(M-1)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)$. Biortogonali ($M/2$ ortogonali più i loro opposti): $P[E]\le(M-2)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)+Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\right)$.Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union bound →): $$P_e\le\frac1M\sum_{m=1}^M\sum_{n\ne m}Q\left(\frac{d_{n,m}}{2\sigma_I}\right).$$ Ogni coppia compare due volte (una per $m$ e una per $n$): $\mathbf s_1$ ha i vicini $\mathbf s_2,\mathbf s_3$ (distanza $2A$ entrambi), $\mathbf s_2$ ha $\mathbf s_1$ ($2A$) e $\mathbf s_3$ ($2\sqrt2A$), $\mathbf s_3$ ha $\mathbf s_1$ ($2A$) e $\mathbf s_2$ ($2\sqrt2A$). Dunque $$P_e\le\frac13\left[4\,Q(5)+2\,Q(5\sqrt2)\right]=\frac13\left[4\cdot2{,}87\cdot10^{-7}+2\cdot7{,}7\cdot10^{-13}\right]=3{,}82\cdot10^{-7}.$$ Il bound "grossolano" $(M-1)\,Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)=2Q(5)=5{,}7\cdot10^{-7}$ è meno stretto. La soluzione del corso riporta lo stesso risultato ($3{,}82\cdot10^{-7}$, usando $Q(7)=1{,}28\cdot10^{-12}$ al posto di $Q(7{,}07)=7{,}7\cdot10^{-13}$: differenza trascurabile).

(3) Costellazione ridotta a due punti

Tolto $\mathbf s_1=(A,A)$ restano $\mathbf s_2=(-A,A)$ e $\mathbf s_3=(A,-A)$: una modulazione antipodale (i due punti sono opposti rispetto all'origine) lungo la diagonale $y=-x$. L'unico confine è l'asse del segmento: la retta $y=x$, $$\mathcal R_2=\{y>x\},\qquad\mathcal R_3=\{y<x\}.$$ Con due simboli $P_{bit}=P_e=Q\left(\frac d{2\sigma_I}\right)$, $d=2\sqrt2A$: $$P_{bit}=Q\left(\frac{2\sqrt2\cdot50}{2\cdot10}\right)=Q(5\sqrt2)=Q(7{,}07)=7{,}7\cdot10^{-13}.$$ Con l'energia $E_s=2A^2=5000$ il risultato si scrive anche $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{4A^2}{2\sigma_I^2}}\right)$ ($N_0=2\sigma_I^2$): $\sqrt{\frac{10000}{200}}=\sqrt{50}=7{,}07$. (La soluzione del corso riporta $1{,}28\cdot10^{-12}$, che è $Q(7)$; con l'argomento esatto $7{,}07$ il valore è $7{,}7\cdot10^{-13}$.) Togliere il punto $(A,A)$ migliora enormemente le prestazioni: da $\sim4\cdot10^{-7}$ a $\sim10^{-12}$, perché sparisce la coppia a distanza $2A$ e rimane solo la più distante, $2\sqrt2A$. Anche il ricevitore si semplifica: basta un solo ramo, lungo $\phi'=\frac{(1,-1)}{\sqrt2}$ ($\propto\mathbf s_3-\mathbf s_2$), con soglia in $0$.