Esercizio - sei impulsi rettangolari ortogonali, ricevitore a un solo filtro e probabilità d'errore (esercizi del corso, cap. 3, es. 40)

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Teoria usata: Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union boundCon $M>2$ segnali ogni simbolo porta $\log_2M$ bit. La probabilità d'errore si limita con la union bound: $P[E\mid m]\le\sum_{m'\ne m}Q\left(\frac{d_{m',m}}{2\sigma_I}\right)$, da cui $\frac{N_{\min}}{M},Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)$ ($d_{\min}$ distanza minima della costellazione, $N_{\min}$ numero di punti che hanno un vicino a quella distanza). Modulazioni ortogonali (PPM): $d=\sqrt{2E_s}$ per ogni coppia, $P[E]\le(M-1)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)$. Biortogonali ($M/2$ ortogonali più i loro opposti): $P[E]\le(M-2)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)+Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\right)$.Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union bound →, Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →, Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →, Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →, Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazioneIn una modulazione binaria con rumore AWGN e decisione a minima distanza l'errore avviene solo se la componente di rumore lungo la congiungente dei due punti supera metà distanza: $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$ con $d=\lVert\underline s_1-\underline s_2\rVert$. A parità di energia $E_s$ si ha $d^2=2E_s(1-\rho)$, quindi $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\sqrt{\frac{1-\rho}{2}}\right)$, con $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_{s_1}E_{s_2}}}$ coefficiente di correlazione. Antipodali ($\rho=-1$, BPSK): $Q\left(\sqrt{E_s/\sigma_I^2}\right)$; ortogonali ($\rho=0$): $Q\left(\sqrt{E_s/(2\sigma_I^2)}\right)$, 3 dB peggio; $\rho=1$: $P[E]=\frac12$. Per qualunque modulazione binaria basta un solo ramo del ricevitore, lungo $\phi_1'\propto s_1-s_2$.Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazione →.

(1) Le sei forme d'onda

Con $T_0=\frac1{12}$ s $=0{,}0833$ s: $s_n$ è un rettangolo di ampiezza $2$ V e durata $T_0$ centrato in $t_n=\frac{T_0}{2}+2(n-1)T_0$, cioè occupa $\left[2(n-1)T_0,\ 2(n-1)T_0+T_0\right]$:

Sono sei impulsi non sovrapposti (uno per ogni coppia di intervalli di durata $T_0$, con $T_0$ di pausa tra uno e l'altro), distribuiti su $T=12T_0$: una modulazione PPM a $M=6$ (log$_2$6 non è un intero, ma la struttura è quella: Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union boundCon $M>2$ segnali ogni simbolo porta $\log_2M$ bit. La probabilità d'errore si limita con la union bound: $P[E\mid m]\le\sum_{m'\ne m}Q\left(\frac{d_{m',m}}{2\sigma_I}\right)$, da cui $\frac{N_{\min}}{M},Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)$ ($d_{\min}$ distanza minima della costellazione, $N_{\min}$ numero di punti che hanno un vicino a quella distanza). Modulazioni ortogonali (PPM): $d=\sqrt{2E_s}$ per ogni coppia, $P[E]\le(M-1)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)$. Biortogonali ($M/2$ ortogonali più i loro opposti): $P[E]\le(M-2)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)+Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\right)$.Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union bound →).

(2) Ricevitore ottimo

Ortogonalità. I supporti sono disgiunti, quindi $\langle s_n,s_m\rangle=0$ per $n\ne m$. L'energia di ogni segnale è $$E_s=A^2T_0=4\cdot\frac1{12}=\frac13\ \text{V}^2\text{s}=0{,}3333$$ (uguale per tutti: è anche l'energia media). La base ortonormale è $\psi_n(t)=\frac{s_n(t)}{\sqrt{E_s}}=\frac1{\sqrt{T_0}}\operatorname{rect}\left(\frac{t-t_n}{T_0}\right)$, di dimensione $I=6=M$, e $$\underline s_n=\left[0,\dots,0,\underbrace{\sqrt{E_s}}_{\text{posto }n},0,\dots,0\right],\qquad\sqrt{E_s}=0{,}5774\ \text{V}\sqrt{\text{s}}.$$ Struttura. Il ricevitore ha sei rami, uno per funzione di base: filtri adattati $h_n(t)=\psi_n(t_0-t)=\frac1{\sqrt{T_0}}\operatorname{rect}\left(\frac{t_0-t-t_n}{T_0}\right)$, tutti campionati all'istante $t_0=T$ (lo stesso per tutti: un filtro per ogni impulso), che producono i sei numeri $r_1,\dots,r_6$ (Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →). Per la causalità serve $t_0\ge t_6+\frac{T_0}2=11T_0$; con $t_0=T=12T_0$ è soddisfatta.

Regola di decisione. Simboli equiprobabili e AWGN: minima distanza, $\hat a=\arg\min_m\lVert\underline r-\underline s_m\rVert^2$. Poiché tutti i punti hanno la stessa energia, $\lVert\underline r-\underline s_m\rVert^2=\lVert\underline r\rVert^2+E_s-2\sqrt{E_s}\,r_m$ e minimizzare la distanza equivale a massimizzare la componente $r_m$: $$\hat a=\arg\max_m r_m\qquad\left(\mathcal R_m=\{r_m>r_j\ \forall j\ne m\}\right).$$

(3) Un solo filtro

I sei impulsi sono traslati dello stesso rettangolo, quindi i sei filtri adattati sono lo stesso filtro con ritardi diversi. Si usa un solo filtro causale $$h(t)=\frac1{\sqrt{T_0}}\operatorname{rect}\left(\frac{t-T_0/2}{T_0}\right)\quad(\text{impulso di durata }T_0\text{ su }[0,T_0],\ \text{energia }1)$$ e si campiona l'uscita sei volte: il campione preso alla fine dell'$n$-esimo impulso, $t_n'=2(n-1)T_0+T_0=(2n-1)T_0$, vale $r_n$: $$t'=T_0,\ 3T_0,\ 5T_0,\ 7T_0,\ 9T_0,\ 11T_0=0{,}083;\ 0{,}25;\ 0{,}417;\ 0{,}583;\ 0{,}75;\ 0{,}917\ \text{s}.$$ Il decisore sceglie il simbolo con il campione più grande. Lo schema è lo stesso, ma con un filtro solo e un campionatore a istanti fissi (Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →).

(4) Probabilità d'errore

Union bound. Per una modulazione ortogonale con $M$ segnali di energia $E_s$ ($d_{\min}=\sqrt{2E_s}$ per ogni coppia): $$P[E]\le(M-1)\,Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)=(M-1)\,Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)=(M-1)\,Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right),$$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2=0{,}01$, $N_0=0{,}02$. Qui $\frac{E_s}{N_0}=\frac{1/3}{0{,}02}=16{,}67$ (cioè $12{,}2$ dB), $\sqrt{16{,}67}=4{,}0825$: $$P[E]\le5\,Q(4{,}0825)=5\cdot2{,}228\cdot10^{-5}=1{,}11\cdot10^{-4}.$$ Il limite inferiore è $Q(4{,}0825)=2{,}2\cdot10^{-5}$ (con $N_{\min}=M$: $\frac{N_{\min}}MQ$).

Valore esatto (controllo). Se si trasmette $s_m$ si decide bene quando $r_m>r_j$ per ogni $j\ne m$; le sei componenti sono indipendenti, con $r_m=\sqrt{E_s}+w_m$ e $r_j=w_j$ ($j\ne m$). Condizionato a $r_m=y$, la probabilità che i cinque $r_j$ siano tutti minori di $y$ è $\Phi_j(y)^5$ ($\Phi_j$ funzione di distribuzione di $\mathcal N(0,\sigma_I^2)$), quindi $P[C]=\int p_{r_m}(y)\,\Phi_j(y)^5\,dy$. L'integrale numerico (Python) dà $$P[E]_{\text{esatto}}=1{,}086\cdot10^{-4}\quad(\text{contro il bound }1{,}114\cdot10^{-4}):$$ il limite superiore è stretto al $2{,}6\%$ a questo SNR.

La soluzione del corso riporta $5\,Q\left(\sqrt{50/3}\right)=1{,}3\cdot10^{-4}$: l'espressione e il valore dell'argomento ($\sqrt{50/3}=4{,}082$) sono quelli sopra, ma $5Q(4{,}082)$ vale $1{,}11\cdot10^{-4}$ e non $1{,}3\cdot10^{-4}$. (Non cambia l'ordine di grandezza; è un errore di valutazione numerica.)

Verifica con Python

$E_s=0{,}33333$, $\frac{E_s}{N_0}=16{,}667$, $Q(4{,}0825)=2{,}2279\cdot10^{-5}$, bound $5Q=1{,}1139\cdot10^{-4}$; integrale esatto $P[E]=1{,}0860\cdot10^{-4}$.

Errori comuni

• Usare $E_s=A^2T$ (durata $T=1$ s): ogni impulso dura solo $T_0=\frac T{12}$, $E_s=A^2T_0$.
• Usare $d_{\min}=2\sqrt{E_s}$ (antipodali): per segnali ortogonali $d=\sqrt{2E_s}$.
• Scrivere $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\right)$ senza il $2$: $\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}=\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}$.
• Dimenticare che il bound ha il fattore $M-1=5$.
• Usare un campionatore unico per sei filtri diversi senza correggere i ritardi: con un filtro solo i campioni vanno presi a istanti diversi.