Salta al contenuto
Note per Studenti Esercizio - 16-QAM su cavo, SNR di riferimento per una probabilità d'errore e lunghezza massima (esercizi del corso, cap. 3, es. 38)

Esercizio - 16-QAM su cavo, SNR di riferimento per una probabilità d'errore e lunghezza massima (esercizi del corso, cap. 3, es. 38)

In questa pagina 6

Testo (esercizi del corso di Fondamenti di Telecomunicazioni, Ing. Informatica UniPD, capitolo 3, esercizio 38). Un sistema di trasmissione 16-QAM utilizza come impulso di trasmissione hTx(t)=g0rect⁡(tT)h_{Tx}(t)=g_0\operatorname{rect}\left(\frac tT\right) con T=1 μT=1\ \mus, g0=1g_0=1 V. La portante ha frequenza f0=40f_0=40 MHz. Il segnale così generato è trasmesso attraverso un cavo che attenua 1010 dB/km. Al ricevitore il rumore additivo gaussiano ha densità spettrale N02=2⋅10−18\frac{N_0}2=2\cdot10^{-18} V2^2/Hz.

  1. Calcolare la potenza statistica del segnale trasmesso (in V2^2).
  2. Disegnare lo schema del ricevitore ottimo specificandone i parametri.
  3. Il rapporto segnale/rumore di riferimento in ricezione per ottenere Pe=10−5P_e=10^{-5}.
  4. La lunghezza massima del cavo per ottenere la probabilità di errore del punto 3.

Teoria usata: Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'erroreLa QAM trasmette due PAM indipendenti su due portanti in quadratura: $s_m(t)=\alpha_{m,I}h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)-\alpha_{m,Q}h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)$ con $\alpha\in{\pm1,\pm3,\dots}$ e $M=2^{2b}$ ($2b$ bit per simbolo). La base è $\phi_{1,2}\propto h_{Tx}\cos,,-h_{Tx}\sin$ con energia $\frac{E_h}2$, i punti stanno su una griglia $\sqrt M\times\sqrt M$ con $d_{\min}=\sqrt{2E_h}$ ed $E_s=\frac{M-1}{3}E_h$. Con $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$: $P[E]=4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q-4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)^2q^2$, con $\frac{E_h}{2\sigma_I^2}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{2(M-1)}$. Con Gray su ogni asse $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'errore →, Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →, Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio liberoIl canale moltiplica il segnale per un fattore $A$ e aggiunge il rumore, che nasce al ricevitore: $r(t)=A,s_{Tx}(t)+w(t)$, con $\frac{E_r}{E_{Tx}}=A^2$. Se $A<1$ c'è attenuazione $a=\frac1A$, in dB $(a^2){dB}=10\log{10}a^2$. Cavo e fibra: attenuazione proporzionale alla lunghezza, $(a^2){dB}=\tilde a\cdot l{km}$ (cavo in rame: $\tilde a$ cresce con $\sqrt f$; fibra circa $0{,}2$ dB/km). Radio in spazio libero: $(a){dB}=32{,}4+20\log{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{Tx,dB}-g_{Rx,dB}$. L'energia al ricevitore $E_s=A^2E_{Tx}$ è quella da usare nelle formule di $P[E]$; poiché $P=\frac{E}{T}$, vale $\frac{E_r}{E_{Tx}}=\frac{P_r}{P_{Tx}}$.Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio libero →, Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibelL'energia di un segnale è E_s = ∫s²(t)dt (a tempo discreto Σs²(mT)), si misura in V²s, vale α²E_s se il segnale è moltiplicato per α; un impulso triangolare di altezza A e base B ha E = A²B/3, un rettangolo di altezza A e durata T ha A²T. La potenza media si usa per segnali che durano sempre (sinusoide: A²/2). Con simboli aleatori si calcola l'energia media pesando con le probabilità. Sul canale AWGN l'energia media del rumore su [0,T] è σ²T e SNR = E_su/E_w = A²E_sTx/E_w, che in decibel è 10log₁₀ del rapporto (A² vale 20log₁₀A dB; dBW e dBm sono potenze rispetto a 1 W e 1 mW).Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibel →, Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazioneIn una modulazione binaria con rumore AWGN e decisione a minima distanza l'errore avviene solo se la componente di rumore lungo la congiungente dei due punti supera metà distanza: $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$ con $d=\lVert\underline s_1-\underline s_2\rVert$. A parità di energia $E_s$ si ha $d^2=2E_s(1-\rho)$, quindi $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\sqrt{\frac{1-\rho}{2}}\right)$, con $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_{s_1}E_{s_2}}}$ coefficiente di correlazione. Antipodali ($\rho=-1$, BPSK): $Q\left(\sqrt{E_s/\sigma_I^2}\right)$; ortogonali ($\rho=0$): $Q\left(\sqrt{E_s/(2\sigma_I^2)}\right)$, 3 dB peggio; $\rho=1$: $P[E]=\frac12$. Per qualunque modulazione binaria basta un solo ramo del ricevitore, lungo $\phi_1'\propto s_1-s_2$.Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazione →.

(1) Potenza statistica trasmessa

Energia dell'impulso (rettangolo di ampiezza g0g_0 e larghezza TT, centrato in 00): Eh=g02T=10−6E_h=g_0^2T=10^{-6} V2^2s. Per la 16-QAM l'energia media per simbolo è Es,Tx=M−13Eh=5Eh=5⋅10−6E_{s,Tx}=\frac{M-1}{3}E_h=5E_h=5\cdot10^{-6} V2^2s, e la potenza statistica Ms,Tx=Es,TxT=5⋅10−610−6=5 V2(=M−13g02).M_{s,Tx}=\frac{E_{s,Tx}}{T}=\frac{5\cdot10^{-6}}{10^{-6}}=5\ \text{V}^2\quad\left(=\frac{M-1}{3}g_0^2\right).

(2) Ricevitore ottimo

La 16-QAM ha due dimensioni (coseno e seno), quindi due rami. Con f0T=40≫1f_0T=40\gg1 le due portanti sono ortogonali (Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'erroreLa QAM trasmette due PAM indipendenti su due portanti in quadratura: $s_m(t)=\alpha_{m,I}h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)-\alpha_{m,Q}h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)$ con $\alpha\in{\pm1,\pm3,\dots}$ e $M=2^{2b}$ ($2b$ bit per simbolo). La base è $\phi_{1,2}\propto h_{Tx}\cos,,-h_{Tx}\sin$ con energia $\frac{E_h}2$, i punti stanno su una griglia $\sqrt M\times\sqrt M$ con $d_{\min}=\sqrt{2E_h}$ ed $E_s=\frac{M-1}{3}E_h$. Con $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$: $P[E]=4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q-4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)^2q^2$, con $\frac{E_h}{2\sigma_I^2}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{2(M-1)}$. Con Gray su ogni asse $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'errore →), e la base è ϕ1(t)=hTx(t)cos⁡(2πf0t)Eh/2,ϕ2(t)=−hTx(t)sin⁡(2πf0t)Eh/2.\phi_1(t)=\frac{h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)}{\sqrt{E_h/2}},\qquad\phi_2(t)=\frac{-h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)}{\sqrt{E_h/2}}. Ogni ramo ha un filtro adattato (hRch_{Rc} = base ribaltata nel tempo: hRc,i(t)=ϕi(t0−t)h_{Rc,i}(t)=\phi_i(t_0-t)) o, in modo equivalente, un correlatore. La normalizzazione sulla base (Eh/2\sqrt{E_h/2}) è già nelle ϕi\phi_i. L'impulso rect⁡(tT)\operatorname{rect}\left(\frac tT\right) occupa [−T2,T2]\left[-\frac T2,\frac T2\right]: per la causalità del filtro serve t0≥T2t_0\ge\frac T2; si sceglie t0=Tt_0=T (come nella soluzione del corso), e i campioni sono presi a t0+kTt_0+kT. I due campioni (r1,r2)(r_1,r_2) vanno al decisore a minima distanza (griglia 4×44\times4, soglie parallele agli assi in 0,±2Eh0,\pm\sqrt{2E_h}, con EhE_h in ricezione: Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →), che restituisce i 44 bit con la mappatura di Gray per asse. (Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →)

(3) SNR di riferimento per Pe=10−5P_e=10^{-5}

SNR di riferimento. Si definisce Γ=Es/TN0Bmin⁡\Gamma=\frac{E_s/T}{N_0B_{\min}}, rapporto tra la potenza ricevuta e la potenza del rumore nella banda minima. Per la QAM (segnale passa-banda) Bmin⁡=1TB_{\min}=\frac1T, quindi Γ=EsN0(Es energia media in ricezione).\Gamma=\frac{E_s}{N_0}\qquad(E_s\text{ energia media in ricezione}). Probabilità d'errore 16-QAM. Con Eh=3M−1Es=Es5E_h=\frac{3}{M-1}E_s=\frac{E_s}5 e σI2=N02\sigma_I^2=\frac{N_0}{2}: q=Q(Eh2σI2)=Q(Es5N0)=Q(Γ5),P[E]=3q−2,25q2≃3Q(Γ5).q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{5N_0}}\right)=Q\left(\sqrt{\frac\Gamma5}\right),\qquad P[E]=3q-2{,}25q^2\simeq3Q\left(\sqrt{\frac\Gamma5}\right). Si impone P[E]=10−5P[E]=10^{-5}. Con il termine quadratico: 3q−2,25q2=10−5⇒q=3,3334⋅10−63q-2{,}25q^2=10^{-5}\Rightarrow q=3{,}3334\cdot10^{-6} (il termine −2,25q2≃2,5⋅10−11-2{,}25q^2\simeq2{,}5\cdot10^{-11} è trascurabile). Allora Γ5=Q−1(3,3334⋅10−6)=4,504 ⇒ Γ=5⋅4,5042=101,4 ⇒ (Γ)dB=10log⁡10101,4=20,06 dB.\sqrt{\frac\Gamma5}=Q^{-1}(3{,}3334\cdot10^{-6})=4{,}504\ \Rightarrow\ \Gamma=5\cdot4{,}504^2=101{,}4\ \Rightarrow\ (\Gamma)_{dB}=10\log_{10}101{,}4=20{,}06\ \text{dB}. (La soluzione del corso scrive Γ=81⋅54=101,25≈100\Gamma=81\cdot\frac54=101{,}25\approx100: stesso risultato, arrotondato a 100100, 2020 dB.)

(4) Lunghezza massima del cavo

Energia ricevuta necessaria. Es=ΓN0=101,4⋅4⋅10−18=4,06⋅10−16E_s=\Gamma N_0=101{,}4\cdot4\cdot10^{-18}=4{,}06\cdot10^{-16} V2^2s (N0=2⋅2⋅10−18=4⋅10−18N_0=2\cdot2\cdot10^{-18}=4\cdot10^{-18}).

Attenuazione ammessa. L'energia trasmessa è Es,Tx=5⋅10−6E_{s,Tx}=5\cdot10^{-6} V2^2s, quindi a2=Es,TxEs=5⋅10−64,06⋅10−16=1,232⋅1010,(a2)dB=10log⁡10(1,232⋅1010)=100,91 dB.a^2=\frac{E_{s,Tx}}{E_s}=\frac{5\cdot10^{-6}}{4{,}06\cdot10^{-16}}=1{,}232\cdot10^{10},\qquad(a^2)_{dB}=10\log_{10}\left(1{,}232\cdot10^{10}\right)=100{,}91\ \text{dB}. Lunghezza. Il cavo attenua 1010 dB/km (Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio liberoIl canale moltiplica il segnale per un fattore $A$ e aggiunge il rumore, che nasce al ricevitore: $r(t)=A,s_{Tx}(t)+w(t)$, con $\frac{E_r}{E_{Tx}}=A^2$. Se $A<1$ c'è attenuazione $a=\frac1A$, in dB $(a^2){dB}=10\log{10}a^2$. Cavo e fibra: attenuazione proporzionale alla lunghezza, $(a^2){dB}=\tilde a\cdot l{km}$ (cavo in rame: $\tilde a$ cresce con $\sqrt f$; fibra circa $0{,}2$ dB/km). Radio in spazio libero: $(a){dB}=32{,}4+20\log{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{Tx,dB}-g_{Rx,dB}$. L'energia al ricevitore $E_s=A^2E_{Tx}$ è quella da usare nelle formule di $P[E]$; poiché $P=\frac{E}{T}$, vale $\frac{E_r}{E_{Tx}}=\frac{P_r}{P_{Tx}}$.Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio libero →): lmax⁡=100,91 dB10 dB/km=10,09 km≃10 km.l_{\max}=\frac{100{,}91\ \text{dB}}{10\ \text{dB/km}}=10{,}09\ \text{km}\simeq10\ \text{km}. Con Γ=100\Gamma=100 arrotondato (il valore del corso) si ottengono a2=1,25⋅1010a^2=1{,}25\cdot10^{10} (100,97100{,}97 dB) e 10,110{,}1 km: stessa risposta, ≃10\simeq10 km.

Verifica con Python

Eh=10−6E_h=10^{-6}, Ms,Tx=5M_{s,Tx}=5; q=3,3334⋅10−6q=3{,}3334\cdot10^{-6}, Q−1=4,5041Q^{-1}=4{,}5041, Γ=101,43\Gamma=101{,}43 (20,0620{,}06 dB); Es=4,057⋅10−16E_s=4{,}057\cdot10^{-16}; a2=1,2323⋅1010a^2=1{,}2323\cdot10^{10} (100,91100{,}91 dB); l=10,09l=10{,}09 km.

Errori comuni

  • Usare Bmin⁡=12TB_{\min}=\frac1{2T} (banda base) per la QAM: il segnale è passa-banda, Bmin⁡=1TB_{\min}=\frac1T e Γ=EsN0\Gamma=\frac{E_s}{N_0}, non 2EsN0\frac{2E_s}{N_0}.
  • Confondere EhE_h e EsE_s (un fattore 55, 77 dB) o dimenticare che per la QAM è M−13\frac{M-1}3 e non M2−13\frac{M^2-1}3.
  • Prendere N0=N02=2⋅10−18N_0=\frac{N_0}{2}=2\cdot10^{-18}: N0N_0 è il doppio, 4⋅10−184\cdot10^{-18}.
  • Calcolare la lunghezza con dB/km senza passare dall'energia: va prima trovata l'attenuazione totale in dB.

Versione ripasso

Testo. 16-QAM, hTx=g0rect⁡tTh_{Tx}=g_0\operatorname{rect}\frac tT, g0=1g_0=1 V, T=1 μT=1\ \mus, f0=40f_0=40 MHz, cavo 1010 dB/km, N02=2⋅10−18\frac{N_0}2=2\cdot10^{-18}. (1) potenza trasmessa; (2) ricevitore ottimo; (3) SNR di riferimento per Pe=10−5P_e=10^{-5}; (4) lunghezza massima.

(1) Eh=g02T=10−6E_h=g_0^2T=10^{-6}; Es,Tx=M−13Eh=5⋅10−6E_{s,Tx}=\frac{M-1}3E_h=5\cdot10^{-6}; Ms=EsT=5M_s=\frac{E_s}T=5 V². (Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'erroreLa QAM trasmette due PAM indipendenti su due portanti in quadratura: $s_m(t)=\alpha_{m,I}h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)-\alpha_{m,Q}h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)$ con $\alpha\in{\pm1,\pm3,\dots}$ e $M=2^{2b}$ ($2b$ bit per simbolo). La base è $\phi_{1,2}\propto h_{Tx}\cos,,-h_{Tx}\sin$ con energia $\frac{E_h}2$, i punti stanno su una griglia $\sqrt M\times\sqrt M$ con $d_{\min}=\sqrt{2E_h}$ ed $E_s=\frac{M-1}{3}E_h$. Con $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$: $P[E]=4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q-4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)^2q^2$, con $\frac{E_h}{2\sigma_I^2}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{2(M-1)}$. Con Gray su ogni asse $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'errore →)

(2) Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →

  • Due rami: ϕ1=hcos⁡Eh/2\phi_1=\frac{h\cos}{\sqrt{E_h/2}}, ϕ2=−hsin⁡Eh/2\phi_2=\frac{-h\sin}{\sqrt{E_h/2}}, filtri ϕi(t0−t)\phi_i(t_0-t), t0≥T2t_0\ge\frac T2 (corso: TT); decisore a minima distanza, Gray per asse.

(3) Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibelL'energia di un segnale è E_s = ∫s²(t)dt (a tempo discreto Σs²(mT)), si misura in V²s, vale α²E_s se il segnale è moltiplicato per α; un impulso triangolare di altezza A e base B ha E = A²B/3, un rettangolo di altezza A e durata T ha A²T. La potenza media si usa per segnali che durano sempre (sinusoide: A²/2). Con simboli aleatori si calcola l'energia media pesando con le probabilità. Sul canale AWGN l'energia media del rumore su [0,T] è σ²T e SNR = E_su/E_w = A²E_sTx/E_w, che in decibel è 10log₁₀ del rapporto (A² vale 20log₁₀A dB; dBW e dBm sono potenze rispetto a 1 W e 1 mW).Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibel →

  • QAM: Bmin⁡=1TB_{\min}=\frac1T, Γ=EsN0\Gamma=\frac{E_s}{N_0}. q=Q(Γ5)q=Q\left(\sqrt{\frac\Gamma5}\right), P[E]=3q−2,25q2=10−5P[E]=3q-2{,}25q^2=10^{-5}: q=3,33⋅10−6q=3{,}33\cdot10^{-6}, Γ5=4,504\sqrt{\frac\Gamma5}=4{,}504, Γ=101,4=20,06\Gamma=101{,}4=20{,}06 dB.

(4) Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio liberoIl canale moltiplica il segnale per un fattore $A$ e aggiunge il rumore, che nasce al ricevitore: $r(t)=A,s_{Tx}(t)+w(t)$, con $\frac{E_r}{E_{Tx}}=A^2$. Se $A<1$ c'è attenuazione $a=\frac1A$, in dB $(a^2){dB}=10\log{10}a^2$. Cavo e fibra: attenuazione proporzionale alla lunghezza, $(a^2){dB}=\tilde a\cdot l{km}$ (cavo in rame: $\tilde a$ cresce con $\sqrt f$; fibra circa $0{,}2$ dB/km). Radio in spazio libero: $(a){dB}=32{,}4+20\log{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{Tx,dB}-g_{Rx,dB}$. L'energia al ricevitore $E_s=A^2E_{Tx}$ è quella da usare nelle formule di $P[E]$; poiché $P=\frac{E}{T}$, vale $\frac{E_r}{E_{Tx}}=\frac{P_r}{P_{Tx}}$.Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio libero →

  • Es=ΓN0=101,4⋅4⋅10−18=4,06⋅10−16E_s=\Gamma N_0=101{,}4\cdot4\cdot10^{-18}=4{,}06\cdot10^{-16}; a2=5⋅10−64,06⋅10−16=1,23⋅1010=100,9a^2=\frac{5\cdot10^{-6}}{4{,}06\cdot10^{-16}}=1{,}23\cdot10^{10}=100{,}9 dB; l=100,910=10,09l=\frac{100{,}9}{10}=10{,}09 km.

Errori tipici

  • Bmin⁡=12TB_{\min}=\frac1{2T} per la QAM.
  • EsE_s con M2−13\frac{M^2-1}3 (è la PAM); N0N_0 confuso con N02\frac{N_0}2.
  • Lunghezza senza passare dall'attenuazione totale in dB.

Teoria collegata