Quantizzazione uniforme - saturazione, errore granulare e SNR di quantizzazione

Dopo il campionamento (Campionamento e interpolazione - mantenimento, lineare e idealeIl campionamento ricava da s(t) la sequenza s_c(mT) = s(mT); l'interpolazione ricostruisce s(t) = Σ s_c(mT) h(t − mT) con la risposta impulsiva h dell'interpolatore: mantenimento (rect su [0,T]), lineare (triangolo) o ideale h(t) = sinc(t/T). Il teorema del campionamento garantisce la ricostruzione esatta con la sinc se T è abbastanza piccolo, cioè F_s = 1/T ≥ 2B per un segnale di banda B. La coppia campionatore-interpolatore è una codifica-decodifica di sorgente senza perdite se il teorema è rispettato.Campionamento e interpolazione - mantenimento, lineare e ideale →) ogni campione è ancora un numero reale, cioè un'informazione infinita. Per memorizzarlo o trasmetterlo con $b$ bit lo si arrotonda a uno tra $L=2^b$ valori: è la quantizzazione, e la differenza tra il valore vero e quello arrotondato è un errore che non si può eliminare, ma solo rendere piccolo. Qui si studia il quantizzatore uniforme, e si arriva alla formula che lega i bit alla qualità. La versione per le altre lauree è in Quantizzatore uniforme - livelli, mid-riser ed erroriUn quantizzatore mappa i campioni reali su $L=2^b$ livelli. Quello uniforme (PCM) sceglie un range dinamico $[-V_{sat},V_{sat}]$ e un passo $\Delta=\frac{2V_{sat}}L$; nel tipo mid-riser i livelli sono $\pm\frac\Delta2,\pm\frac{3\Delta}2,\dots$ e non c'è lo zero. L'errore $e_q=a_q-a$ ha una parte granulare (in $[-\frac\Delta2,\frac\Delta2]$, circa uniforme, potenza $\frac{\Delta^2}{12}$) e una di saturazione (fuori range). Per renderlo piccolo servono $P_{sat}$ piccola e $L$ grande.Quantizzatore uniforme - livelli, mid-riser ed errori → e SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatoreL'SNR di quantizzazione è $\Lambda_q=\frac{M_a}{M_e}$. Con errore granulare uniforme e saturazione trascurabile vale $\Lambda_q=\frac{\sigma^2}{\Delta^2/12}=3\frac{\sigma^2}{V_{sat}^2},2^{2b}$, cioè $[\Lambda_q]{dB}=6{,}02,b+4{,}77+20\log{10}\frac\sigma{V_{sat}}$: ogni bit in più dà $+6$ dB. Per progettare: $V_{sat}$ dalla probabilità di saturazione ($V_{sat}=\sigma,Q^{-1}\left(\frac{P_{sat}}2\right)$ per un gaussiano), poi $b$ dall'SNR richiesto, arrotondando per eccesso.SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatore → (Ing. Elettronica) e Quantizzazione e rumore di quantizzazioneIl quantizzatore mappa ogni campione reale su uno dei $L=2^b$ livelli. Il quantizzatore uniforme mid-riser ha passo $\Delta=\frac{2v_{sat}}{L}$, soglie multiple di $\Delta$ e livelli multipli dispari di $\frac\Delta2$. L'errore $e_q=a_q-a$ è granulare (in $[-\frac\Delta2,\frac\Delta2]$, circa uniforme, potenza $\frac{\Delta^2}{12}$) o di saturazione (fuori da $[-v_{sat},v_{sat}]$, trascurabile se $P_{sat}$ è piccola). L'SNR è $\Lambda_q=\frac{M_a}{M_{e_q}}$ e, con saturazione trascurabile, $[\Lambda_q]{dB}=6{,}02,b+4{,}77-20\log{10}\frac{v_{sat}}{\sigma_a}$: $+6$ dB per ogni bit.Quantizzazione e rumore di quantizzazione → (Ing. delle Telecomunicazioni). Per le variabili aleatorie usate: Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione QUna v.a. continua ha funzione di distribuzione F_x(a) = P(x ≤ a) e densità f_x(a) = dF_x/da ≥ 0 con integrale 1; P(A ≤ x ≤ B) = F_x(B) − F_x(A) = ∫_A^B f_x e P(x = A) = 0. Uniforme U([a,b]): densità 1/(b−a), media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Esponenziale unilatera di media m: (1/m)e^(−a/m), a ≥ 0. Gaussiana N(m, σ²): P(x ≥ A) = Q((A − m)/σ), con Q(A) coda della gaussiana standard. Somme di gaussiane indipendenti sono gaussiane (medie e varianze si sommano); teorema del limite centrale.Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione Q →; per energie e decibel: Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibelL'energia di un segnale è E_s = ∫s²(t)dt (a tempo discreto Σs²(mT)), si misura in V²s, vale α²E_s se il segnale è moltiplicato per α; un impulso triangolare di altezza A e base B ha E = A²B/3, un rettangolo di altezza A e durata T ha A²T. La potenza media si usa per segnali che durano sempre (sinusoide: A²/2). Con simboli aleatori si calcola l'energia media pesando con le probabilità. Sul canale AWGN l'energia media del rumore su [0,T] è σ²T e SNR = E_su/E_w = A²E_sTx/E_w, che in decibel è 10log₁₀ del rapporto (A² vale 20log₁₀A dB; dBW e dBm sono potenze rispetto a 1 W e 1 mW).Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibel →.

Che cos'è un quantizzatore

Un quantizzatore converte un segnale a valori continui (in $\mathbb R$) in un segnale a valori discreti, presi da un alfabeto finito $\mathcal A_q=\{a_1,\dots,a_N\}$: $$x^{(q)}(mT)=Q\big[x(mT)\big].$$ È una trasformazione istantanea: il valore quantizzato dell'istante $mT$ dipende solo dal campione di quell'istante, non dai precedenti. Il quantizzatore è uniforme se i valori dell'alfabeto sono spaziati linearmente, $\mathcal A_q=\{a_1,\ a_1+\Delta,\ a_1+2\Delta,\dots\}$, e $\Delta$ è il passo di quantizzazione.

Funzione caratteristica

La funzione caratteristica disegna $x^{(q)}$ in funzione di $x$: è una scala a gradini. Si usa il tipo mid-rise (il livello $0$ non esiste: l'origine è una soglia di decisione). Con $L=4$ livelli:

• soglie in $-\Delta,\ 0,\ \Delta$ e range $[-2\Delta,\,2\Delta]$, cioè $v_{sat}=2\Delta$;
• livelli (valori che il quantizzatore restituisce, uno per intervallo, al centro): $-\frac{3\Delta}2,\ -\frac\Delta2,\ +\frac\Delta2,\ +\frac{3\Delta}2$;
• fuori da $[-v_{sat},v_{sat}]$ l'uscita resta ferma sul livello più esterno: è la saturazione.

I livelli si etichettano con $b$ bit nella mappatura modulo e segno: il primo bit è il segno ($0$ per i positivi, $1$ per i negativi) e gli altri bit il modulo. Per $L=4$: $+\frac\Delta2\to00$, $+\frac{3\Delta}2\to01$, $-\frac\Delta2\to10$, $-\frac{3\Delta}2\to11$. Per $L=8$ ($b=3$, $v_{sat}=4\Delta$):

La forma compatta disegna solo l'asse reale con le soglie (tratti verticali) e i livelli (crocette) al centro di ogni intervallo, con vicino la parola di codice.

L'errore di quantizzazione

L'errore di quantizzazione è $$e=x-x^{(q)}=x-Q(x).$$ Ha due componenti molto diverse (si vedono bene nel grafico di $e$ contro $x$: dente di sega dentro il range, retta fuori).

1. Errore di saturazione. Se $x\notin[-v_{sat},v_{sat}]$ l'errore ha $|e|\ge\frac\Delta2$ ed è illimitato (cresce con la distanza da $v_{sat}$). Se $x$ è aleatorio bisogna fare in modo che la probabilità di saturazione $$P_{sat}=P\big(x\notin[-v_{sat},v_{sat}]\big)$$ sia piccola.
2. Errore granulare. Se $x\in[-v_{sat},v_{sat}]$ l'errore sta in $[-\frac\Delta2,\frac\Delta2]$, ed è piccolo se $\Delta$ è piccolo, cioè se $L$ è grande.

Scelta di $v_{sat}$ e probabilità di saturazione

L'obiettivo è la $v_{sat}$ che dà la $P_{sat}$ voluta.

• Segnale a valori limitati in $[-A,A]$: con $v_{sat}=A$ si ha $P_{sat}=0$. Prendere $v_{sat}>A$ non serve a niente, e fa solo aumentare $\Delta=\frac{2v_{sat}}L$ senza ridurre la saturazione. Quindi il valore ottimo è $v_{sat}=A$.
• Gaussiana $x\sim\mathcal N(0,\sigma^2)$: non esiste $v_{sat}<\infty$ con $P_{sat}=0$. Per avere $P_{sat}=c$ si impone, usando le due code, $$P_{sat}=P(|x|>v_{sat})=2Q\Big(\frac{v_{sat}}\sigma\Big)=c\ \Longrightarrow\ v_{sat}=Q^{-1}\Big(\frac c2\Big)\sigma.$$ Esempi: $c=10^{-3}\Rightarrow v_{sat}=3{,}29\,\sigma$; $c=10^{-6}\Rightarrow v_{sat}=4{,}89\,\sigma$.
• Una densità qualunque (esponenziale, laplaciana, a tratti): si risolve $\int_{|a|>v_{sat}}p_x(a)\,da=c$, spesso un'equazione in una sola incognita (Quantizzazione non uniforme, companding e conversione A-DIn un quantizzatore non uniforme gli intervalli I_i hanno larghezze diverse (stretti dove la densità è alta) e la potenza dell'errore è M_e = Σ M_{e_i} P(x ∈ I_i), con M_{e_i} = E[(x − a_qi)² | x ∈ I_i]. Si realizza con il companding (compressore μ(x), quantizzatore uniforme, espansore) o raggruppando gli intervalli di un quantizzatore uniforme fine. Nella conversione A-D con campionamento ogni T_s e b bit per campione, T_b = T_s/b e R_b = b/T_s bit/s. Esempio completo con densità esponenziale a due lati: v_sat, b, bit rate e periodo di simbolo della 16-QAM.Quantizzazione non uniforme, companding e conversione A-D → ha un esempio completo).

Errore granulare: potenza $\Delta^2/12$

Se $L\gg1$ ci sono molti intervalli, $\Delta$ è piccolo e dentro ogni intervallo la densità $p_x(a)$ è praticamente costante. Allora, condizionando al fatto che $x$ cada in uno specifico intervallo, $x$ è uniforme attorno al livello: $$x\sim\mathcal U\Big(\Big[x^{(q)}-\frac\Delta2,\ x^{(q)}+\frac\Delta2\Big]\Big)\ \Longrightarrow\ e=x-x^{(q)}\sim\mathcal U\Big(\Big[-\frac\Delta2,\frac\Delta2\Big]\Big).$$ (La stessa conclusione vale esattamente se la densità è costante a tratti sugli intervalli di quantizzazione.) L'errore è dunque a media nulla e potenza $$E(e)=\int_{-\Delta/2}^{\Delta/2}\frac e\Delta\,de=0,\qquad E(e^2)=\int_{-\Delta/2}^{\Delta/2}\frac{e^2}{\Delta}\,de=\frac{1}{\Delta}\cdot\frac23\Big(\frac\Delta2\Big)^3=\frac{\Delta^2}{12}.$$ La potenza è la stessa in ogni intervallo, quindi è anche la potenza dell'errore granulare totale. Il valore quantizzato è il segnale più un errore additivo: $x^{(q)}=x-e$. Nella lezione si scrive $x^{(q)}=x+e$, ma il segno non cambia nulla perché $e$ è simmetrico attorno a $0$.

SNR di quantizzazione

Si misura la qualità con il rapporto segnale-rumore di quantizzazione, tra la potenza del segnale e quella dell'errore: $$(\text{SNR})_q=\Lambda_q=\frac{E[x^2]}{E[e^2]}.$$ Per un segnale a media nulla $E[x^2]=\sigma_x^2$ (varianza); con media non nulla va usata la potenza $M_x=E[x^2]$. Con $E[e^2]=\frac{\Delta^2}{12}$ e il passo $\Delta=\frac{2v_{sat}}{L}=\frac{2v_{sat}}{2^b}$ (il range $2v_{sat}$ diviso in $L=2^b$ intervalli uguali): $$\Lambda_q=\frac{\sigma_x^2}{\Delta^2/12}=\frac{12\,\sigma_x^2\,2^{2b}}{4v_{sat}^2}=3\Big(\frac{\sigma_x}{v_{sat}}\Big)^22^{2b}.$$ In decibel, con $10\log_{10}3=4{,}77$ e $10\log_{10}2^{2b}=2b\cdot3{,}01=6{,}02\,b$: $$\boxed{(\Lambda_q)_{dB}=10\log_{10}\Lambda_q=20\log_{10}\Big(\frac{\sigma_x}{v_{sat}}\Big)+4{,}77+6{,}02\,b.}$$ Cosa dice la formula:

• ogni bit in più dà $6{,}02$ dB: raddoppia $L$, dimezza $\Delta$, divide per $4$ la potenza dell'errore;
• l'SNR dipende dal rapporto $\frac{\sigma_x}{v_{sat}}$: a $b$ fissato, un segnale "debole" rispetto alla dinamica del quantizzatore viene quantizzato peggio (ogni dimezzamento di $\sigma_x$ costa $6$ dB). Per questo si usano quantizzatori non uniformi (Quantizzazione non uniforme, companding e conversione A-DIn un quantizzatore non uniforme gli intervalli I_i hanno larghezze diverse (stretti dove la densità è alta) e la potenza dell'errore è M_e = Σ M_{e_i} P(x ∈ I_i), con M_{e_i} = E[(x − a_qi)² | x ∈ I_i]. Si realizza con il companding (compressore μ(x), quantizzatore uniforme, espansore) o raggruppando gli intervalli di un quantizzatore uniforme fine. Nella conversione A-D con campionamento ogni T_s e b bit per campione, T_b = T_s/b e R_b = b/T_s bit/s. Esempio completo con densità esponenziale a due lati: v_sat, b, bit rate e periodo di simbolo della 16-QAM.Quantizzazione non uniforme, companding e conversione A-D →);
• la formula vale con l'errore granulare: vale se $P_{sat}$ è piccola e $L$ grande.

Progetto del numero di bit. Per garantire $(\Lambda_q)_{dB}\ge\Lambda_{min}$ si pone $c=20\log_{10}\big(\frac{\sigma_x}{v_{sat}}\big)+4{,}77$ e si risolve $c+6{,}02\,b\ge\Lambda_{min}$: $$b\ge\frac{\Lambda_{min}-c}{6{,}02},\qquad b_{min}=\Big\lceil\frac{\Lambda_{min}-c}{6{,}02}\Big\rceil.$$ Si arrotonda per eccesso perché $b$ è intero (con $b$ più piccolo la specifica non è rispettata).

Esempio 1 (gaussiana, $30$ dB). Segnale $x\sim\mathcal N(0,\sigma^2)$, $P_{sat}=10^{-3}$, $\Lambda_q\ge30$ dB.

• $v_{sat}=Q^{-1}(5\cdot10^{-4})\,\sigma=3{,}29\,\sigma$.
• $c=20\log_{10}\frac{1}{3{,}29}+4{,}77=-10{,}34+4{,}77=-5{,}57$.
• $b\ge\frac{30+5{,}57}{6{,}02}=5{,}91\Rightarrow b=6$, e quindi $L=2^6=64$ livelli, $\Delta=\frac{2\cdot3{,}29\,\sigma}{64}=0{,}103\,\sigma$.
• Verifica: con $b=6$, $\Lambda_q=-5{,}57+36{,}12=30{,}55$ dB $\ge30$; con $b=5$ sarebbe $24{,}5$ dB, insufficiente.

Esempio 2 (uniforme). Se $x\sim\mathcal U([-A,A])$ si sceglie $v_{sat}=A$ e $\sigma_x^2=\frac{(2A)^2}{12}=\frac{A^2}3$, quindi $\frac{\sigma_x}{v_{sat}}=\frac1{\sqrt3}$ e $c=20\log_{10}\frac1{\sqrt3}+4{,}77=0$: $\Lambda_q=2^{2b}$ e $(\Lambda_q)_{dB}=6{,}02\,b$ (per esempio $48{,}2$ dB con $8$ bit). È il caso migliore: tutto il range è sfruttato.

Esempio 3 (probabilità dei livelli). Gaussiana con $L=8$ e $v_{sat}=4\sigma$, quindi $\Delta=\sigma$. La probabilità di un livello è l'area della densità sul suo intervallo (il primo e l'ultimo intervallo comprendono anche la coda di saturazione): $$P\big(\pm\tfrac\Delta2\big)=Q(0)-Q(1)=0{,}3413,\quad P\big(\pm\tfrac{3\Delta}2\big)=Q(1)-Q(2)=0{,}1359,$$ $$P\big(\pm\tfrac{5\Delta}2\big)=Q(2)-Q(3)=0{,}0214,\quad P\big(\pm\tfrac{7\Delta}2\big)=Q(3)=0{,}00135,$$ valori per ciascuno dei due livelli di segno opposto (somma $2(0{,}3413+0{,}1359+0{,}0214+0{,}00135)=1$). Le probabilità sono molto diverse: l'entropia di questa uscita è $2{,}10$ bit, meno dei $3$ bit di una codifica a lunghezza fissa, quindi si può comprimere con un codice di sorgente (Entropia - informazione di un evento, disuguaglianza di Jensen e valore massimoL'informazione di un evento di probabilità $P$ è $i=\log_2\frac1P$ bit (zero per l'evento certo, additiva per eventi indipendenti). L'entropia di una variabile aleatoria discreta è l'informazione media, $H(x)=E[i_x(x)]=\sum_aP_x(a)\log_2\frac1{P_x(a)}$; vale $0\le H(x)\le\log_2M$ con $M$ cardinalità dell'alfabeto, e il massimo $\log_2M$ si raggiunge se e solo se i simboli sono equiprobabili (dimostrazione con la disuguaglianza di Jensen, perché il logaritmo è strettamente concavo).Entropia - informazione di un evento, disuguaglianza di Jensen e valore massimo →, Codici di Shannon, Huffman ed Elias e codifica aritmeticaIl codice di Shannon(-Fano) assegna alla parola $i$ lunghezza $l_i=\lceil-\log_{M_y}p_i\rceil$, soddisfa Kraft-McMillan e ha $H\le L_y<H+1$; è ottimo solo se le probabilità sono potenze di $\frac1{M_y}$. Il codice ottimo (lunghezza media minima) dà parole più lunghe ai simboli meno probabili e ha almeno due parole di lunghezza massima che differiscono solo nell'ultimo simbolo: lo costruisce la procedura di Huffman, che unisce a ogni passo i due nodi meno probabili. Il codice di Elias prende le prime $l_i=\lceil-\log_2p_i\rceil+1$ cifre del punto medio dell'intervallo di ampiezza $p_i$ in $[0,1)$: è a prefisso ma subottimo ($H+1\le L_y<H+2$), e si adatta alla codifica aritmetica adattativa.Codici di Shannon, Huffman ed Elias e codifica aritmetica →).

Esercizi svolti

Temi d'esame in cui la prima domanda è la quantizzazione uniforme:

• Esercizio - quantizzatore per densità esponenziale limitata tra -1 e 1, codice di Shannon e Huffman (esame del 23 gennaio 2024, es. 173)
• Esercizio - quantizzatore con densità a gradini, codice di Shannon e segnalazione quaternaria (esame dell'8 febbraio 2024, es. 176)
• Esercizio - quantizzatore a due livelli, canale a quattro uscite e codice di Huffman delle coppie (esame del 30 agosto 2024, es. 182)
• Esercizio - quantizzatore con densità a tratti, 4-QAM di Gray e quantizzatore non uniforme (primo compitino del 29 novembre 2024, es. 184)
• Esercizio - quantizzatore con densità mista uniforme e triangolare, 4-QAM e canale a cancellazione (esame dell'11 febbraio 2025, es. 190)
• Esercizio - quantizzatore per densità triangolare e 16-QAM con impulso a rampa (primo compitino del 21 novembre 2025, es. 194)
• Esercizio - quantizzatore con densità esponenziale a due lati, codice di Shannon, 64-QAM e Hamming (compito del 23 gennaio 2026, es. 198)

Domande d'esame

1. Che cos'è l'errore di saturazione e come si limita? Che cos'è l'errore granulare e quanto vale la sua potenza? Per $|x|>v_{sat}$ l'errore è illimitato: si sceglie $v_{sat}$ con $P_{sat}$ piccola (gaussiana: $v_{sat}=Q^{-1}(P_{sat}/2)\sigma$). Per $|x|\le v_{sat}$ $e\sim\mathcal U([-\Delta/2,\Delta/2])$, potenza $\Delta^2/12$.
2. Ricavare $(\Lambda_q)_{dB}=20\log_{10}(\sigma_x/v_{sat})+4{,}77+6{,}02\,b$. $\Lambda_q=\sigma_x^2/(\Delta^2/12)$ con $\Delta=2v_{sat}/2^b$, poi $10\log_{10}$.
3. Quanti bit servono per $\Lambda_q\ge40$ dB con $\sigma_x/v_{sat}=1/4$? $c=-12{,}04+4{,}77=-7{,}27$; $b\ge\frac{40+7{,}27}{6{,}02}=7{,}85\Rightarrow b=8$.