Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibel

Per dire se una comunicazione funziona bisogna confrontare "quanto segnale utile" arriva con "quanto rumore" lo disturba. Il confronto si fa con due grandezze, l'energia e la potenza, e si esprime in decibel, una scala logaritmica adatta a rapporti che possono valere $10^{-9}$ come $10^{6}$. La nota usa i segnali di Segnali a tempo continuo - sinusoidi, rect e trasformazioni dell'asse dei tempiUn segnale è una funzione del tempo; è analogico se tempo e valori sono continui, digitale se entrambi sono discreti. La sinusoide A cos(2πf₀t + φ₀) ha periodo T = 1/f₀. Con rect(t) (1 per |t| ≤ 1/2) e triang(t) = 1 − |t| (|t| ≤ 1) si costruiscono impulsi; rect((t − T/2)/T) è 1 su [0,T]. Traslazione s(t − t₀) sposta a destra di t₀, scalamento s(t/A) dilata di A; in s((t − t₀)/A) si scala prima e si trasla poi. Una trasmissione è una somma Σ a_m z(t − mT). Il canale AWGN è r(t) = A·s_Tx(t − t₀) + w(t).Segnali a tempo continuo - sinusoidi, rect e trasformazioni dell'asse dei tempi → e le variabili aleatorie di Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione QUna v.a. continua ha funzione di distribuzione F_x(a) = P(x ≤ a) e densità f_x(a) = dF_x/da ≥ 0 con integrale 1; P(A ≤ x ≤ B) = F_x(B) − F_x(A) = ∫A^B f_x e P(x = A) = 0. Uniforme U([a,b]): densità 1/(b−a), media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Esponenziale unilatera di media m: (1/m)e^(−a/m), a ≥ 0. Gaussiana N(m, σ²): P(x ≥ A) = Q((A − m)/σ), con Q(A) coda della gaussiana standard. Somme di gaussiane indipendenti sono gaussiane (medie e varianze si sommano); teorema del limite centrale.Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione Q →. Teoria generale: Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenzaUn segnale è una funzione del tempo (continuo $t$ o discreto $n$). Si descrive con pochi numeri: estensione, area, valor medio, energia $\int|x|^2$ e potenza (energia media). Energia finita implica potenza nulla; potenza finita non nulla implica energia infinita; per i segnali periodici tutto si calcola su un periodo.Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenza → e Energia, potenza e valor medio dei segnaliSu un segnale continuo si calcolano quattro numeri riassuntivi: l'area $\int s,dt$, il valor medio (componente continua) $\lim\frac1{2T}\int{-T}^Ts,dt$, l'energia $\int|s|^2dt$ e la potenza media $\lim\frac1{2T}\int_{-T}^T|s|^2dt$. Un segnale ad energia finita ha potenza nulla e uno a potenza finita non nulla ha energia infinita. Per un segnale periodico di periodo $T_p$ area ed energia si calcolano su un periodo; un segnale periodico è la ripetizione periodica $\sum_ku(t-kT_p)$ di un suo periodo. Valgono per traslazione l'invarianza, per scala $s(at)$ la divisione per $|a|$.Energia, potenza e valor medio dei segnali →. Versioni per le altre lauree: Segnali deterministici - tempo, frequenza, banda pratica, energia e potenzaRipasso dei segnali per le comunicazioni. Un segnale ha un'energia $E=\int|s|^2dt$ e, se questa è infinita, una potenza media; il teorema di Parseval la riscrive in frequenza con la densità di energia $|S(f)|^2$. Un segnale a durata finita ha banda infinita, quindi si definisce una banda pratica (primo zero, ampiezza, energia). Un sistema LTI non distorce se nella banda del segnale ha $H(f)=A_0e^{-j2\pi ft_0}$. La modulazione moltiplica per una portante e trasla lo spettro.Segnali deterministici - tempo, frequenza, banda pratica, energia e potenza →, Decibel, dBW e dBmIl decibel misura un rapporto tra due potenze su scala logaritmica: $[x]{dB}=10\log{10}x$ (per le ampiezze $20\log_{10}$). Prodotti diventano somme e rapporti differenze, quindi guadagni e attenuazioni in cascata si sommano. Per una potenza assoluta si usa un riferimento: $P_{dBW}=10\log_{10}P_W$, $P_{dBm}=10\log_{10}P_{mW}=P_{dBW}+30$. Valori da ricordare: $3\ \text{dB}\approx\times2$, $10\ \text{dB}=\times10$, $20\ \text{dB}=\times100$.Decibel, dBW e dBm → e Modello AWGN, SNR e link budget a banda strettaIl sistema di trasmissione si modella con un canale che filtra il segnale ($h_{ch}$), un rumore additivo bianco gaussiano $w_{rc}$ (AWGN) di densità bilatera $\frac{N_0}2$ e un filtro di ricezione. L'SNR è il rapporto tra potenza del segnale e del rumore. Con canale a banda stretta ($H_{ch}$ costante nella banda) il link budget dà $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B,a_{ch}}$, in dB $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$ (con sorgente a $T_0$).Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta → (Ing. Elettronica); Segnali, potenza e decibelRichiami che servono in tutto il corso. Unità SI e prefissi (kilo = $10^3$, bit e non byte); decibel $[x]{dB}=10\log{10}x$ per le potenze e $20\log_{10}$ per le ampiezze (prodotti = somme); banda di un segnale (primo zero, a $\alpha$ dB, di energia) e banda pratica; energia, potenza e teorema di Parseval; processi aleatori: media, potenza, autocorrelazione, stazionarietà (WSS), ergodicità, densità spettrale di potenza $\mathcal P_x(f)$ e filtraggio $\mathcal P_y=\lvert G\rvert^2\mathcal P_x$.Segnali, potenza e decibel → e Potenza elettrica, impedenza e adattamento di caricoIn un sistema di telecomunicazione si usano due "potenze" diverse: la potenza statistica $M_v=E[v^2]$ (in V$^2$) e la potenza elettrica $P=\int p(f),df$ (in W), con densità $p(f)=\mathcal P_v(f)\frac{R(f)}{\lvert Z(f)\rvert^2}$; con una resistenza pura $P=M_v/R$. Un generatore $v_i$ con impedenza $Z_S$ trasferisce al carico $Z_L$ la massima potenza quando $Z_L=Z_S^*$ (adattamento di carico); con impedenze resistive si trasferisce al più il 25% della potenza del generatore, e per questo la potenza trasmessa è definita come $P_{tx}=P_i/4$. Un collegamento senza distorsione (condizioni di Heaviside) ha $v_L(t)=A_0v_i(t-t_0)$.Potenza elettrica, impedenza e adattamento di carico → (Ing. delle Telecomunicazioni).

Energia di un segnale

Si parte da un circuito elementare: un generatore ideale di tensione $v(t)$ collegato a un resistore $R$. La corrente è $i(t)=\frac{v(t)}R$ e la potenza istantanea dissipata $$P(t)=v(t)\,i(t)=\frac{v^2(t)}{R}.$$ L'energia consumata tra gli istanti $T_A$ e $T_B$ è l'integrale della potenza: $$E=\int_{T_A}^{T_B}P(t)\,dt=\frac1R\int_{T_A}^{T_B}v^2(t)\,dt.$$ L'energia fisica si misura in watt per secondo, cioè in joule ($\text{Ws}=\text{J}$). Il fattore $\frac1R$ ha unità $\frac1\Omega$; la parte che dipende solo dal segnale è l'integrale, in $\text{V}^2\text{s}$. Per questo si definisce l'energia di un segnale (tra $-\infty$ e $+\infty$) $$E_s=\int_{-\infty}^{+\infty}s^2(t)\,dt\quad\text{(tempo continuo)},\qquad E_s=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}s^2(mT)\quad\text{(tempo discreto)}.$$ Se $s$ è una tensione, $E_s$ è in $\text{V}^2\text{s}$; per una corrente, in $\text{A}^2\text{s}$ (le due energie sono proporzionali tra loro, tramite $R^2$). Proprietà:

• $E_s\ge0$ sempre (si integra un quadrato);
• l'energia può essere infinita (una sinusoide che dura per sempre);
• scalamento in ampiezza: $s(t)\to\alpha\,s(t)$ cambia l'energia in $\alpha^2E_s$ (l'esponente $2$ viene dal quadrato);
• l'energia non cambia se il segnale è ritardato: $E_{s(t-t_0)}=E_s$.

Esempio (rettangoli). Due segnali per trasmettere un bit: $s_0(t)=\operatorname{rect}\big(\frac{t-3}6\big)$ (altezza $1$ su $[0,6]$) e $s_1(t)=2\operatorname{rect}\big(\frac{t-3}6\big)$. Il quadrato di un rettangolo di altezza $h$ è un rettangolo di altezza $h^2$, quindi $$E_{s_0}=\int_0^61\,dt=6,\qquad E_{s_1}=\int_0^62^2\,dt=4\cdot6=24.$$ È la regola $\alpha^2$: raddoppiare l'ampiezza quadruplica l'energia. In generale un rettangolo di altezza $A$ e durata $T$ ha $E=A^2T$.

Esempio (triangolo). Per $s(t)=\operatorname{triang}(t)$ (altezza $1$, base $[-1,1]$, simmetrico) si integra sul semiasse positivo, dove $\operatorname{triang}(t)=1-t$, e si raddoppia: $$E_s=2\int_0^1(1-t)^2dt=2\Big[-\frac{(1-t)^3}3\Big]_0^1=2\Big(0+\frac13\Big)=\frac23.$$ Per il triangolo generale $s(t)=A\operatorname{triang}\big(\frac{t-t_0}T\big)$, con altezza $A$ e semibase $T$ (base $B=2T$) il calcolo è identico (la traslazione $t_0$ non conta): $$E_s=2A^2\int_0^T\Big(1-\frac tT\Big)^2dt=2A^2\Big[-\frac T3\Big(1-\frac tT\Big)^3\Big]_0^T=\frac{2A^2T}3=\boxed{\frac{A^2B}{3}.}$$

Esempio (denti di sega, dalla lezione). Il segnale $s_1(t)$ su $[0,T]$ è fatto di tre rampe uguali, ciascuna su $T/3$, che salgono linearmente da $-A$ a $0$ e poi ricominciano da $-A$; il segnale $s_2(t)$ vale $+A$, $-A$, $+A$ su tre intervalli di durata $T/3$. Dati: $T=10$ ms, e si vuole $E_{s_1}=5\cdot10^{-2}\ \text{V}^2\text{s}$.

• Una rampa su $T/3$ è metà di un triangolo (per il quadrato i segni non contano): $E_{\text{rampa}}=\int_0^{T/3}\big(A\tfrac{t}{T/3}\big)^2dt=\frac{A^2T}{9}$. Tre rampe: $E_{s_1}=3\cdot\frac{A^2T}9=\frac{A^2T}3$.
• Imponendo il valore: $\frac{A^2\cdot10^{-2}}3=5\cdot10^{-2}\Rightarrow A^2=15\Rightarrow A=3{,}87$ V.
• $s_2$ è fatto da tre rettangoli di altezza $\pm A$ e durata $\frac T3$, quindi $E_{s_2}=3\cdot\frac T3\cdot A^2=A^2T=15\cdot10^{-2}=0{,}15\ \text{V}^2\text{s}$: tre volte l'energia di $s_1$.

Potenza media

Un segnale che dura per sempre (la sinusoide) ha energia infinita, ma una potenza media finita: $$P_s=\lim_{T_0\to\infty}\frac1{2T_0}\int_{-T_0}^{T_0}s^2(t)\,dt,$$ che per un segnale periodico è la media di $s^2$ su un periodo. Per la sinusoide $A\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ si usa $\cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}2$: la parte oscillante ha media nulla e resta $\frac{A^2}2$. Tra i due concetti: un segnale a energia finita ha potenza media nulla; uno a potenza finita ha energia infinita.

Per un impulso di durata $T$ vale $E=P\,T$ con $P$ la potenza media nell'intervallo (si usa quando un segnale utile o un rumore agiscono per un tempo $T$). Per un segnale sinusoidale limitato a una durata $T$ multipla del periodo, $E=\frac{A^2}2T$: una sinusoide finestrata ha energia pari alla potenza della sinusoide infinita per la durata.

Energia media con simboli aleatori

Se il trasmettitore manda $s_0(t)$ per il bit $0$ e $s_1(t)$ per il bit $1$, l'energia del segnale emesso dipende dal bit, che è una variabile aleatoria: si calcola l'energia media (valore atteso rispetto al bit) $$E[E_{s_{Tx}}]=P(\text{bit}=0)\,E_{s_0}+P(\text{bit}=1)\,E_{s_1},\qquad P(\text{bit}=1)=1-P(\text{bit}=0).$$ Con i segnali dell'esempio e bit equiprobabili: $\frac{6+24}{2}=15\ \text{V}^2\text{s}$; con $P(\text{bit}=0)=0{,}9$: $0{,}9\cdot6+0{,}1\cdot24=7{,}8$. Se il segnale passa nel canale con ampiezza $A$ (attenuazione), $A\,s_{Tx}$ ha energia $A^2E_{s_{Tx}}$.

Energia del rumore e rapporto segnale-rumore

Sul canale AWGN (Segnali a tempo continuo - sinusoidi, rect e trasformazioni dell'asse dei tempiUn segnale è una funzione del tempo; è analogico se tempo e valori sono continui, digitale se entrambi sono discreti. La sinusoide A cos(2πf₀t + φ₀) ha periodo T = 1/f₀. Con rect(t) (1 per |t| ≤ 1/2) e triang(t) = 1 − |t| (|t| ≤ 1) si costruiscono impulsi; rect((t − T/2)/T) è 1 su [0,T]. Traslazione s(t − t₀) sposta a destra di t₀, scalamento s(t/A) dilata di A; in s((t − t₀)/A) si scala prima e si trasla poi. Una trasmissione è una somma Σ a_m z(t − mT). Il canale AWGN è r(t) = A·s_Tx(t − t₀) + w(t).Segnali a tempo continuo - sinusoidi, rect e trasformazioni dell'asse dei tempi →) si riceve $r(t)=s_u(t)+w(t)$, con segnale utile $s_u(t)=A\,s_{Tx}(t)$. Per una trasmissione nell'intervallo $[0,T]$ l'energia media del rumore è $$E[E_w]=E\Big[\int_0^Tw^2(t)\,dt\Big]=\int_0^TE\big(w^2(t)\big)\,dt=\sigma^2T.$$ Si è scambiata la media con l'integrale (la media è lineare) e si è usato che $E(w^2(t))$ è la potenza statistica della v.a. gaussiana $w(t)\sim\mathcal N(0,\sigma^2)$, cioè $\sigma^2$, uguale in ogni istante.

Il parametro che governa la qualità è il rapporto segnale-rumore (SNR, signal to noise ratio), tra le energie medie di segnale utile e rumore: $$\text{SNR}=\frac{E_{s_u}}{E_w}=\frac{A^2E_{s_{Tx}}}{E_w}.$$ È un numero adimensionale. Se si conoscono le potenze invece delle energie, nello stesso intervallo $T$ vale $E_{s_u}=P_{s_u}T$ e $E_w=P_wT$, e $T$ si semplifica: $\text{SNR}=\frac{P_{s_u}}{P_w}$.

Il decibel

I rapporti di potenza possono essere enormi, quindi si usa il logaritmo. Il rapporto in decibel (dB) è $$(\text{SNR})_{dB}=10\log_{10}\text{SNR}=10\log_{10}\frac{E_{s_u}}{E_w}.$$ Se $\frac{E_{s_u}}{E_w}=\frac{A^2E_{s_{Tx}}}{E_w}$ il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi: $$10\log_{10}\frac{A^2E_{s_{Tx}}}{E_w}=\underbrace{10\log_{10}A^2}_{(A^2)_{dB}=20\log_{10}A}+10\log_{10}E_{s_{Tx}}-10\log_{10}E_w=(A^2)_{dB}+(E_{s_{Tx}})_{dBV^2s}-(E_w)_{dBV^2s}.$$ Qui $20\log_{10}A$ viene da $10\log_{10}A^2=2\cdot10\log_{10}A$: attenuare l'ampiezza di $A$ (o amplificare) pesa $20\log_{10}A$ dB, mentre per un rapporto di potenze/energie il fattore è $10$. $(\cdot)_{dBV^2s}=10\log_{10}(\cdot)$ con l'energia in $\text{V}^2\text{s}$: la differenza di due grandezze nella stessa unità logaritmica è in dB semplici. Analogamente le potenze si danno in $\text{dBW}$ (rispetto a $1$ W) e $\text{dBm}$ (rispetto a $1$ mW): $$P_{dBW}=10\log_{10}P_W,\qquad P_{dBm}=10\log_{10}P_{mW}=P_{dBW}+30.$$

Valori da ricordare: $+3\ \text{dB}\Rightarrow\times2$ ($10\log_{10}2=3{,}01$), $+6\ \text{dB}\Rightarrow\times4$, $+10\ \text{dB}\Rightarrow\times10$, $+20\ \text{dB}\Rightarrow\times100$, $+30\ \text{dB}\Rightarrow\times1000$; i valori negativi sono rapporti inversi ($-3\ \text{dB}\Rightarrow\times\frac12$). Un'attenuazione di $20$ dB riduce l'ampiezza di $10$ volte ($A=0{,}1$) e l'energia di $100$.

Esempio. Calcolare l'SNR in dB per un segnale utile di potenza $2$ W e un rumore di potenza $3$ mW.

Metodo 1 (rapporto prima). $3\ \text{mW}=3\cdot10^{-3}$ W, quindi $\text{SNR}=\frac{2}{3\cdot10^{-3}}=\frac23\cdot10^3$ e $$(\text{SNR})_{dB}=10\log_{10}\frac23+10\log_{10}10^3=-1{,}76+30=28{,}24\ \text{dB}.$$ Metodo 2 (differenza in dBW). $(P_{s_u})_{dBW}=10\log_{10}2=3{,}01$; $(P_w)_{dBW}=10\log_{10}\big(3\cdot10^{-3}\big)=10\log_{10}3-30=-25{,}23$; la differenza è $3{,}01+25{,}23=28{,}24$ dB. (Controllato con Python.)

Esercizi svolti

• Esercizio - onde quadre, segnali a gradini ed energia di impulsi rect e triangolari (esercizi del corso, cap. 2, es. 12-17): energia di rettangoli e triangoli, energia media con ampiezza o forma aleatoria.
• Esercizio - energia e potenza di sinusoidi finestrate (esercizi del corso, cap. 2, es. 22): quando una sinusoide ha energia o potenza.
• Quantizzazione e SNR in dB: Quantizzazione uniforme - saturazione, errore granulare e SNR di quantizzazioneUn quantizzatore uniforme a L = 2^b livelli e range [−v_sat, v_sat] ha passo Δ = 2v_sat/L. L'errore e = x − x^(q) è di saturazione fuori range (illimitato, da rendere raro con P_sat piccola) e granulare dentro (|e| ≤ Δ/2, uniforme con potenza Δ²/12). L'SNR di quantizzazione Λ_q = E[x²]/E[e²] vale in decibel 20log₁₀(σ_x/v_sat) + 4,77 + 6,02·b: ogni bit in più dà 6 dB. Per b minimo che garantisce una specifica: ⌈(specifica − c)/6,02⌉ con c = 20log₁₀(σ_x/v_sat) + 4,77.Quantizzazione uniforme - saturazione, errore granulare e SNR di quantizzazione →.

Domande d'esame

1. Definire l'energia di un segnale e calcolare quella di un triangolo di altezza $A$ e base $B$. $E_s=\int s^2$; $E=\frac{A^2B}3$.
2. Come cambia l'energia se il segnale è moltiplicato per $\alpha$ o ritardato? Si moltiplica per $\alpha^2$; non cambia.
3. Definire l'SNR e dire perché si usano i decibel. Calcolare l'SNR in dB per $P_u=2$ W e $P_w=3$ mW. SNR = energia media utile su energia media del rumore, $(\cdot)_{dB}=10\log_{10}$; $28{,}24$ dB.