Esercizio - 4-PAM con rumore uniforme, criterio di decisione e probabilità d'errore nulla (esame del 25 giugno 2024, es. 177)

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Teoria usata: Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'erroreNella PAM i segnali sono un impulso $h_{Tx}(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh_{Tx}(t)$. La base è $\phi_1=\frac{h_{Tx}}{\sqrt{E_h}}$, i punti sono $\alpha_m\sqrt{E_h}$ su una retta, $d_{\min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}{3}E_h$. I due simboli esterni sbagliano da una parte sola, gli $M-2$ interni da due: $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{M^2-1}}\right)$. Con la codifica di Gray (simboli adiacenti differiscono per un bit) $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'errore →, Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →, Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione QUna v.a. continua ha funzione di distribuzione F_x(a) = P(x ≤ a) e densità f_x(a) = dF_x/da ≥ 0 con integrale 1; P(A ≤ x ≤ B) = F_x(B) − F_x(A) = ∫_A^B f_x e P(x = A) = 0. Uniforme U([a,b]): densità 1/(b−a), media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Esponenziale unilatera di media m: (1/m)e^(−a/m), a ≥ 0. Gaussiana N(m, σ²): P(x ≥ A) = Q((A − m)/σ), con Q(A) coda della gaussiana standard. Somme di gaussiane indipendenti sono gaussiane (medie e varianze si sommano); teorema del limite centrale.Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione Q →.

(1) Energia media

L'impulso $\operatorname{triang}\left[(t-\frac T2)\frac2T\right]$ è un triangolo di altezza $1$ e base $[0,T]$ (la funzione $\operatorname{triang}(x)$ vale $1-\lvert x\rvert$ per $\lvert x\rvert\le1$; qui $x=(t-\frac T2)\frac2T$ va da $-1$ a $1$ quando $t$ va da $0$ a $T$). Energia: due triangoli rettangoli uguali, $$E_h=\int_0^Th^2dt=2\int_0^{T/2}\left(\frac{2t}{T}\right)^2dt=2\cdot\frac{4}{T^2}\cdot\frac{(T/2)^3}{3}=\frac T3=\frac{0{,}1}{3}=0{,}0333\ \text{V}^2\text{s}.$$ Per la 4-PAM l'energia media è $E_s=\frac{M^2-1}{3}E_h=5E_h$: $$E_s=5\cdot0{,}0333=0{,}1667\ \text{V}^2\text{s}.$$

(2) Costellazione

Base $\phi_1=\frac{h_{Tx}}{\sqrt{E_h}}$; i punti sono $\alpha_m\sqrt{E_h}$ con $\alpha_m\in\{-3,-1,1,3\}$ e $\sqrt{E_h}=\sqrt{0{,}0333}=0{,}1826$: $$s_1=-0{,}5477,\quad s_2=-0{,}1826,\quad s_3=+0{,}1826,\quad s_4=+0{,}5477\quad(\text{V}\sqrt{\text{s}}).$$ La distanza tra punti adiacenti è $d=2\sqrt{E_h}=0{,}3651$.

(3) Criterio di decisione e regioni per $A=0{,}25$

I simboli sono equiprobabili, quindi MAP $=$ ML. Il rumore non è gaussiano: è uniforme, quindi non vale l'equivalenza tra ML e minima distanza che si ha con AWGN. Il criterio ottimo è il ML: si decide il simbolo $m$ per cui è massima la densità $p(r\mid s_m)=\frac1{2A}\mathbb 1\{\lvert r-s_m\rvert\le A\}$ (Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →). Ogni simbolo ha una "finestra" larga $2A=0{,}5$ in cui la densità vale $\frac1{2A}=2$ e fuori è nulla.

Con $A=0{,}25>\frac d2=0{,}1826$ le finestre di simboli adiacenti si sovrappongono: nella sovrapposizione le due densità sono uguali e il ML non distingue (qualunque scelta ha la stessa probabilità di errore). La regola a minima distanza sceglie sempre un simbolo la cui finestra contiene $r$: se $r$ è nella finestra di $s_k$ e $s_j$ è il simbolo più vicino, $\lvert r-s_j\rvert\le\lvert r-s_k\rvert\le A$ e anche la finestra di $s_j$ contiene $r$. Quindi la minima distanza è una soluzione ML valida, con i confini a metà tra punti adiacenti: $$\mathcal R_1=(-\infty,-0{,}3651],\ \mathcal R_2=[-0{,}3651,0],\ \mathcal R_3=[0,0{,}3651],\ \mathcal R_4=[0{,}3651,+\infty).$$

(4) Probabilità di decidere $3$ dato $2$

Si trasmette $s_2=-0{,}1826$: $r=s_2+w$ con $w$ uniforme in $[-0{,}25,0{,}25]$. Si decide $3$ se $r>0$, cioè $w>0{,}1826=\frac d2$. La densità di $w$ è costante, $\frac1{2A}=\frac1{0{,}5}=2$ su $[-0{,}25,0{,}25]$: $$P[\hat a=3\mid a=2]=P\left[w>\tfrac d2\right]=\int_{0{,}1826}^{0{,}25}2\,dw=2\,(0{,}25-0{,}1826)=\frac{A-d/2}{2A}=0{,}1348.$$ (Non può essere $r>0{,}3651$ perché $r\le s_2+A=0{,}0674$.) Verificato con simulazione ($2\cdot10^6$ prove): $0{,}1348$.

(5) Massimo $A$ con $P_e=0$

L'errore avviene solo se $w$ supera in modulo la mezza distanza tra punti adiacenti, $\frac d2=\sqrt{E_h}$. Se $A\le\frac d2$ il rumore non può mai portare $r$ oltre la soglia e $P_e=0$: $$A_{\max}=\frac d2=\sqrt{E_h}=\sqrt{0{,}0333}=0{,}1826.$$ (A $A=\frac d2$ esattamente la probabilità di superare $\frac d2$ è zero: $P(w>\frac d2)=\int_{d/2}^{A}\frac{dw}{2A}=0$.)

(6) Più energia, stesso rumore

Aumentare $E_h$ aumenta $\sqrt{E_h}$ e quindi la distanza tra i punti $d=2\sqrt{E_h}$, mentre $w_n$ non cambia. Per $A>\frac d2$ la probabilità d'errore dei simboli è $$P[E]=2\left(1-\frac1M\right)\frac{A-\sqrt{E_h}}{2A}\qquad(\text{se }\sqrt{E_h}<A\text{ e }A<3\sqrt{E_h}),$$ (come nella PAM gaussiana, con la coda della $Q$ sostituita dalla coda uniforme), decrescente in $E_h$; per $\sqrt{E_h}\ge A$ vale zero. Quindi diminuisce (o rimane nulla se lo era già). Per $A=0{,}25$ e $E_h=0{,}0333$: $P[E]=\frac32\cdot0{,}1348=0{,}2023$ (simulazione: $0{,}2023$); con $E_h=0{,}0625$ ($\sqrt{E_h}=0{,}25$) vale $0$.

Errori comuni

• Usare la formula con la $Q$ per un rumore uniforme: la probabilità è l'area di un rettangolo, $\frac{A-d/2}{2A}$.
• Dire che il criterio ottimo è la minima distanza perché i simboli sono equiprobabili: serve anche rumore gaussiano; qui il criterio è il ML (che però ammette la MD come soluzione).
• Dimenticare che $\operatorname{triang}$ ha base $2$ (da $-1$ a $1$) e quindi qui l'impulso ha altezza $1$ e base $T$: $E_h=\frac T3$, non $\frac{2T}{3}$.
• Confondere $A$ (limite del rumore uniforme) con un'ampiezza del segnale.
• Prendere $A_{\max}=d$ invece di $\frac d2$: la soglia è a metà tra i punti.