Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt

Il demodulatore (Modulazione digitale - trasmettitore, bit map e canale AWGNIl trasmettitore digitale ha due blocchi: la bit map raggruppa $\log_2M$ bit in un simbolo $a_m\in{1,\dots,M}$ (periodo $T=T_b\log_2M$) e il modulatore associa a ogni simbolo una forma d'onda $s_{a_m}(t)$, così $s_{Tx}(t)=\sum_ms_{a_m}(t-mT)$; l'insieme delle $M$ forme d'onda è la segnalazione. Il canale ideale lascia il segnale com'è, il canale AWGN lo scala di $A$ e somma il rumore bianco gaussiano $w(t)$, il canale multipath somma echi ritardati: i suoi due effetti sono la deformazione delle forme d'onda ($s'm$) e l'interferenza intersimbolica. Il ricevitore ha un demodulatore digitale che decide $\hat a_m$ e una bit demap.Modulazione digitale - trasmettitore, bit map e canale AWGN →) deve distinguere $M$ forme d'onda in presenza di rumore. Confrontare funzioni del tempo punto per punto è scomodo; conviene trasformare ogni forma d'onda in un vettore di pochi numeri, e ragionare con distanze ed energie come nella geometria euclidea. Questa nota costruisce la trasformazione. Gli stessi concetti per Ing. Elettronica sono in Introduzione alla modulazione digitale e spazio dei segnaliLa modulazione digitale associa a ognuna delle $M=2^b$ parole di $b$ bit un segnale $s_m(t)$ di energia finita; il demodulatore deve capire quale segnale è stato trasmesso da $r(t)=s_m(t)+w(t)$. Per studiarlo i segnali si vedono come vettori: con il prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^dt$ e una base ortonormale ${\phi_i}$ ogni segnale è $\mathbf s_m=[\langle s_m,\phi_i\rangle]$ e l'insieme dei punti è la costellazione. La base si trova con il procedimento di Gram-Schmidt; distanze ed energie dei punti dicono le prestazioni.Introduzione alla modulazione digitale e spazio dei segnali → e per Ing. delle Telecomunicazioni in Spazio dei segnali e Gram-SchmidtNella modulazione digitale ogni simbolo di un alfabeto di $M$ elementi è associato a una forma d'onda $s_j(t)$ di energia finita, trasmessa in un tempo di simbolo $T$. Le forme d'onda sono elementi dello spazio $\mathcal L^2$ con prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^,dt$ e energia $E_x=\lVert x\rVert^2$; con una base ortonormale ${\varphi_i}{i=1}^I$ ($I\le M$, trovata con Gram-Schmidt) ogni segnale è un punto $\mathbf s_j=[\langle s_j,\varphi_i\rangle]_i$ e l'insieme dei punti è la costellazione. Il rumore bianco gaussiano ha componenti sulla base indipendenti $\mathcal N(0,\frac{N_0}2)$ (la parte fuori dallo spazio dei segnali è irrilevante), quindi il ricevuto è $\mathbf r=\mathbf s_j+\mathbf w$.Spazio dei segnali e Gram-Schmidt →; qui i segnali sono reali.

Lo spazio vettoriale dei segnali a energia finita

I "vettori" sono tutti i segnali $x(t)$ con energia finita,

$$E_x=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2(t)\,dt<+\infty$$

(l'energia si misura in V$^2$s se $x$ è una tensione, Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibelL'energia di un segnale è E_s = ∫s²(t)dt (a tempo discreto Σs²(mT)), si misura in V²s, vale α²E_s se il segnale è moltiplicato per α; un impulso triangolare di altezza A e base B ha E = A²B/3, un rettangolo di altezza A e durata T ha A²T. La potenza media si usa per segnali che durano sempre (sinusoide: A²/2). Con simboli aleatori si calcola l'energia media pesando con le probabilità. Sul canale AWGN l'energia media del rumore su [0,T] è σ²T e SNR = E_su/E_w = A²E_sTx/E_w, che in decibel è 10log₁₀ del rapporto (A² vale 20log₁₀A dB; dBW e dBm sono potenze rispetto a 1 W e 1 mW).Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibel →; si veda anche Spazi di segnali L1, L2 e L-infinitoGli spazi $L^1$ (area del modulo finita), $L^2$ (energia finita) e $L^\infty$ (segnale limitato) classificano i segnali e dicono quali teoremi si possono usare: $L^1$ per l'esistenza della trasformata di Fourier e la stabilità BIBO, $L^2$ per Parseval. Nel discreto valgono le inclusioni $\ell^1 \subset \ell^2 \subset \ell^\infty$, nel continuo no.Spazi di segnali L1, L2 e L-infinito →). Le operazioni sono quelle ovvie, punto per punto: somma $z(t)=x(t)+y(t)$ e prodotto per uno scalare $z(t)=\alpha x(t)$, $\alpha\in\mathbb R$. Il risultato ha ancora energia finita, quindi sono operazioni dello spazio.

Prodotto interno.

$$\boxed{\langle x,y\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\,y(t)\,dt}$$

È lineare in ciascun argomento, $\langle\alpha x_1+\beta x_2,\,y\rangle=\alpha\langle x_1,y\rangle+\beta\langle x_2,y\rangle$, ed è simmetrico. Con $y=x$ dà l'energia:

$$\langle x,x\rangle=\int x^2(t)\,dt=E_x\ \ge0,\qquad E_x=0\iff x(t)=0.$$

Norma. $\lVert x\rVert=\sqrt{\langle x,x\rangle}=\sqrt{E_x}$: l'energia è il quadrato della norma. Ortogonali sono due segnali con $\langle x,y\rangle=0$; per esempio due impulsi con supporti disgiunti (i tempi in cui sono non nulli non si incontrano), perché il prodotto $x(t)y(t)$ è zero ovunque. Per i concetti analoghi in $\mathbb R^n$ si veda Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →.

Sottospazio generato. Dati $M$ segnali $s_1(t),\dots,s_M(t)$, il sottospazio generato è l'insieme di tutte le loro combinazioni lineari

$$S=\left\{y(t)=\sum_{m=1}^M\alpha_ms_m(t),\ \alpha_m\in\mathbb R\right\}.$$

È chiuso per somma e prodotto per scalari: se $x_1=\sum\alpha_ms_m$ e $x_2=\sum\beta_ms_m$ allora $Ax_1+Bx_2=\sum(A\alpha_m+B\beta_m)s_m\in S$. Interessa solo $S$: sono i segnali che il ricevitore si aspetta di vedere (a meno del rumore).

Base ortonormale

Una base ortonormale di $S$ è un insieme $\{\phi_1(t),\dots,\phi_I(t)\}$ che genera $S$ e verifica

$$\langle\phi_i,\phi_j\rangle=\int\phi_i(t)\phi_j(t)\,dt=0\ \ (i\ne j)\ \text{(ortogonali)},\qquad\lVert\phi_i\rVert^2=\int\phi_i^2(t)\,dt=1\ \text{(normalizzati)}.$$

Il numero $I$ è la dimensione di $S$, e vale $I\le M$: $M$ segnali possono essere dipendenti tra loro, e in quel caso ne bastano meno.

Esempio 1 (segnali antipodali). $s_1(t)=\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}{T}\right)$ e $s_2(t)=-s_1(t)$: $s_2$ non aggiunge niente a $s_1$, quindi $M=2$ ma $I=1$. Energia $E_{s_1}=\int_0^T1^2dt=T$, quindi $$\phi_1(t)=\frac{s_1(t)}{\sqrt{T}},\qquad E_{\phi_1}=\frac{1}{T}\int_0^T1\,dt=1\ \checkmark,\qquad s_1=\sqrt T\,\phi_1,\ \ s_2=-\sqrt T\,\phi_1.$$

Esempio 2 (due impulsi su supporti diversi). $\phi_1(t)=\frac1{\sqrt2}\operatorname{rect}\left(\frac{t-1}2\right)$ (vale $\frac1{\sqrt2}$ tra $0$ e $2$) e $\phi_2(t)=\frac1{\sqrt2}\operatorname{rect}\left(\frac{t-3}2\right)$ (tra $2$ e $4$). I supporti sono disgiunti, quindi $\phi_1\phi_2=0$ ovunque e $\langle\phi_1,\phi_2\rangle=0$; le energie sono $E_{\phi_1}=E_{\phi_2}=2\cdot\frac12=1$ (due secondi di ampiezza al quadrato $\frac12$). È una base ortonormale.

Coordinate: il segnale diventa un vettore

Se $s(t)\in S$ e $\{\phi_i\}_{i=1}^I$ è una base ortonormale, vale

$$\boxed{s(t)=\sum_{i=1}^I\langle s,\phi_i\rangle\,\phi_i(t),\qquad s_i=\langle s,\phi_i\rangle}$$

e il segnale corrisponde al vettore delle coordinate $\mathbf s=[s_1,\dots,s_I]$ in $\mathbb R^I$. Il numero $s_i$ è la proiezione di $s$ su $\phi_i$ (Coordinate rispetto a una baseFissata una base, ogni vettore ha una e una sola lista di coordinate; la funzione vettore → coordinate è un isomorfismo con K^n, quindi ogni spazio di dimensione n si comporta come K^n (ma l'isomorfismo dipende dalla base).Coordinate rispetto a una base →, Complemento ortogonale e proiezioni ortogonaliL'ortogonale U⊥ di un sottospazio è un sottospazio di dimensione n − dim U, e R^n = U ⊕ U⊥; ogni vettore si scompone in proiezione su U più componente ortogonale; la proiezione è il punto di U più vicino e si calcola con un sistema o con la matrice di proiezione A(AᵀA)⁻¹Aᵀ.Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali →). La corrispondenza segnale $\leftrightarrow$ vettore è biunivoca (isomorfismo) e conserva tutto ciò che serve:

1. somma e prodotto per scalare: se $s=x+y$ allora $\mathbf s=\mathbf x+\mathbf y$, perché $s_i=\langle x+y,\phi_i\rangle=\langle x,\phi_i\rangle+\langle y,\phi_i\rangle=x_i+y_i$ per la linearità; e $\alpha x\leftrightarrow\alpha\mathbf x$;
2. energia (norma): $$E_x=\int\left[\sum_ix_i\phi_i(t)\right]^2dt=\sum_ix_i^2\underbrace{\int\phi_i^2dt}_{1}+\sum_{i\ne j}x_ix_j\underbrace{\int\phi_i\phi_jdt}_{0}=\sum_{i=1}^Ix_i^2=\lVert\mathbf x\rVert^2;$$
3. prodotto interno: con lo stesso calcolo $\langle x,y\rangle=\sum_ix_iy_i=\mathbf x\cdot\mathbf y$;
4. distanza: $d(x,y)\triangleq\lVert x-y\rVert=\sqrt{\int(x-y)^2dt}=\sqrt{\sum_i(x_i-y_i)^2}=\lVert\mathbf x-\mathbf y\rVert$. La distanza tra due vettori è quindi la radice dell'energia del segnale differenza.

Una volta nota la base, tutte le grandezze (energie, correlazioni, distanze) si calcolano con somme invece di integrali.

Esempio 3. Con la base dell'esempio 2 sia $s(t)=5$ per $0<t<2$, $s(t)=-3$ per $2<t<4$ e $0$ altrove. Le coordinate: $$s_1=\int_0^2 5\cdot\frac1{\sqrt2}dt=\frac{10}{\sqrt2}=5\sqrt2,\qquad s_2=\int_2^4(-3)\frac1{\sqrt2}dt=-\frac{6}{\sqrt2}=-3\sqrt2.$$ Il segnale ricostruito $5\sqrt2\,\phi_1-3\sqrt2\,\phi_2$ vale $5\sqrt2\cdot\frac1{\sqrt2}=5$ nel primo tratto e $-3$ nel secondo: coincide con $s$. L'energia si può calcolare in due modi, con lo stesso risultato: $\int s^2=2\cdot25+2\cdot9=68$ V$^2$s e $\lVert\mathbf s\rVert^2=(5\sqrt2)^2+(3\sqrt2)^2=50+18=68$.

Un segnale fuori da $S$. Se invece $s(t)$ valesse anche $1$ tra $4$ e $6$, la ricostruzione $5\sqrt2\,\phi_1-3\sqrt2\,\phi_2$ non vale $1$ in quel tratto: $s$ non è in $S$. La differenza $s-\sum s_i\phi_i$ è un segnale (qui l'impulso a $1$ tra $4$ e $6$) ortogonale a tutti i $\phi_i$: è la parte di $s$ che la base non descrive, ed è proprio quello che serve per allungare la base (Gram-Schmidt).

Costellazione, energie e distanze

Se i segnali della segnalazione sono $s_1,\dots,s_M$ e $\{\phi_i\}_{i=1}^I$ è una base del sottospazio generato, l'insieme dei vettori

$$\{\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M\},\qquad\mathbf s_m=[s_{m,1},\dots,s_{m,I}],\ \ s_{m,i}=\langle s_m,\phi_i\rangle$$

si chiama costellazione. Se $I\le3$ si può disegnare. Dalla costellazione si leggono:

• l'energia del segnale $m$: $E_m=\lVert\mathbf s_m\rVert^2=\sum_is_{m,i}^2$ (distanza dall'origine al quadrato);
• l'energia media per simbolo con probabilità $P_m$: $E_s=\sum_mP_mE_m$;
• la distanza tra i punti $m$ e $n$: $d_{m,n}=\lVert\mathbf s_m-\mathbf s_n\rVert$, e la distanza minima $d_{min}=\min_{m\ne n}d_{m,n}$.

Le coordinate si misurano in V$\sqrt{\text{s}}$ (radice di un'energia). Punti lontani tra loro si confondono meno in presenza di rumore, ma richiedono più energia: è il compromesso di fondo della modulazione.

Esempio 4 (canale che inverte e amplifica). Siano $s_1(t)=3\operatorname{rect}\left(t-\frac12\right)$ (vale $3$ tra $0$ e $1$) e $s_2(t)$ pari a $2$ tra $0$ e $1$ e a $1$ tra $1$ e $2$; il ricevitore vede però $r(t)=-2\,s_{Tx}(t)+w(t)$. I segnali "al ricevitore" sono $-2s_1$ e $-2s_2$. Una base: $\phi_1=\operatorname{rect}\left(t-\frac12\right)$ (tra $0$ e $1$, energia $1$) e $\phi_2=\operatorname{rect}\left(t-\frac32\right)$ (tra $1$ e $2$), ortogonali per i supporti disgiunti. Allora $$-2s_1=-6\,\phi_1\ \Rightarrow\ \mathbf s_1=[-6,\,0],\qquad-2s_2=-4\,\phi_1-2\,\phi_2\ \Rightarrow\ \mathbf s_2=[-4,\,-2].$$ Verifica con le energie: $E_1=36=4\cdot E_{s_1}=4\cdot9$ e $E_2=16+4=20=4\cdot(4+1)$. La distanza è $d_{1,2}=\sqrt{(-6+4)^2+(0+2)^2}=\sqrt8=2{,}83$.

Un guadagno di canale moltiplica le coordinate. Se il canale fa $r(t)=G\,s_{a_0}(t)+w(t)$, le proiezioni di $G\,s_m$ sono $G\,s_{m,i}$ per linearità: la costellazione si ingrandisce di $G$ (distanze moltiplicate per $G$, energie per $G^2$) e la base non cambia. Un guadagno di $5$ dB in potenza vale $10\log_{10}G^2=5$, cioè $G=10^{5/20}=1{,}78$. Le regioni di decisione a minima distanza (retta passante per l'origine nel caso antipodale) restano le stesse perché il rumore non cambia.

La procedura di Gram-Schmidt

Dati $s_1(t),\dots,s_M(t)$ si costruisce la base una forma d'onda alla volta, togliendo da ciascun nuovo segnale la parte già descritta:

1. Primo segnale. Si prende $s_1$. Se è nullo si scarta e si passa a $s_2$. Altrimenti $$\phi_1(t)=\frac{s_1(t)}{\sqrt{E_{s_1}}}.$$
2. Passo $m$-esimo. Si ha una base parziale $\phi_1,\dots,\phi_k$ ($k\le m-1$). Si calcola il resto di $s_m$ dopo aver tolto tutte le sue proiezioni: $$\phi'_{k+1}(t)=s_m(t)-\sum_{i=1}^k\langle s_m,\phi_i\rangle\,\phi_i(t).$$ Per costruzione $\phi'_{k+1}$ è ortogonale a $\phi_1,\dots,\phi_k$ (si controlla: $\langle\phi'_{k+1},\phi_j\rangle=\langle s_m,\phi_j\rangle-\langle s_m,\phi_j\rangle\cdot1=0$).
   • Se $\phi'_{k+1}(t)\equiv0$, il segnale $s_m$ è già scrivibile con la base parziale: si scarta e la dimensione non cresce.
   • Altrimenti si normalizza e si aggiunge alla base: $$\phi_{k+1}(t)=\frac{\phi'_{k+1}(t)}{\sqrt{E_{\phi'_{k+1}}}}.$$
3. Si ripete fino a $s_M$. Il numero di funzioni ottenute è $I$.

Coordinate del nuovo segnale. Le componenti di $s_m$ sulle prime funzioni sono le proiezioni $c_i=\langle s_m,\phi_i\rangle$; la componente sulla nuova $\phi_{k+1}$ è $\langle s_m,\phi_{k+1}\rangle=\sqrt{E_{\phi'_{k+1}}}$, e poiché $E_{\phi'_{k+1}}=E_{s_m}-\sum_ic_i^2$ (per il teorema di Pitagora) in due dimensioni $$\mathbf s_2=\left[c,\ \sqrt{E_{s_2}-c^2}\right],\qquad c=\langle s_2,\phi_1\rangle,$$ con $\mathbf s_1=[\sqrt{E_{s_1}},\,0]$. Il segno della seconda coordinata dipende dalla scelta del segno di $\phi_2$ (si è presa $\phi_2$ nel verso di $\phi'_2$). La base non è unica (si può ruotare, riflettere o cambiare l'ordine dei segnali), ma energie e distanze non dipendono dalla scelta.

Casi in cui non serve fare i conti.

• Segnali con supporti disgiunti sono già ortogonali: basta normalizzarli.
• Segnali proporzionali ($s_2=\alpha s_1$) stanno sulla stessa retta: una sola funzione di base.
• Segnali $s_m=\alpha_m\,h(t)$ con lo stesso impulso $h$ ammettono la base $\phi=\frac{h}{\sqrt{E_h}}$ e una costellazione monodimensionale (è il caso della modulazione PAM, Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'erroreNella PAM i segnali sono un impulso $h_{Tx}(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh_{Tx}(t)$. La base è $\phi_1=\frac{h_{Tx}}{\sqrt{E_h}}$, i punti sono $\alpha_m\sqrt{E_h}$ su una retta, $d_{\min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}{3}E_h$. I due simboli esterni sbagliano da una parte sola, gli $M-2$ interni da due: $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{M^2-1}}\right)$. Con la codifica di Gray (simboli adiacenti differiscono per un bit) $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'errore →).

Esempio 5: un segnale a dente di sega e un impulso rettangolare

Sia $T$ un numero e $s_2(t)=\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}{T}\right)$ (valore $1$ tra $0$ e $T$, energia $E_{s_2}=T$) e $s_1(t)$ il dente di sega che sale da $0$ a $1$ tra $0$ e $\frac T2$, poi salta a $-1$ e sale a $0$ in $\frac T2<t<T$. Si parte da $s_2$: $$\phi_1=\frac{s_2}{\sqrt T}=\frac1{\sqrt T}\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}{T}\right).$$ Proiezione di $s_1$: $\langle s_1,\phi_1\rangle=\frac1{\sqrt T}\int_0^Ts_1(t)\,dt=0$, perché i due denti hanno area $+\frac T4$ e $-\frac T4$. Allora $s_1$ è già ortogonale a $\phi_1$: $\phi'_2=s_1$. Energia: $|s_1(t)|$ è una rampa da $0$ a $1$ per metà tempo e di nuovo per l'altra metà; ogni rampa ha energia $\int_0^{T/2}\left(\frac{t}{T/2}\right)^2dt=\frac T6$, quindi $E_{s_1}=\frac T3$ e $$\phi_2=\frac{s_1}{\sqrt{T/3}},\qquad\mathbf s_1=\left[0,\ \sqrt{\tfrac T3}\right],\qquad\mathbf s_2=\left[\sqrt T,\ 0\right].$$ La distanza è $d_{1,2}=\sqrt{T+\frac T3}=\sqrt{\frac{4T}3}$. Con le regioni a minima distanza (Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →) il confine è la retta per l'origine asse del segmento.

Esempio 6: dente di sega e onda quadra con energia assegnata

Sia $T=10$ ms. Il segnale $s_1(t)$ è formato da tre rampe: in ciascun terzo di periodo (durata $\frac T3$) sale da $-A$ a $0$ e poi salta a $-A$. Il segnale $s_2(t)$ vale $+A$, $-A$, $+A$ nei tre terzi.

Energia di $s_1$. Su ogni terzo, $s_1(t)=-A\left(1-\frac{u}{T/3}\right)$ con $u\in\left[0,\frac T3\right]$ il tempo trascorso dall'inizio del terzo, e $$\int_0^{T/3}A^2\left(1-\frac{3u}T\right)^2du=A^2\frac T3\int_0^1(1-v)^2dv=\frac{A^2T}9.$$ Con tre terzi $E_{s_1}=\frac{A^2T}{3}$. Se si vuole $E_{s_1}=5\cdot10^{-2}$ V$^2$s: $A^2=\frac{3\cdot5\cdot10^{-2}}{10^{-2}}=15$, $A=3{,}87$ V. L'energia di $s_2$ è $E_{s_2}=3\cdot\frac T3A^2=A^2T=0{,}15$ V$^2$s (non conta il segno).

Base. Si prende $\phi_1=\frac{s_1}{\sqrt{E_{s_1}}}=\frac{s_1}{0{,}2236}$. Poi $$c=\langle s_2,\phi_1\rangle=\frac1{\sqrt{E_{s_1}}}\int s_2s_1\,dt.$$ Su ogni terzo l'area di $s_1$ è $-A\cdot\frac T6$ (triangolo) e $s_2$ vale $+A,-A,+A$: gli integrali sono $-\frac{A^2T}6$, $+\frac{A^2T}6$, $-\frac{A^2T}6$, cioè in totale $\langle s_1,s_2\rangle=-\frac{A^2T}6=-0{,}025$ V$^2$s e $$c=\frac{-0{,}025}{0{,}2236}=-0{,}1118\ \text{V}\sqrt{\text{s}}.$$ Poi $E_{\phi'_2}=E_{s_2}-c^2=0{,}15-0{,}0125=0{,}1375$ e la seconda coordinata è $\sqrt{0{,}1375}=0{,}3708$. I punti sono $$\mathbf s_1=[0{,}2236,\ 0],\qquad\mathbf s_2=[-0{,}1118,\ 0{,}3708].$$ Controlli: $\lVert\mathbf s_2\rVert^2=0{,}0125+0{,}1375=0{,}15=E_{s_2}$ e la distanza $d_{1,2}^2=(0{,}3354)^2+(0{,}3708)^2=0{,}25$, uguale a $E_{s_1}+E_{s_2}-2\langle s_1,s_2\rangle=0{,}05+0{,}15+0{,}05$: $d_{1,2}=0{,}5$ V$\sqrt{\text{s}}$.

Esempio 7: coseno e seno troncati

Siano $s_1(t)=3\cos(2\pi f_0t)$ e $s_2(t)=-2\sin(2\pi f_0t)$ per $0<t<T$ (zero altrove), con $f_0=1$ kHz e $T=1$ s, cioè $f_0T=1000\gg1$.

Energia. Con $\cos^2x=\frac12(1+\cos2x)$: $$E_{s_1}=9\int_0^T\cos^2(2\pi f_0t)\,dt=\frac92T+\frac9{2}\int_0^T\cos(4\pi f_0t)\,dt=\frac92T+\frac{9}{8\pi f_0}\sin(4\pi f_0T)\simeq\frac92T=4{,}5\ \text{V}^2\text{s}.$$ Il secondo termine vale al più $\frac{9}{8\pi f_0}$, trascurabile rispetto a $\frac{9T}2$ se $f_0T\gg1$ (molti periodi nell'intervallo); è nullo se $f_0T$ è intero. Regola generale: un'oscillazione $A\cos(2\pi f_0t+\varphi_0)$ (o seno) su $[0,T]$ ha energia $\simeq\frac{A^2}2T$. Quindi $E_{s_2}\simeq\frac{4}2T=2$.

Ortogonalità. $\langle s_1,s_2\rangle=-6\int_0^T\cos(2\pi f_0t)\sin(2\pi f_0t)\,dt=-3\int_0^T\sin(4\pi f_0t)\,dt=\frac{3}{4\pi f_0}\left[\cos(4\pi f_0T)-1\right]=0$ per $f_0T$ intero (e $\simeq0$ se $f_0T\gg1$). Coseno e seno alla stessa frequenza sono in quadratura: ortogonali. Basta normalizzare: $$\phi_1=\frac{3\cos(2\pi f_0t)}{\sqrt{4{,}5}}=\sqrt2\cos(2\pi f_0t),\qquad\phi_2=\frac{-2\sin(2\pi f_0t)}{\sqrt2}=-\sqrt2\sin(2\pi f_0t),$$ $$\mathbf s_1=[\sqrt{4{,}5},\,0]=[2{,}12,\,0],\qquad\mathbf s_2=[0,\ \sqrt2]=[0,\,1{,}41].$$ In generale, per $f_0T\gg1$ e $T$ qualsiasi, $\sqrt{\frac2T}\cos(2\pi f_0t)$ e $\sqrt{\frac2T}\sin(2\pi f_0t)$ su $[0,T]$ formano una base ortonormale: è la base della modulazione QAM.

Errori comuni

• Dimenticare di normalizzare: le coordinate $\langle s,\phi_i\rangle$ sono le coordinate solo se $\lVert\phi_i\rVert=1$.
• Dire che la dimensione è $M$: è $I\le M$ (se due segnali sono proporzionali non aggiungono una dimensione).
• Fare Gram-Schmidt senza controllare se il resto $\phi'_{k+1}$ è nullo: dividere per un'energia zero.
• Calcolare l'energia di un'oscillazione come $A^2T$ invece di $\frac{A^2}2T$.
• Dimenticare che il segno di $\phi_2$ è una scelta: coordinate diverse, ma energie e distanze uguali.

Domande d'esame

1. Dati due segnali $s_1(t)$ e $s_2(t)$ (con figura), trovare una base ortonormale e disegnare la costellazione. Si parte da $\phi_1=s_1/\sqrt{E_{s_1}}$; si calcola $c=\langle s_2,\phi_1\rangle$ e $\phi'_2=s_2-c\phi_1$; se $\phi'_2\ne0$ si normalizza. Coordinate: $\mathbf s_1=[\sqrt{E_{s_1}},0]$, $\mathbf s_2=[c,\sqrt{E_{s_2}-c^2}]$.
2. Perché la dimensione dello spazio dei segnali può essere minore di $M$? Perché i segnali possono dipendere linearmente: la dimensione è il numero di funzioni di base indipendenti ($I\le M$). Esempio: un segnale e il suo opposto.
3. Che relazione c'è tra la distanza di due punti della costellazione e i segnali? È la norma del segnale differenza: $d_{m,n}=\lVert\mathbf s_m-\mathbf s_n\rVert=\sqrt{\int(s_m-s_n)^2dt}$, la radice della sua energia.

Esercizi svolti

• Esercizio - segnali binari a gradini, Gram-Schmidt da s1 - s2 e ricevitore a un solo correlatore (esercizi del corso, cap. 3, es. 25): Gram-Schmidt partendo da $s_1-s_2$ con segnali a gradini.
• Esercizio - due segnali con coefficiente di correlazione 1 su 2, base, periodo di simbolo e Es su N0 (esercizi del corso, cap. 3, es. 27): due segnali con $\rho=\frac12$ e due basi diverse.
• Esercizio - coseno, meno coseno e seno, base, distanza minima e ricevitore completo (esercizi del corso, cap. 3, es. 29): coseno e seno troncati, base e distanza minima.
• Esercizio - base ortonormale con tre impulsi, costellazione in una dimensione in meno e ricevitore a un ramo (primo compitino del 17 novembre 2023, es. 167): base ortonormale con rect e triangolo, supporti disgiunti.
• Esercizio - quattro segnali con triangoli e rettangoli, lower bound e costellazione biortogonale (esame del 29 agosto 2023, es. 164): triangoli e rettangoli, base e costellazione biortogonale.