Esercizio - costellazione ortogonale, ricevitore a un filtro, quadrato traslato e QAM equivalente (compito del 13 febbraio 2026, es. 202)

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Teoria usata: Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazioneIn una modulazione binaria con rumore AWGN e decisione a minima distanza l'errore avviene solo se la componente di rumore lungo la congiungente dei due punti supera metà distanza: $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$ con $d=\lVert\underline s_1-\underline s_2\rVert$. A parità di energia $E_s$ si ha $d^2=2E_s(1-\rho)$, quindi $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\sqrt{\frac{1-\rho}{2}}\right)$, con $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_{s_1}E_{s_2}}}$ coefficiente di correlazione. Antipodali ($\rho=-1$, BPSK): $Q\left(\sqrt{E_s/\sigma_I^2}\right)$; ortogonali ($\rho=0$): $Q\left(\sqrt{E_s/(2\sigma_I^2)}\right)$, 3 dB peggio; $\rho=1$: $P[E]=\frac12$. Per qualunque modulazione binaria basta un solo ramo del ricevitore, lungo $\phi_1'\propto s_1-s_2$.Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazione →, Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →, Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →, Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'erroreLa QAM trasmette due PAM indipendenti su due portanti in quadratura: $s_m(t)=\alpha_{m,I}h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)-\alpha_{m,Q}h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)$ con $\alpha\in{\pm1,\pm3,\dots}$ e $M=2^{2b}$ ($2b$ bit per simbolo). La base è $\phi_{1,2}\propto h_{Tx}\cos,,-h_{Tx}\sin$ con energia $\frac{E_h}2$, i punti stanno su una griglia $\sqrt M\times\sqrt M$ con $d_{\min}=\sqrt{2E_h}$ ed $E_s=\frac{M-1}{3}E_h$. Con $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$: $P[E]=4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q-4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)^2q^2$, con $\frac{E_h}{2\sigma_I^2}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{2(M-1)}$. Con Gray su ogni asse $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'errore →, Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione QUna v.a. continua ha funzione di distribuzione F_x(a) = P(x ≤ a) e densità f_x(a) = dF_x/da ≥ 0 con integrale 1; P(A ≤ x ≤ B) = F_x(B) − F_x(A) = ∫_A^B f_x e P(x = A) = 0. Uniforme U([a,b]): densità 1/(b−a), media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Esponenziale unilatera di media m: (1/m)e^(−a/m), a ≥ 0. Gaussiana N(m, σ²): P(x ≥ A) = Q((A − m)/σ), con Q(A) coda della gaussiana standard. Somme di gaussiane indipendenti sono gaussiane (medie e varianze si sommano); teorema del limite centrale.Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione Q →.

Con $a=10^{-6}$ V$\sqrt{\text{s}}$: $\mathbf s_1=(a,0)$, $\mathbf s_2=(0,a)$. Energie $E_1=E_2=a^2=10^{-12}$ V$^2$s, energia media $E_s=10^{-12}$, distanza $d=\lVert\mathbf s_1-\mathbf s_2\rVert=\sqrt2\,a$. I due punti sono ortogonali ($\mathbf s_1\cdot\mathbf s_2=0$): modulazione binaria ortogonale.

(1) Potenza del rumore per $P_{bit}=2\cdot10^{-3}$

Per una modulazione binaria $P_{bit}=P[E]=Q\left(\frac d{2\sigma_I}\right)$ (Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazioneIn una modulazione binaria con rumore AWGN e decisione a minima distanza l'errore avviene solo se la componente di rumore lungo la congiungente dei due punti supera metà distanza: $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$ con $d=\lVert\underline s_1-\underline s_2\rVert$. A parità di energia $E_s$ si ha $d^2=2E_s(1-\rho)$, quindi $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\sqrt{\frac{1-\rho}{2}}\right)$, con $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_{s_1}E_{s_2}}}$ coefficiente di correlazione. Antipodali ($\rho=-1$, BPSK): $Q\left(\sqrt{E_s/\sigma_I^2}\right)$; ortogonali ($\rho=0$): $Q\left(\sqrt{E_s/(2\sigma_I^2)}\right)$, 3 dB peggio; $\rho=1$: $P[E]=\frac12$. Per qualunque modulazione binaria basta un solo ramo del ricevitore, lungo $\phi_1'\propto s_1-s_2$.Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazione →). Qui $\frac d{2\sigma_I}=\frac{\sqrt2a}{2\sigma_I}=\sqrt{\frac{a^2}{2\sigma_I^2}}=\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}$ (con $E_s=a^2$). Da $Q(\xi)=2\cdot10^{-3}$ si ha $\xi=2{,}878$ e $$\sigma_I^2=\frac{a^2}{2\xi^2}=\frac{10^{-12}}{2\cdot8{,}285}=6{,}04\cdot10^{-14}\ \text{V}^2\text{s}\qquad(\sigma_I=2{,}46\cdot10^{-7}).$$

(2) Ricevitore con il numero minimo di filtri

La modulazione è binaria: basta un solo ramo lungo la retta che unisce i due punti, $\phi'_1=\frac{\phi_1-\phi_2}{\sqrt2}$ (Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →). Poiché le due coordinate di un campione generico valgono $x=r_1$ (proiezione su $\phi_1$) e $y=r_2$ (su $\phi_2$), il ramo calcola $x-y$ (a meno di un fattore): un filtro con risposta impulsiva $$\psi(t)=\phi_1(1-t)-\phi_2(1-t)$$ (le funzioni di base ribaltate e ritardate di $t_0=1$ s, causali perché non nulle solo per $t\in[0,1]$; il segno meno costruisce la differenza). Campionando l'uscita si ottiene $\xi=\langle r,\phi_1-\phi_2\rangle=x-y$.

• Ritardo di campionamento: $t_0=1$ s (fine del supporto delle $\phi_i$).
• Tempo di campionamento: ogni $kT+t_0=1{,}2k+1$ s, con $T=1{,}2$ s il periodo di simbolo ($T>1$ s: nessuna interferenza tra simboli).
• Decisione: i due punti hanno la stessa energia, quindi la soglia è nel punto medio, cioè $0$: $\xi>0\Rightarrow\hat a=1$ (dove $\xi=a>0$ per $\mathbf s_1$, $\xi=-a$ per $\mathbf s_2$), altrimenti $\hat a=2$.

La seconda coordinata della combinazione $\frac{\phi_1+\phi_2}{\sqrt2}$ è uguale per i due punti ($\frac{a}{\sqrt2}$) e non serve alla decisione (si vedano le regioni, di cui il confine è la retta $x=y$).

(3) Costellazione modificata e regioni

Si aggiungono $\mathbf s_3=(0,0)$ (l'origine) e $\mathbf s_4=\mathbf s_1+\mathbf s_2=(a,a)$. I quattro punti $(0,0)$, $(a,0)$, $(0,a)$, $(a,a)$ sono i vertici di un quadrato di lato $a$, centrato in $\left(\frac a2,\frac a2\right)$: una 4-QAM traslata. Con simboli equiprobabili e AWGN: minima distanza. Confini: $x=\frac a2$ (tra i punti con $x=0$ e quelli con $x=a$) e $y=\frac a2$. Le quattro regioni sono i quadranti centrati in $\left(\frac a2,\frac a2\right)$: $$\mathcal R_3=\{x<\tfrac a2,\ y<\tfrac a2\},\quad\mathcal R_1=\{x>\tfrac a2,\ y<\tfrac a2\},\quad\mathcal R_2=\{x<\tfrac a2,\ y>\tfrac a2\},\quad\mathcal R_4=\{x>\tfrac a2,\ y>\tfrac a2\}.$$

(4) Probabilità d'errore sul simbolo

Le decisioni sui due assi sono indipendenti e ogni punto è a distanza $\frac a2$ dai due confini che lo riguardano: per ogni punto $P[C]=\left[1-Q\left(\frac{a/2}{\sigma_I}\right)\right]^2$, e $$P[E]=1-\left[1-Q\left(\frac a{2\sigma_I}\right)\right]^2=2Q\left(\frac a{2\sigma_I}\right)-Q^2\left(\frac a{2\sigma_I}\right).$$ Con $\sigma_I^2=5\cdot10^{-5}$ si ha $\sigma_I=7{,}07\cdot10^{-3}$ e $\frac a{2\sigma_I}=\frac{10^{-6}}{1{,}41\cdot10^{-2}}=7{,}07\cdot10^{-5}$: praticamente zero, quindi $Q\simeq\frac12$ (precisamente $0{,}49997$) e $$P[E]=1-(1-0{,}49997)^2=0{,}75.$$ Con rumore enorme rispetto alla distanza tra i punti ($\sigma_I$ è migliaia di volte maggiore di $a$) il ricevitore è equivalente a una scelta a caso tra quattro punti: $P[E]=\frac34$. La soluzione del corso riporta $0{,}99$, ottenuto con l'approssimazione $2Q(\cdot)$ che vale solo quando $Q$ è piccolo (qui dà $2\cdot0{,}49997\simeq1$); il valore corretto è $0{,}75$. Il dato $\sigma_I^2=5\cdot10^{-5}$ è quasi certamente un refuso per $5\cdot10^{-14}$, dello stesso ordine di grandezza del punto 1: con quel valore $\frac a{2\sigma_I}=2{,}236$, $Q=0{,}01267$ e $P[E]=2Q-Q^2=2{,}52\cdot10^{-2}$.

(5) Energia media e confronto con la QAM

Energia media dei quattro punti (equiprobabili): $E_s'=\frac14\left[0+a^2+a^2+2a^2\right]=a^2=10^{-12}$ V$^2$s (l'origine non costa niente, il punto $(a,a)$ costa $2a^2$).

QAM equivalente. Una 4-QAM con la stessa probabilità d'errore ha la stessa distanza minima $a$ (la $P[E]$ dipende solo da $\frac{d_{min}}{2\sigma_I}$ per un quadrato, Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'erroreLa QAM trasmette due PAM indipendenti su due portanti in quadratura: $s_m(t)=\alpha_{m,I}h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)-\alpha_{m,Q}h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)$ con $\alpha\in{\pm1,\pm3,\dots}$ e $M=2^{2b}$ ($2b$ bit per simbolo). La base è $\phi_{1,2}\propto h_{Tx}\cos,,-h_{Tx}\sin$ con energia $\frac{E_h}2$, i punti stanno su una griglia $\sqrt M\times\sqrt M$ con $d_{\min}=\sqrt{2E_h}$ ed $E_s=\frac{M-1}{3}E_h$. Con $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$: $P[E]=4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q-4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)^2q^2$, con $\frac{E_h}{2\sigma_I^2}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{2(M-1)}$. Con Gray su ogni asse $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'errore →) ma è centrata nell'origine: i vertici sono $\left(\pm\frac a2,\pm\frac a2\right)$ e ciascuno ha energia $\frac{a^2}4+\frac{a^2}4=\frac{a^2}2$, quindi $$E_s''=\frac{a^2}2=0{,}5\cdot10^{-12}\ \text{V}^2\text{s}.$$ La QAM ha energia media pari alla metà: traslare tutta la costellazione non cambia distanze né probabilità d'errore, ma l'energia media è minima quando il centro dei punti è nell'origine: $E_s'=E_s''+\lVert\text{baricentro}\rVert^2=\frac{a^2}2+\left(\frac a{\sqrt2}\right)^2$, con baricentro $\left(\frac a2,\frac a2\right)$ di norma al quadrato $\frac{a^2}2$.