Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'errore

La QAM (quadrature amplitude modulation) usa due portanti alla stessa frequenza $f_0$ ma sfasate di $90^\circ$ (coseno e seno, in quadratura) e modula l'ampiezza di ciascuna con una PAM (Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'erroreNella PAM i segnali sono un impulso $h_{Tx}(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh_{Tx}(t)$. La base è $\phi_1=\frac{h_{Tx}}{\sqrt{E_h}}$, i punti sono $\alpha_m\sqrt{E_h}$ su una retta, $d_{\min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}{3}E_h$. I due simboli esterni sbagliano da una parte sola, gli $M-2$ interni da due: $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{M^2-1}}\right)$. Con la codifica di Gray (simboli adiacenti differiscono per un bit) $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'errore →). Raddoppia i bit per simbolo senza usare più banda di una PAM con lo stesso impulso: è la modulazione tipica dei sistemi radio e via cavo.

Versione per Ing. Elettronica: QAM - modulazione di ampiezza in quadraturaNella QAM si modulano ampiezza e fase di una portante con due ampiezze $\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}$ (simbolo complesso $\alpha_m=\alpha_{m,I}+j\alpha_{m,Q}$): $s_m(t)=\operatorname{Re}\left[\alpha_mh(t)e^{j2\pi f_0t}\right]$. È un segnale in banda passante con base a due dimensioni ($\cos$ e $\sin$ per l'impulso) e punti $\sqrt{\frac{E_h}2}\left[\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}\right]$. Per $M=L^2$: $d_{min}=\sqrt{2E_h}$, $E_s=E_h\frac{M-1}3$ e $P[E]=1-\left[1-2\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}\right)\right]^2\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac3{M-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$.QAM - modulazione di ampiezza in quadratura →. Versione per Ing. delle Telecomunicazioni: Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSKLe modulazioni pratiche usano un solo impulso base $h(t)$ (energia $E_h$) e coefficienti scelti in un insieme regolare. PAM: $s_n=\alpha_nh(t)$, $\alpha_n\in{-M+1,\dots,M-1}$, punti su una retta, $d_{min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}3E_h$, $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{6E_s}{(M^2-1)N_0}}\right)$. QAM: coefficienti complessi su due portanti in quadratura, base di dimensione 2, per $M=L^2$ $E_s=\frac{M-1}3E_h$ e $P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3E_s}{(M-1)N_0}}\right)$. PSK: ampiezza costante, fasi $\theta_n=\frac{(2n-1)\pi}M$, punti su una circonferenza, $E_s=\frac{E_h}2$, $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$. FSK: due sinusoidi a frequenze diverse, $\rho\approx\operatorname{sinc}(4f_dT)$. Con la codifica di Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSK →.

Segnali

$$s_m(t)=\alpha_{m,I}\,h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)-\alpha_{m,Q}\,h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t),\qquad m=1,\dots,M,$$ con $$\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}\in\{2\ell-L-1:\ \ell=1,\dots,L\},\qquad L=\sqrt M,\qquad M=2^{2b}\ (b\text{ intero}).$$ I valori possibili sono gli stessi della PAM a $L$ livelli ($\pm1,\pm3,\dots,\pm(L-1)$), uno per ciascuno dei due assi, e tutte le $L^2=M$ coppie $(\alpha_I,\alpha_Q)$ sono usate. Ogni simbolo porta $2b=\log_2M$ bit.

Il segno $-$ davanti al seno è una convenzione; conta che $h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)$ e $h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)$ siano ortogonali, e lo sono se $T\gg\frac1{f_0}$ (se la portante fa molti giri in $T$): il loro prodotto contiene $\sin(4\pi f_0t)$, che oscilla velocemente e ha integrale trascurabile (la stessa condizione già incontrata per la BPSK, Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazioneIn una modulazione binaria con rumore AWGN e decisione a minima distanza l'errore avviene solo se la componente di rumore lungo la congiungente dei due punti supera metà distanza: $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$ con $d=\lVert\underline s_1-\underline s_2\rVert$. A parità di energia $E_s$ si ha $d^2=2E_s(1-\rho)$, quindi $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\sqrt{\frac{1-\rho}{2}}\right)$, con $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_{s_1}E_{s_2}}}$ coefficiente di correlazione. Antipodali ($\rho=-1$, BPSK): $Q\left(\sqrt{E_s/\sigma_I^2}\right)$; ortogonali ($\rho=0$): $Q\left(\sqrt{E_s/(2\sigma_I^2)}\right)$, 3 dB peggio; $\rho=1$: $P[E]=\frac12$. Per qualunque modulazione binaria basta un solo ramo del ricevitore, lungo $\phi_1'\propto s_1-s_2$.Probabilità d'errore delle modulazioni binarie - funzione Q e coefficiente di correlazione →).

Base ortonormale e costellazione

Con $E_h=\int\lvert h_{Tx}(t)\rvert^2dt$, l'energia di $h_{Tx}\cos(2\pi f_0t)$ è circa $\frac{E_h}2$ (perché $\cos^2=\frac{1+\cos(4\pi f_0t)}{2}$ e il secondo termine integra a quasi zero). Quindi la base ortonormale è $$\phi_1(t)=\frac{h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)}{\sqrt{E_h/2}},\qquad\phi_2(t)=\frac{-h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)}{\sqrt{E_h/2}},$$ e $$s_m(t)=\alpha_{m,I}\sqrt{\tfrac{E_h}{2}}\,\phi_1(t)+\alpha_{m,Q}\sqrt{\tfrac{E_h}{2}}\,\phi_2(t)\ \Rightarrow\ \underline s_m=\left[\alpha_{m,I}\sqrt{\tfrac{E_h}{2}},\ \alpha_{m,Q}\sqrt{\tfrac{E_h}{2}}\right]$$ (Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →). I punti formano una griglia quadrata $L\times L$ con passo $2\sqrt{\frac{E_h}2}=\sqrt{2E_h}$: la distanza minima è $d_{\min}=\sqrt{2E_h}$. Le regioni di decisione MD sono i quadrati (le celle della griglia, con le regioni esterne illimitate), delimitati da rette parallele agli assi a metà tra punti adiacenti (Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →).

4-QAM ($L=2$): $(\alpha_I,\alpha_Q)=(\pm1,\pm1)$, punti $\left(\pm\sqrt{\frac{E_h}2},\pm\sqrt{\frac{E_h}2}\right)$ ai vertici di un quadrato. Hanno tutti la stessa energia $E_{s_m}=2\cdot\frac{E_h}{2}=E_h=E_s$ e la stessa distanza dall'origine $\sqrt{E_s}$. Le regioni sono i quattro quadranti. (È la QPSK: gli stessi punti ruotati sono quelli della biortogonale di Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union boundCon $M>2$ segnali ogni simbolo porta $\log_2M$ bit. La probabilità d'errore si limita con la union bound: $P[E\mid m]\le\sum_{m'\ne m}Q\left(\frac{d_{m',m}}{2\sigma_I}\right)$, da cui $\frac{N_{\min}}{M},Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)$ ($d_{\min}$ distanza minima della costellazione, $N_{\min}$ numero di punti che hanno un vicino a quella distanza). Modulazioni ortogonali (PPM): $d=\sqrt{2E_s}$ per ogni coppia, $P[E]\le(M-1)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)$. Biortogonali ($M/2$ ortogonali più i loro opposti): $P[E]\le(M-2)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)+Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\right)$.Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union bound →.)

16-QAM ($L=4$): griglia $4\times4$ con coordinate $\pm\sqrt{\frac{E_h}2},\pm3\sqrt{\frac{E_h}2}$ su ciascun asse; $\log_2M=4$ bit per simbolo.

Energia media

Con simboli equiprobabili la media sui $M$ punti si spezza nelle due coordinate, ciascuna con distribuzione uniforme sui $L$ livelli della PAM. Per una PAM a $L$ livelli $\mathbb E[\alpha^2]=\frac{L^2-1}{3}$ (Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'erroreNella PAM i segnali sono un impulso $h_{Tx}(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh_{Tx}(t)$. La base è $\phi_1=\frac{h_{Tx}}{\sqrt{E_h}}$, i punti sono $\alpha_m\sqrt{E_h}$ su una retta, $d_{\min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}{3}E_h$. I due simboli esterni sbagliano da una parte sola, gli $M-2$ interni da due: $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{M^2-1}}\right)$. Con la codifica di Gray (simboli adiacenti differiscono per un bit) $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione PAM - livelli, energia media, codifica di Gray e probabilità d'errore →), quindi $$E_s=\frac1M\sum_{m=1}^M\left[\alpha_{m,I}^2+\alpha_{m,Q}^2\right]\frac{E_h}{2}=2\cdot\frac{L^2-1}{3}\cdot\frac{E_h}{2}=\boxed{\frac{M-1}{3}\,E_h}\qquad(L^2=M).$$ Controllo: $M=4$ dà $E_s=E_h$ (come sopra); $M=16$ dà $5E_h$ (media di $\frac{E_h}{2}\left[\alpha_I^2+\alpha_Q^2\right]$ con $\alpha^2\in\{1,9\}$ equiprobabili: $\frac{E_h}{2}(5+5)=5E_h$ ✓). Inversamente $E_h=\frac{3}{M-1}E_s$ e $d_{\min}^2=2E_h=\frac{6}{M-1}E_s$.

Probabilità d'errore sul simbolo

Con AWGN le componenti $w_1,w_2$ del rumore sono indipendenti, ciascuna $\mathcal N(0,\sigma_I^2)$. Si calcola $P[C\mid m]=P[\underline r\in\mathcal R_m\mid a_0=m]=P[\underline s_m+\underline w\in\mathcal R_m]$. Per brevità $$q=Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$$ (la distanza da un punto al bordo della sua regione è $\frac{d_{\min}}2=\sqrt{\frac{E_h}2}$). Ci sono tre tipi di regione.

A. Regioni d'angolo (4 punti): il punto sta nell'angolo e la regione è illimitata in due direzioni. Si decide bene se $w_1\ge-\sqrt{\frac{E_h}2}$ e $w_2\ge-\sqrt{\frac{E_h}2}$, eventi indipendenti: $$P[C\mid A]=P\left[w_1\ge-\sqrt{\tfrac{E_h}2}\right]P\left[w_2\ge-\sqrt{\tfrac{E_h}2}\right]=\left[Q\left(-\sqrt{\tfrac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)\right]^2=(1-q)^2.$$ B. Regioni esterne non d'angolo (sui lati, $4(\sqrt M-2)$ punti): illimitate in una sola direzione. Lungo quella direzione si sbaglia solo da un lato (probabilità $q$ da una coda), nell'altra da due ($2q$): $$P[C\mid B]=(1-q)(1-2q).$$ C. Regioni interne ($M-4-4(\sqrt M-2)=(\sqrt M-2)^2$ punti): chiuse, un quadrato: $$P[C\mid C]=(1-2q)^2.$$ Per $M=16$: $4+8+4=16$ regioni; per $M=64$: $4+24+36=64$.

Mediando ($P[E]=1-P[C]$, $P[C]=\frac1M\sum_mP[C\mid m]$): $$P[C]=\frac1M\left[4(1-q)^2+4(\sqrt M-2)(1-q)(1-2q)+(\sqrt M-2)^2(1-2q)^2\right].$$ Si semplifica notando che ogni addendo è il prodotto di due fattori, uno per asse, $c_ic_j$ con $c=1-q$ per i livelli esterni e $c=1-2q$ per gli interni; la somma sulla griglia è il quadrato della somma su un asse: $\sum_ic_i=2(1-q)+(L-2)(1-2q)=L-2(L-1)q$. Quindi $$P[C]=\frac{1}{L^2}\left[L-2(L-1)q\right]^2=\left[1-2\left(1-\tfrac1L\right)q\right]^2,$$ cioè il quadrato della probabilità di decisione corretta di una $L$-PAM: la QAM è due PAM indipendenti, una per asse. Con $L=\sqrt M$: $$\boxed{P[E]=4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q-4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)^2q^2,\qquad q=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}\cdot\frac{3}{2(M-1)}}\right)}$$ (con $E_h=\frac{3}{M-1}E_s$; con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ l'argomento è $\sqrt{\frac{3}{M-1}\frac{E_s}{N_0}}$). Il secondo termine, quadratico in $q$, è trascurabile quando $q\ll1$: allora $P[E]\simeq4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q$ (per la 16-QAM $3q$). Per la 4-QAM: $P[E]=2q-q^2$, con $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$.

Esempio. 16-QAM con $\frac{E_s}{\sigma_I^2}=100$ (20 dB): $q=Q\left(\sqrt{\frac{3\cdot100}{2\cdot15}}\right)=Q\left(\sqrt{10}\right)=7{,}83\cdot10^{-4}$; $P[E]=3q-2{,}25q^2=2{,}347\cdot10^{-3}$ (con la sola $3q$: $2{,}348\cdot10^{-3}$; una simulazione con $2\cdot10^6$ simboli dà $2{,}33\cdot10^{-3}$). Con lo stesso $E_s$ la 64-QAM ha $q=Q\left(\sqrt{\frac{300}{126}}\right)=Q(1{,}543)=0{,}061$ e $P[E]=0{,}203$: una modulazione troppo fitta per quell'SNR. Aumentare $M$ di un fattore $4$ (due bit in più) richiede circa $\frac{E_s'}{E_s}\simeq\frac{M'-1}{M-1}\simeq4$, cioè $6$ dB in più a parità di $d_{\min}$.

Codifica di Gray e probabilità sul bit

Si usa la codifica di Gray su ciascun asse: nel 16-QAM i primi due bit scelgono la colonna ($\alpha_I$) con la sequenza $00,01,11,10$ da sinistra a destra, gli ultimi due la riga ($\alpha_Q$) con la stessa sequenza. Punti adiacenti (orizzontalmente o verticalmente) differiscono per un solo bit. Per esempio $00\,|\,10$ ha come vicini orizzontale $01\,|\,10$ e verticale $00\,|\,11$: ogni passo cambia un bit.

Con un errore di simbolo che in genere sposta il punto in una cella adiacente, un solo bit su $\log_2M$ è sbagliato: $$P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}.$$ Per la 4-QAM con Gray il risultato è esatto per costruzione: i due bit viaggiano su due assi indipendenti, ciascuno è una binaria antipodale, $P_{bit}=q=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$, e $\frac{P[E]}{2}=q-\frac{q^2}2\simeq q$. Per la 16-QAM dell'esempio: $P_{bit}\simeq\frac{2{,}347\cdot10^{-3}}{4}=5{,}87\cdot10^{-4}$ (simulazione: $5{,}83\cdot10^{-4}$).

Errori comuni

• Usare per l'energia $E_s=\frac{M^2-1}{3}E_h$ (formula della PAM): per la QAM è $\frac{M-1}{3}E_h$ (due assi, ciascuno con $\sqrt M$ livelli e con $\frac{E_h}2$).
• Scrivere come argomento della $Q$ $\sqrt{E_h/\sigma_I^2}$ invece di $\sqrt{E_h/(2\sigma_I^2)}$: la distanza dal bordo è $\sqrt{E_h/2}$.
• Contare male le regioni: $4$ d'angolo, $4(\sqrt M-2)$ sui lati, $(\sqrt M-2)^2$ interne (la somma deve fare $M$).
• Dimenticare il termine $-q^2$ quando $q$ non è piccolo (4-QAM a SNR bassi).
• Dimenticare di moltiplicare per l'attenuazione: $E_s$, $E_h$ sono quelle al ricevitore.

Domande d'esame

1. Si ricavino le coordinate, l'energia media e la distanza minima della $M$-QAM. Traccia: $\phi_{1,2}$ con energia $\frac{E_h}2$; $\underline s_m=\left[\alpha_I\sqrt{E_h/2},\alpha_Q\sqrt{E_h/2}\right]$; $E_s=\frac{M-1}3E_h$; $d_{\min}=\sqrt{2E_h}$.
2. Si ricavi la probabilità d'errore di simbolo della $M$-QAM, distinguendo i tipi di regione. Traccia: regioni d'angolo $(1-q)^2$, lato $(1-q)(1-2q)$, interne $(1-2q)^2$; numero per tipo; somma $\to$ $4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q-4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)^2q^2$.
3. La 16-QAM con Gray: $P_{bit}$ in funzione di $P[E]$? Traccia: Gray per asse, adiacenti differiscono per un bit, $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{4}$.