Esercizio - 4-QAM con impulso triangolare, lunghezza del cavo, canale di simbolo, capacità e codice non lineare (compito del 23 gennaio 2026, es. 199)

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Teoria usata: Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'erroreLa QAM trasmette due PAM indipendenti su due portanti in quadratura: $s_m(t)=\alpha_{m,I}h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)-\alpha_{m,Q}h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)$ con $\alpha\in{\pm1,\pm3,\dots}$ e $M=2^{2b}$ ($2b$ bit per simbolo). La base è $\phi_{1,2}\propto h_{Tx}\cos,,-h_{Tx}\sin$ con energia $\frac{E_h}2$, i punti stanno su una griglia $\sqrt M\times\sqrt M$ con $d_{\min}=\sqrt{2E_h}$ ed $E_s=\frac{M-1}{3}E_h$. Con $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$: $P[E]=4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q-4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)^2q^2$, con $\frac{E_h}{2\sigma_I^2}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{2(M-1)}$. Con Gray su ogni asse $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'errore →, Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio liberoIl canale moltiplica il segnale per un fattore $A$ e aggiunge il rumore, che nasce al ricevitore: $r(t)=A,s_{Tx}(t)+w(t)$, con $\frac{E_r}{E_{Tx}}=A^2$. Se $A<1$ c'è attenuazione $a=\frac1A$, in dB $(a^2){dB}=10\log{10}a^2$. Cavo e fibra: attenuazione proporzionale alla lunghezza, $(a^2){dB}=\tilde a\cdot l{km}$ (cavo in rame: $\tilde a$ cresce con $\sqrt f$; fibra circa $0{,}2$ dB/km). Radio in spazio libero: $(a){dB}=32{,}4+20\log{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{Tx,dB}-g_{Rx,dB}$. L'energia al ricevitore $E_s=A^2E_{Tx}$ è quella da usare nelle formule di $P[E]$; poiché $P=\frac{E}{T}$, vale $\frac{E_r}{E_{Tx}}=\frac{P_r}{P_{Tx}}$.Canali di trasmissione - cavo, fibra ottica e radio in spazio libero →, Tasso d'informazione, capacità di canale e teorema di ShannonUna sorgente che emette un simbolo ogni $T$ secondi ha tasso d'informazione $R=\frac{H_s}T$ [bit/s] ($H_s$ entropia per simbolo); un canale ha tasso $R(g)=\frac{I_s(x;y)}T\le R(x)$. La capacità è il massimo del tasso del canale su tutte le statistiche d'ingresso, $C=\max_{p_x}\frac{I(x;y)}T$ per un canale senza memoria. Teorema di Shannon: se il tasso nominale della sorgente è $R\le C$ esiste un codice di canale con probabilità d'errore piccola a piacere, se $R>C$ no. Capacità: BSC $C=\frac1T[1-h(P_{bit})]$, canale a cancellazione $C=\frac{1-\alpha}T$, AWGN reale $C=\frac1{2T}\log_2\left(1+\frac{E_s}{\sigma^2}\right)$; canali in parallelo sommano le capacità.Tasso d'informazione, capacità di canale e teorema di Shannon →, Entropia congiunta e condizionata e informazione mutuaPer due variabili aleatorie discrete $x,y$ l'entropia congiunta è $H(x,y)=E\left[\log_2\frac1{P_{x,y}(x,y)}\right]$ e vale $\max{H(x),H(y)}\le H(x,y)\le H(x)+H(y)$, con l'uguaglianza a destra se e solo se $x$ e $y$ sono indipendenti e $H(x,y)=H(x)$ se $y=f(x)$. L'entropia condizionata $H(x|y)=E_y[H(x|y=y)]$ soddisfa la regola della catena $H(x,y)=H(x|y)+H(y)=H(y|x)+H(x)$. L'informazione mutua $I(x;y)=H(x)+H(y)-H(x,y)=H(x)-H(x|y)=H(y)-H(y|x)$ è simmetrica, $0\le I\le\min{H(x),H(y)}$, nulla per variabili indipendenti.Entropia congiunta e condizionata e informazione mutua →, Controllo d'errore - ARQ, FEC e codici a blocco sul canale binario simmetricoPer proteggere i bit dagli errori si può chiedere la ritrasmissione (ARQ, serve il canale di ritorno), aggiungere ridondanza per correggere (FEC) o unire le due cose (HARQ). Un codice a blocco $(n,k)$ trasforma $k$ bit in una parola di $n>k$ bit scelta tra $2^k$ parole su $2^n$ sequenze; modulatore, canale e demodulatore equivalgono a un canale binario simmetrico senza memoria con probabilità d'errore sul bit $P_{bit}$. Per $P_{bit}<\frac12$ il decodificatore ML sceglie la parola a minima distanza di Hamming; con distanza minima $d_{min}$ si correggono sempre $t=\lfloor\frac{d_{min}-1}{2}\rfloor$ errori e se ne rivelano sempre $d_{min}-1$. Il tasso è $R=\frac kn$ e la probabilità d'errore di parola è limitata da $P(\text{più di }t\text{ errori})$. L'ARQ ha efficienza $S_{SW}$, $S_{GBN}$, $S_{SR}$ in funzione di $t_P$, $t_A$, $\tau_P$ e $p$.Controllo d'errore - ARQ, FEC e codici a blocco sul canale binario simmetrico →, Codici a blocco lineari - matrice generatrice, forma sistematica e bound di SingletonUn codice a blocco è lineare se le sue $2^k$ parole formano un sottospazio dello spazio delle sequenze binarie di $n$ bit, con la somma modulo 2 (XOR) senza riporto: contiene la parola nulla ed è chiuso rispetto alla somma. Si descrive con la matrice generatrice $G$ ($n\times k$, rango $k$, $\mathbf c=G\mathbf b$, le colonne sono parole di codice); le operazioni sulle colonne non cambiano il codice, le permutazioni delle righe permutano i bit e non cambiano le prestazioni sul canale senza memoria. In forma sistematica $G=\begin{bmatrix}I_k\A\end{bmatrix}$ e $\mathbf c=[\mathbf b;A\mathbf b]$. Per i codici lineari la distanza minima è il peso di Hamming minimo delle parole non nulle e vale il bound di Singleton $d_{min}\le n-k+1$.Codici a blocco lineari - matrice generatrice, forma sistematica e bound di Singleton →.

Il testo tocca più parti del corso (modulazione, capacità, codici): si svolge intero, con rimandi alle note delle altre parti.

(1) Lunghezza del collegamento

Periodo di simbolo. Una 4-QAM ha $M=4$ simboli, cioè $\log_2M=2$ bit per simbolo. Con $1$ Mbit/s i simboli sono $\frac{10^6}{2}=5\cdot10^5$ al secondo: $$T=\frac{\log_2M}{R_b}=\frac{2}{10^6}=2\ \mu\text{s}.$$ Energia dell'impulso in trasmissione. L'impulso triangolare ha base $T$ (da $0$ a $T$) e altezza $10$ V. Un triangolo di altezza $h_0$ e base $T$ ha energia $\int h^2dt=2\int_0^{T/2}\left(\frac{2h_0}{T}t\right)^2dt=2\cdot\frac{4h_0^2}{T^2}\cdot\frac{(T/2)^3}{3}=\frac{h_0^2T}{3}$. Quindi $$E_{h,Tx}=\frac{10^2\,T}{3}=\frac{100\cdot2\cdot10^{-6}}{3}=6{,}667\cdot10^{-5}\ \text{V}^2\text{s}.$$ Probabilità d'errore della 4-QAM. Con $M=4$ ($\sqrt M=2$) la formula di Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'erroreLa QAM trasmette due PAM indipendenti su due portanti in quadratura: $s_m(t)=\alpha_{m,I}h_{Tx}(t)\cos(2\pi f_0t)-\alpha_{m,Q}h_{Tx}(t)\sin(2\pi f_0t)$ con $\alpha\in{\pm1,\pm3,\dots}$ e $M=2^{2b}$ ($2b$ bit per simbolo). La base è $\phi_{1,2}\propto h_{Tx}\cos,,-h_{Tx}\sin$ con energia $\frac{E_h}2$, i punti stanno su una griglia $\sqrt M\times\sqrt M$ con $d_{\min}=\sqrt{2E_h}$ ed $E_s=\frac{M-1}{3}E_h$. Con $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$: $P[E]=4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)q-4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)^2q^2$, con $\frac{E_h}{2\sigma_I^2}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}\frac{3}{2(M-1)}$. Con Gray su ogni asse $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazione QAM - costellazioni, energia e probabilità d'errore → dà $P[E]=2q-q^2$, con $q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$ e $E_h$ energia dell'impulso al ricevitore (per la 4-QAM $E_s=E_h$). Si impone $P[E]=10^{-2}$ e si risolve per $q$: $q^2-2q+10^{-2}=0$, cioè $$q=1-\sqrt{1-10^{-2}}=1-0{,}994987=5{,}0126\cdot10^{-3},$$ (se si trascura $q^2$: $q\simeq5\cdot10^{-3}$, differenza minima). Allora $$\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}=Q^{-1}(5{,}0126\cdot10^{-3})=2{,}575\ \Rightarrow\ E_h=2\sigma_I^2\cdot2{,}575^2=2\cdot10^{-6}\cdot6{,}631=1{,}326\cdot10^{-5}\ \text{V}^2\text{s}.$$ Attenuazione ammessa. Il canale deve ridurre l'energia dell'impulso da $6{,}667\cdot10^{-5}$ a $1{,}326\cdot10^{-5}$: $$a^2=\frac{E_{h,Tx}}{E_h}=\frac{6{,}667\cdot10^{-5}}{1{,}326\cdot10^{-5}}=5{,}027,\qquad(a^2)_{dB}=10\log_{10}5{,}027=7{,}01\ \text{dB}.$$ Il cavo attenua $2{,}5$ dB/km, quindi la lunghezza massima è $$l=\frac{7{,}01\ \text{dB}}{2{,}5\ \text{dB/km}}=2{,}80\ \text{km}.$$ (La soluzione del corso scrive «$E_h=100T/3=1{,}35\cdot10^{-5}$», ma $1{,}35\cdot10^{-5}$ è l'energia ricevuta richiesta ($2\sigma_I^2\cdot2{,}6^2$), mentre $\frac{100T}{3}$ con $T=2\ \mu$s vale $6{,}67\cdot10^{-5}$. Arrotonda poi $Q^{-1}$ a $2{,}6$ e ottiene $6{,}93$ dB e $2{,}7$ km. Con il valore non arrotondato la lunghezza è $2{,}80$ km: la differenza è solo di arrotondamento.)

(2) Probabilità di transizione del canale

Il «canale» da $X=a_k$ a $Y=\hat a_k$ ha ingresso e uscita nell'alfabeto dei $4$ simboli: è il canale numerico equivalente (modulatore, canale AWGN, demodulatore). Si numerano i simboli $1,2,3,4$ in senso antiorario sui vertici del quadrato, quindi $1$ ha come vicini $2$ e $4$ e come opposto $3$. Con $X=1$ il punto ricevuto è $\underline s_1+\underline w$ e le due componenti del rumore sono indipendenti. Sia $q=5{,}0126\cdot10^{-3}$ la probabilità che una componente superi il confine (distanza $\sqrt{E_h/2}$ dall'asse):

• $Y=1$ (decisione corretta): nessuna delle due componenti supera il confine, $(1-q)^2=0{,}99$;
• $Y=2$ oppure $Y=4$ (simbolo adiacente): una componente supera il confine e l'altra no, $q(1-q)=4{,}987\cdot10^{-3}$ ciascuno;
• $Y=3$ (simbolo opposto): entrambe le componenti superano il confine, $q^2=2{,}51\cdot10^{-5}$.

Somma: $(1-q)^2+2q(1-q)+q^2=1$ ✓ (e $P[E]=1-(1-q)^2=10^{-2}$ per costruzione). Per simmetria della costellazione, la riga di ogni altro simbolo è una permutazione di questa. Con colonne $Y=1,2,3,4$: $$\left[P(Y=j\mid X=1)\right]=\left[0{,}9900,\ 4{,}99\cdot10^{-3},\ 2{,}5\cdot10^{-5},\ 4{,}99\cdot10^{-3}\right]$$ (e analogamente per $X=2,3,4$, spostando ciclicamente).

(La soluzione del corso usa le probabilità a coppie: $Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)=5\cdot10^{-3}$ per gli adiacenti e $Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{\sigma_I^2}}\right)\simeq1\cdot10^{-4}$ per l'opposto, con $P(Y=1\mid X=1)=0{,}9899$. Il valore esatto per l'opposto è $q^2=2{,}5\cdot10^{-5}$: $1{,}4\cdot10^{-4}$ è la probabilità dell'evento "$\underline r$ più vicino a $s_3$ che a $s_1$", un semipiano che contiene anche i quadranti adiacenti, mentre qui serve la probabilità che $\underline r$ cada nel quadrante di $s_3$. La differenza non cambia le conclusioni.)

(3) Capacità del canale

Il canale è simmetrico (ogni riga è una permutazione della prima e lo stesso vale per le colonne): la capacità si ottiene con ingressi equiprobabili. Si usa $I(X;Y)=H(Y)-H(Y\mid X)$ (Entropia congiunta e condizionata e informazione mutuaPer due variabili aleatorie discrete $x,y$ l'entropia congiunta è $H(x,y)=E\left[\log_2\frac1{P_{x,y}(x,y)}\right]$ e vale $\max{H(x),H(y)}\le H(x,y)\le H(x)+H(y)$, con l'uguaglianza a destra se e solo se $x$ e $y$ sono indipendenti e $H(x,y)=H(x)$ se $y=f(x)$. L'entropia condizionata $H(x|y)=E_y[H(x|y=y)]$ soddisfa la regola della catena $H(x,y)=H(x|y)+H(y)=H(y|x)+H(x)$. L'informazione mutua $I(x;y)=H(x)+H(y)-H(x,y)=H(x)-H(x|y)=H(y)-H(y|x)$ è simmetrica, $0\le I\le\min{H(x),H(y)}$, nulla per variabili indipendenti.Entropia congiunta e condizionata e informazione mutua →).

• $H(Y\mid X)$ è uguale per ogni ingresso e non dipende dalla distribuzione di $X$: $H(Y\mid X=x)=-\sum_jp_j\log_2p_j$ con $p=\{0{,}9900,\ 4{,}987\cdot10^{-3},\ 4{,}987\cdot10^{-3},\ 2{,}51\cdot10^{-5}\}$: $$H(Y\mid X)=-\left[0{,}99\log_2(0{,}99)+2\cdot4{,}987\cdot10^{-3}\log_2(4{,}987\cdot10^{-3})+2{,}51\cdot10^{-5}\log_2(2{,}51\cdot10^{-5})\right]=0{,}0910\ \text{bit}.$$
• $H(Y)$ è massima, $\log_24=2$ bit, quando $Y$ è uniforme, cosa che accade con $X$ uniforme (per la simmetria del canale).

$$C=\frac1T\left[2-0{,}0910\right]=\frac{1{,}909}{2\cdot10^{-6}}=954{,}5\ \text{kbit/s}.$$ Il risultato è minore del bit rate nominale ($1$ Mbit/s): su questo canale non si può trasmettere $1$ Mbit/s con probabilità d'errore piccola a piacere (teorema di Shannon, Tasso d'informazione, capacità di canale e teorema di ShannonUna sorgente che emette un simbolo ogni $T$ secondi ha tasso d'informazione $R=\frac{H_s}T$ [bit/s] ($H_s$ entropia per simbolo); un canale ha tasso $R(g)=\frac{I_s(x;y)}T\le R(x)$. La capacità è il massimo del tasso del canale su tutte le statistiche d'ingresso, $C=\max_{p_x}\frac{I(x;y)}T$ per un canale senza memoria. Teorema di Shannon: se il tasso nominale della sorgente è $R\le C$ esiste un codice di canale con probabilità d'errore piccola a piacere, se $R>C$ no. Capacità: BSC $C=\frac1T[1-h(P_{bit})]$, canale a cancellazione $C=\frac{1-\alpha}T$, AWGN reale $C=\frac1{2T}\log_2\left(1+\frac{E_s}{\sigma^2}\right)$; canali in parallelo sommano le capacità.Tasso d'informazione, capacità di canale e teorema di Shannon →): servirebbe un'attenuazione minore, cioè un cavo più corto di $2{,}8$ km. (La soluzione del corso: $0{,}092$ bit e $954$ kbit/s: stesso risultato.)

(4) Il codice è sistematico? È lineare?

Il codice associa a $2$ bit di informazione una parola di $n=4$ bit: $(n,k)=(4,2)$.

• Sistematico: i due bit di informazione compaiono in chiaro, nelle prime due posizioni: $00\to\mathbf{00}00$, $01\to\mathbf{01}11$, $10\to\mathbf{10}11$, $11\to\mathbf{11}01$ ✓.
• Lineare: un codice binario è lineare se la somma (XOR) di due parole di codice è una parola di codice. Si provano due parole: $0111\oplus1011=1100$, che non è nell'insieme $\{0000,0111,1011,1101\}$. Quindi non è lineare (per un codice lineare di $2$ bit la quarta parola $1101$ dovrebbe essere $0111\oplus1011=1100$).

(5) Distanza minima e peso minimo

Distanza di Hamming tra tutte le coppie (numero di bit diversi):

La distanza minima è $d_{\min}=2$. Il peso di una parola è il numero di $1$: $0111$, $1011$, $1101$ hanno peso $3$; la parola nulla ha peso $0$. Il peso minimo (delle parole non nulle) è $w_{\min}=3$. Si osserva che $d_{\min}\ne w_{\min}$: per i codici lineari i due valori coincidono (perché $d(c_1,c_2)=w(c_1\oplus c_2)$ e $c_1\oplus c_2$ è di nuovo una parola), per quelli non lineari no. Con $d_{\min}=2$ il codice rivela $1$ errore e non ne corregge nessuno.

Verifica con Python

$E_{h,Tx}=6{,}667\cdot10^{-5}$; $q=5{,}0126\cdot10^{-3}$, $Q^{-1}(q)=2{,}5750$, $E_h=1{,}3261\cdot10^{-5}$, $a^2=5{,}027$ ($7{,}013$ dB, $2{,}805$ km); riga di transizione $[0{,}99,\ 4{,}9874\cdot10^{-3},\ 2{,}5126\cdot10^{-5},\ 4{,}9874\cdot10^{-3}]$ con somma $1$; $H(Y\mid X)=0{,}09102$ bit, $C=954{,}49$ kbit/s; distanze tra le parole $3,3,3,2,2,2$ e pesi $0,3,3,3$.

Errori comuni

• Usare $T=1\ \mu$s (un bit per simbolo): la 4-QAM porta due bit per simbolo, $T=2\ \mu$s.
• Scambiare l'energia dell'impulso trasmesso ($\frac{100T}{3}$) con quella ricevuta (richiesta per la $P[E]$): il canale le lega con l'attenuazione.
• Calcolare $P[E]$ della 4-QAM come $Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{2\sigma_I^2}}\right)$ senza il fattore $2$: la 4-QAM ha due componenti, $P[E]=2q-q^2$.
• Dire che il codice è lineare perché è sistematico: le due proprietà sono indipendenti (qui le parole di controllo non sono combinazioni lineari dei bit di informazione).
• Confondere la distanza minima con il peso minimo nei codici non lineari.