Esercizio - coseno, meno coseno e seno, base, distanza minima e ricevitore completo (esercizi del corso, cap. 3, es. 29)

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Teoria usata: Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →, Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union boundCon $M>2$ segnali ogni simbolo porta $\log_2M$ bit. La probabilità d'errore si limita con la union bound: $P[E\mid m]\le\sum_{m'\ne m}Q\left(\frac{d_{m',m}}{2\sigma_I}\right)$, da cui $\frac{N_{\min}}{M},Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)$ ($d_{\min}$ distanza minima della costellazione, $N_{\min}$ numero di punti che hanno un vicino a quella distanza). Modulazioni ortogonali (PPM): $d=\sqrt{2E_s}$ per ogni coppia, $P[E]\le(M-1)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)$. Biortogonali ($M/2$ ortogonali più i loro opposti): $P[E]\le(M-2)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)+Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\right)$.Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union bound →, Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →, Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →.

(1) Base

Energie. $f_0T=100$ è un numero intero di periodi: $\int_0^T\cos^2(2\pi f_0t)\,dt=\frac T2$ esattamente, e $$E_1=E_2=4\cdot\frac T2=2T=2\cdot10^{-6}\ \text{V}^2\text{s},\qquad E_3=1\cdot\frac T2=\frac T2=5\cdot10^{-7}\ \text{V}^2\text{s}.$$ Ortogonalità. $\langle s_1,s_3\rangle=2\int_0^T\cos(2\pi f_0t)\sin(2\pi f_0t)\,dt=\int_0^T\sin(4\pi f_0t)\,dt=0$ (anche qui $2f_0T=200$ periodi interi), e $s_2=-s_1$ sta sulla stessa retta di $s_1$. Il sottospazio ha dimensione $I=2$ e una base ortonormale si ottiene normalizzando coseno e seno (Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →): $$\phi_1(t)=\sqrt{\frac2T}\cos(2\pi f_0t)\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}T\right),\qquad\phi_2(t)=\sqrt{\frac2T}\sin(2\pi f_0t)\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}T\right)$$ (energia $\frac2T\cdot\frac T2=1$). Questa è la base che dà Gram-Schmidt partendo da $s_1$ e $s_3$.

(2) Costellazione e distanza minima

Coordinate: $2\cos=2\sqrt{\frac T2}\,\phi_1=\sqrt{2T}\,\phi_1$ e $\sin=\sqrt{\frac T2}\,\phi_2$: $$\mathbf s_1=\left[\sqrt{2T},0\right]=[1{,}414,\,0]\cdot10^{-3},\quad\mathbf s_2=\left[-\sqrt{2T},0\right],\quad\mathbf s_3=\left[0,\sqrt{\tfrac T2}\right]=[0,\,0{,}707]\cdot10^{-3}\ \ (\text{V}\sqrt{\text{s}}).$$ Distanze: $$d_{1,2}=2\sqrt{2T}=2{,}83\cdot10^{-3},\qquad d_{1,3}=d_{2,3}=\sqrt{2T+\tfrac T2}=\sqrt{\tfrac52T}=1{,}58\cdot10^{-3}.$$ La distanza minima è $d_{min}=\sqrt{\frac52T}=1{,}58\cdot10^{-3}$ V$\sqrt{\text{s}}$ (tra $\mathbf s_3$ e ciascuno degli altri due).

(3) Upper bound basato su $d_{min}$

Il rumore per dimensione è $\sigma_I^2=\frac{N_0}2=0{,}5\cdot10^{-7}$ V$^2$s, cioè $\sigma_I=2{,}236\cdot10^{-4}$ V$\sqrt{\text{s}}$. Dalla union bound, con $M=3$ (Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union boundCon $M>2$ segnali ogni simbolo porta $\log_2M$ bit. La probabilità d'errore si limita con la union bound: $P[E\mid m]\le\sum_{m'\ne m}Q\left(\frac{d_{m',m}}{2\sigma_I}\right)$, da cui $\frac{N_{\min}}{M},Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)$ ($d_{\min}$ distanza minima della costellazione, $N_{\min}$ numero di punti che hanno un vicino a quella distanza). Modulazioni ortogonali (PPM): $d=\sqrt{2E_s}$ per ogni coppia, $P[E]\le(M-1)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)$. Biortogonali ($M/2$ ortogonali più i loro opposti): $P[E]\le(M-2)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)+Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\right)$.Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union bound →): $$P_e\le(M-1)\,Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)=2\,Q\left(\frac{1{,}58\cdot10^{-3}}{2\cdot2{,}236\cdot10^{-4}}\right)=2\,Q(3{,}54)=2\cdot2{,}03\cdot10^{-4}=4{,}07\cdot10^{-4}.$$ (Stesso risultato, in forma $2Q\left(\frac{\sqrt{5T/2}}{\sqrt{2N_0}}\right)=2Q\left(\sqrt{\tfrac{50}4}\right)=2Q(3{,}53)$ della soluzione del corso, con il valore $\sqrt{12{,}5}=3{,}536$.) Un controllo: la union bound completa con tutte le distanze dà $\frac13\left[2Q(6{,}32)+4Q(3{,}54)\right]=2{,}7\cdot10^{-4}$, e il lower bound $\frac1M\sum_mQ\left(\frac{d_{min,m}}{2\sigma_I}\right)$ vale $Q(3{,}54)=2{,}03\cdot10^{-4}$ (tutti e tre i punti hanno il vicino più prossimo a $d_{min}$): $P_e$ è tra $2{,}0\cdot10^{-4}$ e $2{,}7\cdot10^{-4}$, e il bound richiesto ($4{,}1\cdot10^{-4}$) è il più largo dei tre.

(4) Ricevitore ottimo

Il testo non dà le probabilità dei simboli: si assumono equiprobabili. Con AWGN il criterio è la minima distanza. Con $M=3>I=2$ il ricevitore più efficiente ha $I=2$ rami (Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →).

• Filtri adattati alle funzioni di base. $\psi_i(t)=\phi_i(T-t)$, causali (supporto $[0,T]$): $\psi_1(t)=\sqrt{\frac2T}\cos(2\pi f_0(T-t))=\sqrt{\frac2T}\cos(2\pi f_0t)$ e $\psi_2(t)=\sqrt{\frac2T}\sin(2\pi f_0(T-t))=-\sqrt{\frac2T}\sin(2\pi f_0t)$ (perché $2\pi f_0T=200\pi$ è un multiplo intero di $2\pi$), entrambi su $[0,T]$.
• Campionamento in $t_0=T$ (fine del simbolo): $r_1[k]=\psi_1*r\,(kT+T)$, $r_2[k]$ analogo. Il periodo di simbolo è $T$ (le forme d'onda durano $T$: nessuna ISI).
• Decisione (in unità di $\sqrt T=10^{-3}$ V$\sqrt{\text{s}}$, con $\mathbf r=(x,y)$): i confini sono gli assi dei segmenti. $\mathbf s_1$ contro $\mathbf s_2$: $x=0$. $\mathbf s_3$ contro $\mathbf s_1$: $2\mathbf r\cdot(\mathbf s_3-\mathbf s_1)=E_3-E_1$, cioè $2\left(-\sqrt2x+\frac y{\sqrt2}\right)=\frac12-2$, da cui $y=2x-\frac{1{,}5}{\sqrt2}=2x-1{,}061$; per simmetria $\mathbf s_3$ contro $\mathbf s_2$: $y=-2x-1{,}061$. $$\mathcal R_3=\{y>2|x|-1{,}061\sqrt T\},\quad\mathcal R_1=\{x>0,\ y<2x-1{,}061\sqrt T\},\quad\mathcal R_2=\{x<0,\ y<-2x-1{,}061\sqrt T\}.$$ I tre confini si incontrano nel punto $(0,\,-1{,}061\sqrt T)$, equidistante dai tre punti. Si noti che $\mathcal R_3$ non è un semipiano: è l'angolo sopra la "V" $y=2|x|-1{,}061\sqrt T$.

Il blocco decisionale usa le regioni sopra. In alternativa (meno efficiente) si possono usare $M=3$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$, sottraendo $\frac{E_m}2$ ($E_3\ne E_1$) e prendendo il massimo.