Esercizio - esponenziale più variabile discreta e probabilità condizionate (esercizi del corso, cap. 2, es. 9)

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Teoria usata: Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione QUna v.a. continua ha funzione di distribuzione F_x(a) = P(x ≤ a) e densità f_x(a) = dF_x/da ≥ 0 con integrale 1; P(A ≤ x ≤ B) = F_x(B) − F_x(A) = ∫A^B f_x e P(x = A) = 0. Uniforme U([a,b]): densità 1/(b−a), media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Esponenziale unilatera di media m: (1/m)e^(−a/m), a ≥ 0. Gaussiana N(m, σ²): P(x ≥ A) = Q((A − m)/σ), con Q(A) coda della gaussiana standard. Somme di gaussiane indipendenti sono gaussiane (medie e varianze si sommano); teorema del limite centrale.Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione Q →, Probabilità per le telecomunicazioni - eventi e variabili aleatorie discreteGli eventi hanno probabilità tra 0 e 1 e P(x∪y) = P(x) + P(y) − P(x∩y). Una variabile aleatoria discreta ha un alfabeto A_x e una densità p_x(a) = P(x = a) con somma 1. Si definiscono probabilità condizionata, indipendenza (p{x,y}(a,b) = p_x(a)p_y(b)), valore atteso E(x) = m_x, potenza M_x = E(x²), varianza σ_x² con M_x = m_x² + σ_x²; l'aspettazione è lineare e per variabili indipendenti E(xy) = E(x)E(y).Probabilità per le telecomunicazioni - eventi e variabili aleatorie discrete →, Formula delle probabilità totali e formula di BayesSe (A_i) è una partizione di Ω, P(B) = Σ P(B ∣ A_i) P(A_i) (probabilità totali); la formula di Bayes inverte il condizionamento: P(A_k ∣ B) = P(B ∣ A_k) P(A_k) / P(B).Formula delle probabilità totali e formula di Bayes →.

Convenzione. "Esponenziale di parametro $\lambda$" indica la densità $f_y(a)=\lambda e^{-\lambda a}$ per $a\ge0$ e $0$ per $a<0$ (media $\frac1\lambda=0{,}5$): è la stessa forma della lezione, con media $m=\frac1\lambda$. La coda è $$P(y>a)=\begin{cases}1&a<0\\ e^{-\lambda a}&a\ge0\end{cases}\ =\ e^{-\lambda\max\{a,0\}}.$$ Il massimo nell'esponente serve perché $y\ge0$ sempre: per soglie negative la probabilità di superarle è $1$.

(1) $P(z>A\mid x=2)$

Condizionando a $x=2$ la variabile $x$ non è più aleatoria e $z=2+y$. Inoltre $x$ e $y$ sono indipendenti, quindi il condizionamento non cambia la densità di $y$. Allora $$P(z>A\mid x=2)=P(2+y>A)=P(y>A-2)=e^{-\lambda\max\{A-2,0\}}.$$

• Per $A=1$: $A-2=-1<0$, il massimo vale $0$, e $P=e^{0}=1$. Ha senso: $z=2+y\ge2>1$ sempre.
• Per $A=3$: $A-2=1$ e $P=e^{-2\cdot1}=e^{-2}=0{,}1353$.

(2) Una probabilità di decisione corretta

Per $P(z<A\mid x=1)$ si procede allo stesso modo con $x=1$, $z=1+y$: $$P(z<A\mid x=1)=P(1+y<A)=P(y<A-1)=1-e^{-\lambda\max\{A-1,0\}}.$$ Con $p_x(2)=0{,}6$ e $p_x(1)=0{,}4$ l'espressione richiesta è $$P(z>A\mid x=2)\,p_x(2)+P(z<A\mid x=1)\,p_x(1)=0{,}6\,e^{-\lambda\max\{A-2,0\}}+0{,}4\Big(1-e^{-\lambda\max\{A-1,0\}}\Big).$$ Per $A=-2$: $\max\{A-2,0\}=\max\{A-1,0\}=0$, quindi $0{,}6\cdot1+0{,}4\cdot(1-1)=0{,}6$.

Significato. La somma è la probabilità di decisione corretta di un ricevitore a soglia che osserva $z=x+y$ e decide "$x=2$" se $z>A$ e "$x=1$" se $z<A$: per la formula delle probabilità totali, $P(\text{corretta})=P(\text{decido }2,\ x=2)+P(\text{decido }1,\ x=1)$, cioè $P(z>A\mid x=2)P(x=2)+P(z<A\mid x=1)P(x=1)$. Con $A=-2$ la soglia è sotto tutti i valori di $z$, quindi si decide sempre $x=2$ e si indovina solo quando $x=2$, cioè con probabilità $0{,}6$ (la probabilità a priori). È utile guardare tutta la curva in $A$ (vedi anche l'esempio sotto).

• Per $A\le1$: $z=x+y\ge1\ge A$, quindi $z>A$ quasi sempre e si decide sempre $2$: $P=0{,}6$.
• Per $1\le A\le2$: $z=2+y>2\ge A$ sempre se $x=2$ (probabilità $0{,}6$ intera), mentre se $x=1$ si decide bene quando $1+y<A$: $P(A)=0{,}6+0{,}4(1-e^{-2(A-1)})$, crescente in $A$.
• Per $A\ge2$ si comincia a perdere anche i casi $x=2$: $P(A)=0{,}6e^{-2(A-2)}+0{,}4(1-e^{-2(A-1)})$, decrescente. Il massimo è in $A=2$, con $P=0{,}6+0{,}4(1-e^{-2})=0{,}946$.

(Verifica con Python, anche con $10^6$ estrazioni simulate: $P(z>1\mid x=2)=1$, $P(z>3\mid x=2)=0{,}1353$, $P(A=-2)=0{,}6$, $P(A=2)=0{,}9459$; le simulazioni danno $0{,}1351$, $0{,}5999$ e $0{,}9459$. La soluzione del corso riporta $1$, $e^{-2}=0{,}14$ e $0{,}6$.)

Errori comuni

• Dimenticare il $\max\{\cdot,0\}$ e scrivere $e^{-\lambda(A-2)}$ anche per $A<2$ (verrebbe maggiore di $1$).
• Usare $\lambda$ come media: qui la media è $\frac1\lambda=0{,}5$.
• Nel punto 2, usare $P(z>A)$ senza condizionare, o dimenticare i pesi $p_x(2)$ e $p_x(1)$.
• Scrivere la coda di $y$ per $z$: $P(z>A\mid x=2)$ dipende da $A-2$, non da $A$.