Esercizio - energia e potenza di sinusoidi finestrate (esercizi del corso, cap. 2, es. 22)

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Teoria usata: Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibelL'energia di un segnale è E_s = ∫s²(t)dt (a tempo discreto Σs²(mT)), si misura in V²s, vale α²E_s se il segnale è moltiplicato per α; un impulso triangolare di altezza A e base B ha E = A²B/3, un rettangolo di altezza A e durata T ha A²T. La potenza media si usa per segnali che durano sempre (sinusoide: A²/2). Con simboli aleatori si calcola l'energia media pesando con le probabilità. Sul canale AWGN l'energia media del rumore su [0,T] è σ²T e SNR = E_su/E_w = A²E_sTx/E_w, che in decibel è 10log₁₀ del rapporto (A² vale 20log₁₀A dB; dBW e dBm sono potenze rispetto a 1 W e 1 mW).Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibel →, Segnali a tempo continuo - sinusoidi, rect e trasformazioni dell'asse dei tempiUn segnale è una funzione del tempo; è analogico se tempo e valori sono continui, digitale se entrambi sono discreti. La sinusoide A cos(2πf₀t + φ₀) ha periodo T = 1/f₀. Con rect(t) (1 per |t| ≤ 1/2) e triang(t) = 1 − |t| (|t| ≤ 1) si costruiscono impulsi; rect((t − T/2)/T) è 1 su [0,T]. Traslazione s(t − t₀) sposta a destra di t₀, scalamento s(t/A) dilata di A; in s((t − t₀)/A) si scala prima e si trasla poi. Una trasmissione è una somma Σ a_m z(t − mT). Il canale AWGN è r(t) = A·s_Tx(t − t₀) + w(t).Segnali a tempo continuo - sinusoidi, rect e trasformazioni dell'asse dei tempi →, Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenzaUn segnale è una funzione del tempo (continuo $t$ o discreto $n$). Si descrive con pochi numeri: estensione, area, valor medio, energia $\int|x|^2$ e potenza (energia media). Energia finita implica potenza nulla; potenza finita non nulla implica energia infinita; per i segnali periodici tutto si calcola su un periodo.Segnali - supporto, area, valor medio, energia e potenza →.

Definizioni da ricordare. Energia $E_x=\int x^2(t)\,dt$ e potenza media $M_x=\lim_{T\to\infty}\frac1{2T}\int_{-T}^Tx^2(t)\,dt$. Un segnale a energia finita ha potenza $0$ (l'energia, divisa per un tempo che cresce, tende a $0$); un segnale con potenza finita non nulla ha energia infinita. Per una sinusoide $A\sin(2\pi f_0t+\varphi_0)$ la potenza è $\frac{A^2}2$, perché $\sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}2$ e la parte oscillante ha media nulla.

I numeri: $T_0=\frac23$ (nelle unità del testo, secondi) e $f_0=3$ MHz, quindi il numero di periodi della sinusoide in una durata $W$ è $f_0W$:

• $W=T_0$: $f_0T_0=3\cdot10^6\cdot\frac23=2\cdot10^6$ periodi, un numero intero;
• $W=\frac{T_0}{4}=\frac16$: $5\cdot10^5$ periodi, intero;
• $W=\frac{T_0}8=\frac1{12}$: $2{,}5\cdot10^5$ periodi, intero.

Questo è il punto che rende i calcoli esatti: su una finestra con un numero intero di periodi la parte oscillante di $\sin^2$ (e di $\cos^2$), cioè $\cos(4\pi f_0t+\dots)$, ha integrale nullo (anche $2f_0W$ è intero).

Punto 1: sinusoide più rettangolo

$x(t)=5\sin(2\pi f_0t+\varphi_0)+2\operatorname{rect}\big(\frac{t-t_0}{T_0}\big)$ è la somma di una sinusoide eterna e di un rettangolo di altezza $2$ su $[0,T_0]$ (il rect ha centro $t_0=\frac{T_0}{2}$ e larghezza $T_0$).

• Energia: la sinusoide ha energia infinita, il rettangolo finita ($2^2\cdot T_0=\frac83$), e il prodotto incrociato è finito (si integra su $[0,T_0]$): la somma ha $E_x=+\infty$.
• Potenza: $M_x=\lim\frac1{2T}\int x^2$ con $x^2=25\sin^2(\cdot)+20\sin(\cdot)\operatorname{rect}+4\operatorname{rect}^2$. Il primo termine dà $\frac{25}2$; gli altri due sono integrali su un intervallo finito ($[0,T_0]$), che divisi per $2T\to\infty$ tendono a $0$. Quindi $M_x=\frac{25}2=12{,}5$. (Un controllo numerico con finestra di osservazione crescente dà $12{,}63$ con $T=10$, $12{,}51$ con $T=100$, $12{,}501$ con $T=1000$, che tende a $12{,}5$.)

Il rettangolo, che dura poco, non contribuisce alla potenza: quello che conta è la parte che dura per sempre.

Punto 2: sinusoide finestrata su $T_0$

$x(t)=10\sin(2\pi f_0t+\varphi_0)\operatorname{rect}\big(\frac{t-t_0}{T_0}\big)$ è una sinusoide di ampiezza $10$ attiva solo su $[0,T_0]$ e nulla altrove, quindi a energia finita: $$E_x=\int_0^{T_0}100\sin^2(2\pi f_0t+\varphi_0)\,dt=100\int_0^{T_0}\frac{1-\cos(4\pi f_0t+2\varphi_0)}{2}\,dt=50\,T_0-50\int_0^{T_0}\cos(4\pi f_0t+2\varphi_0)\,dt.$$ L'ultimo integrale è nullo (numero intero di periodi, per qualunque fase $\varphi_0$). Quindi $$E_x=\frac{A^2}{2}T_0=50\cdot\frac23=\frac{100}3=33{,}3\ \text{V}^2\text{s}\qquad\text{(se }x\text{ è una tensione)},\qquad M_x=0.$$

Punti 3 e 4: finestre più strette

La finestra è ora $W=\frac{T_0}{4}$ (punto 3) e $W=\frac{T_0}8$ (punto 4), sempre con un numero intero di periodi. Il coseno al quadrato dà lo stesso: $\int\cos^2=\frac W2$, e $E_x=A^2\cdot\frac W2$. Quindi $$\text{punto 3: }E_x=\frac{A^2}{2}\cdot\frac{T_0}{4}=50\cdot\frac16=\frac{25}3=8{,}33,\qquad\text{punto 4: }E_x=\frac{A^2}{2}\cdot\frac{T_0}{8}=50\cdot\frac1{12}=\frac{25}6=4{,}17,$$ cioè $\frac14$ e $\frac18$ dell'energia del punto 2 (l'energia è proporzionale alla durata, a ampiezza fissa). In entrambi i casi la potenza è $M_x=0$ (energia finita).

Si noti che usare $\cos$ al posto di $\sin$ non cambia niente, perché la fase non influisce se il numero di periodi è intero.

(Verifica con Python: con parametri più piccoli ma con gli stessi rapporti ($f_0=30$, $T_0=\frac23$, finestre sempre con un numero di periodi intero o semi-intero) l'integrazione numerica ha dato $33{,}333$, $8{,}333$ e $4{,}167$, uguali ai valori sopra; i valori coincidono con le soluzioni del corso: $\frac{100}3$, $\frac14\cdot\frac{100}3$, $\frac18\cdot\frac{100}3$ ed $M_x=\frac{25}2$.)

Errori comuni

• Calcolare l'energia del punto 1 come finita (la sinusoide eterna la rende infinita) o la potenza del punto 2 come $\frac{A^2}2$ (la finestra è finita: la potenza è $0$).
• Usare $\int\sin^2=T_0$ invece di $\frac{T_0}2$ (si dimentica il fattore $\frac12$ di $\sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}2$).
• Dimenticare di controllare che la finestra contenga un numero intero (o semi-intero) di periodi: altrimenti compare il termine $\frac{\sin(2\pi f_0W)}{4\pi f_0}$ (Esercizio - onde quadre, segnali a gradini ed energia di impulsi rect e triangolari (esercizi del corso, cap. 2, es. 12-17), es. 15.1).
• Pensare che la fase iniziale $\varphi_0$ cambi l'energia.