Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati

La teoria precedente dice che cosa calcolare: le coordinate $\mathbf r=[r_1,\dots,r_I]$ del segnale ricevuto (Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanzaIl demodulatore digitale proietta il segnale ricevuto sulla base ortonormale della segnalazione: $r_i=\langle r,\phi_i\rangle=s_{a_0,i}+w_i$, cioè $\mathbf r=\mathbf s_{a_0}+\mathbf w$. Con rumore bianco gaussiano le componenti $w_i$ sono gaussiane a media nulla, scorrelate e quindi indipendenti, tutte con varianza $\sigma_I^2=N_0/2$: $\mathbf r|{a_0=m}$ è una nuvola gaussiana circolare centrata su $\mathbf s_m$. La parte di rumore fuori dallo spazio dei segnali (le componenti $w{I+1},\dots$) non porta informazione e si butta via: è il teorema di irrilevanza, che vale se le componenti scartate sono indipendenti da quelle usate e dal simbolo trasmesso.Demodulatore digitale - proiezione del rumore e teorema di irrilevanza →) e poi decidere con le regioni (Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →). Qui si vede come farlo con circuiti realizzabili, per una sequenza di simboli trasmessi ogni $T$. Versione per Ing. Elettronica: Ricevitore a correlatori e filtro adattatoIl ricevitore a minima distanza proietta $r(t)$ sulla base, $r_i=\langle r,\phi_i\rangle=\int r\phi_i^dt$, e sceglie il punto $\mathbf s_m$ più vicino. Ogni proiezione è un filtro con risposta impulsiva $g_i(t)=\phi_i^(t_0-t)$ (filtro adattato) campionato in $t_0$, la durata dell'impulso. Alternativa: $\hat m=\arg\max_m\left{\operatorname{Re}\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right}$, con $M$ filtri adattati ai segnali: conviene la prima se $M\gg I$, la seconda se $M\approx I$ (non serve calcolare la base).Ricevitore a correlatori e filtro adattato →; per Ing. delle Telecomunicazioni: Ricevitore a minima distanza e filtro adattatoIl ricevitore a minima distanza ottiene $\mathbf r$ proiettando $r(t)$ sulla base, $r_j=\langle r,\varphi_j\rangle$: ogni proiezione è l'uscita, campionata in $t_0$, di un filtro con risposta impulsiva $\psi_j(t)=\varphi_j^*(t_0-t)$ (il filtro adattato). Poi calcola le distanze e sceglie il minimo (tipo I, $I$ filtri), oppure usa direttamente i segnali con $\hat a_0=\arg\max_j{\operatorname{Re}\langle r,s_j\rangle-\frac{E_j}2}$ (tipo II, $M$ filtri). Il filtro adattato massimizza l'SNR all'istante di campionamento, con valore massimo $\frac{2E}{N_0}$. Per modulazioni binarie basta un solo filtro e un rivelatore a soglia.Ricevitore a minima distanza e filtro adattato →.

Si ipotizzano canale AWGN, assenza di ISI (le forme d'onda durano al più $T$) e sincronismo di simbolo noto.

Implementazione I: banco di correlatori

Se il simbolo $k$ è trasmesso a partire da $kT$, la sua forma d'onda è $s_{a_k}(t-kT)$ e le funzioni di base, anch'esse spostate, sono $\phi_i(t-kT)$. La coordinata $i$ del simbolo $k$ è $$\boxed{r_i[k]=\langle r(t+kT),\phi_i(t)\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}r(t)\,\phi_i(t-kT)\,dt}$$ (il cambio di variabile $t\to t+kT$ riporta il simbolo $k$ all'origine dei tempi). Se $\phi_i$ è diversa da zero solo nell'intervallo $[t_a,t_b]$ (durata $t_b-t_a\le T$), l'integrale si riduce a $\int_{kT+t_a}^{kT+t_b}$. Lo schema è un banco di $I$ rami in parallelo:

            +--> x phi_1(t-kT) --> integratore su [kT+t_a, kT+t_b] --> campionatore --> r_1[k] --+
 r(t) ----->+--> x phi_2(t-kT) --> integratore su [kT+t_a, kT+t_b] --> campionatore --> r_2[k] --+--> DECISIONE --> a^_k
            |        ...                                                                         |   (MAP / ML / MD)
            +--> x phi_I(t-kT) --> integratore su [kT+t_a, kT+t_b] --> campionatore --> r_I[k] --+

Il campionatore preleva l'uscita dell'integratore nell'istante finale $kT+t_b$; il blocco di decisione implementa le regioni di decisione. Per $M=2$ simboli antipodali e $\phi_1$ rettangolare è semplicemente "somma i campioni del simbolo e confronta con zero".

Il filtro adattato

Ogni ramo si realizza anche con un filtro lineare: il ramo "moltiplica per $\phi_i(t-kT)$ e integra" è una convoluzione. Si prenda il filtro con risposta impulsiva (la funzione di base ribaltata nel tempo e ritardata di $t_0$)

$$\boxed{h_i(t)=\phi_i(t_0-t)}\qquad\text{filtro adattato a }\phi_i.$$

La sua uscita è $y_i(t)=\int r(\tau)\,h_i(t-\tau)\,d\tau=\int r(\tau)\,\phi_i(t_0-t+\tau)\,d\tau$. Campionandola nell'istante $t=t_0+kT$ si ottiene $$y_i(t_0+kT)=\int r(\tau)\,\phi_i(\tau-kT)\,d\tau=r_i[k],$$ cioè esattamente la coordinata calcolata dal correlatore. Il filtro adattato è quindi un modo alternativo di calcolare lo stesso numero: un filtro seguito da un campionatore ogni $T$ nell'istante $t_0+kT$.

• Causalità. $h_i(t)=\phi_i(t_0-t)$ deve essere nulla per $t<0$, cioè $\phi_i(u)=0$ per $u>t_0$: serve $t_0\ge t_b$ (fine del supporto di $\phi_i$). Si sceglie $t_0=t_b$, il ritardo minimo. Se la base parte da $0$ e finisce in $T$, $h_i(t)=\phi_i(T-t)$ e il campionamento è in $kT+T$.
• Se $\phi_i$ è simmetrica rispetto a $\frac T2$ (come un rect centrato in $\frac T2$), il ribaltamento non cambia nulla: $\phi_i(T-t)=\phi_i(t)$.

Esempio svolto (impulso triangolare non simmetrico). Una modulazione binaria antipodale con $T=\frac23$ s usa $s_1(t)=\frac{3\,(1-t)}{2/3}=4{,}5\,(1-t)$ V per $\frac13<t<1$ (parte da $3$ V in $t=\frac13$ e scende linearmente a $0$ in $t=1$), $s_2=-s_1$.

• Energia: $E=\int_{1/3}^1\left(4{,}5(1-t)\right)^2dt=4{,}5^2\cdot\frac{(2/3)^3}{3}=20{,}25\cdot0{,}0988=2$ V$^2$s. Base $\phi_1=\frac{s_1}{\sqrt2}=3{,}18\,(1-t)$ sul supporto $[\frac13,1]$ (energia unitaria); punti $\mathbf s_{1,2}=\pm\sqrt2=\pm1{,}414$ V$\sqrt{\text{s}}$.

• Correlatore: $r_1[k]=\int_{1/3+kT}^{1+kT}r(t)\,\phi_1(t-kT)\,dt$.

• Filtro adattato: il supporto finisce in $t_b=1$, quindi $t_0=1$ e $h_1(t)=\phi_1(1-t)=3{,}18\,t$ per $0<t<\frac23$ (rampa crescente da $0$ a $2{,}12$), causale; si campiona in $1+kT$.

• Decisione (MD, equiprobabili): $r_1[k]>0\Rightarrow\hat a_k=1$, altrimenti $\hat a_k=2$.

• Prestazioni con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2=0{,}25$ V$^2$s: la coordinata vale $\pm\sqrt2+w$, errore se il rumore ha segno opposto al punto trasmesso e modulo maggiore di $\sqrt2$, $P[E]=Q\left(\frac{\sqrt2}{0{,}5}\right)=Q(2{,}83)=2{,}3\cdot10^{-3}$; una simulazione con rumore bianco discretizzato, confrontando correlatore e filtro adattato, dà per i due ricevitori campioni identici e una frequenza d'errore di $2{,}7\cdot10^{-3}$ su $3000$ simboli (compatibile con il valore teorico).

Implementazione II: un filtro adattato per ogni segnale

La minima distanza si può calcolare anche senza passare dalla base. Con $\mathbf r$ e $\mathbf s_m$ nello spazio, $\lVert\mathbf r-\mathbf s_m\rVert^2=\sum_i\left(r_i^2+s_{m,i}^2-2r_is_{m,i}\right)$ e $\sum_ir_i^2$ è uguale per tutte le ipotesi, quindi $$\hat a=\arg\min_m\sum_i\left(s_{m,i}^2-2r_is_{m,i}\right)=\arg\min_m\left[E_m-2\langle\mathbf r,\mathbf s_m\rangle\right]=\boxed{\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]}$$ dove si è usato $\langle\mathbf r,\mathbf s_m\rangle=\langle r(t),s_m(t)\rangle$: la parte di rumore fuori dallo spazio dei segnali è ortogonale a $s_m$, quindi non contribuisce al prodotto interno. Lo schema ha $M$ rami: in ciascuno un filtro adattato a $s_m$, cioè con risposta $s_m(T-t)$, campionato in $kT+T$, che fornisce $\langle r,s_m\rangle$; si sottrae la costante $\frac{E_m}2$ e un blocco ARGMAX sceglie il ramo con l'uscita maggiore. Con probabilità diverse il MAP aggiunge $\sigma_I^2\ln P_m$: $$\hat a=\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2+\sigma_I^2\ln P_m\right]$$ (si ricava da $\ln\left(P_me^{-\lVert\mathbf r-\mathbf s_m\rVert^2/2\sigma_I^2}\right)$ eliminando i termini uguali per tutti). Se tutti i segnali hanno la stessa energia, $\frac{E_m}2$ è uguale in tutti i rami e si omette.

Quale scegliere. Poiché $M\ge I$:

• l'implementazione I ha $I$ rami ma richiede la base (Gram-Schmidt, Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →) e poi il calcolo delle $M$ distanze;
• la II ha $M$ rami e usa direttamente i segnali, senza base.

Conviene la I se $M>I$ (per esempio una QAM con $M=64$ e $I=2$), la II se $M=I$ (per esempio segnali ortogonali tra loro, dove la base coincide con i segnali stessi).

Modulazione binaria: un solo ramo

Se $M=2$ i punti $\mathbf s_1,\mathbf s_2$ stanno su una retta; ruotando la base si può prendere $\phi'_1=\frac{s_1-s_2}{\lVert s_1-s_2\rVert}$ lungo questa retta. Nella nuova base le due coordinate lungo l'altro asse $\phi'_2$ sono uguali per i due punti: non aiutano a distinguerli, e per il teorema di irrilevanza si ignorano. Basta allora un solo ramo (un correlatore o un filtro adattato a $\phi'_1$) e una soglia: con simboli equiprobabili e AWGN $$r'_1=\langle r,\phi'_1\rangle\ \underset{<}{\overset{>}{\gtrless}}\ s^*=\frac{s'_{1,1}+s'_{2,1}}2,$$ il punto medio delle due coordinate. Equivalentemente, dalla formula dell'implementazione II con $M=2$: si decide $s_1$ se $\langle r,s_1-s_2\rangle>\frac{E_1-E_2}2$.

Esempio. $s_1$ è un dente di sega (da $0$ a $1$ V in $[0,\frac T2]$, salto a $-1$ V e di nuovo a $0$ in $[\frac T2,T]$, energia $E_1=\frac T3$) e $s_2=1$ V in $[0,T]$ (energia $E_2=T$), ortogonali: la decisione ottima è $\langle r,s_2-s_1\rangle\gtrless\frac{E_2-E_1}2=\frac T3$ (si decide $2$ se supera $\frac T3$). Con $T=1$ ms, la soglia è $3{,}33\cdot10^{-4}$ V$^2$s.

Errori comuni

• Dimenticare il ribaltamento nel filtro adattato: $h(t)=\phi(t_0-t)$ e non $\phi(t)$ (si vede solo se $\phi$ non è simmetrica).
• Scegliere $t_0$ minore della fine del supporto: il filtro non è causale.
• Campionare ovunque: l'istante giusto è $t_0+kT$ (fine del simbolo), non l'inizio.
• Nell'implementazione II dimenticare di sottrarre $\frac{E_m}2$ quando i segnali hanno energie diverse.
• Usare $M$ rami quando basta uno (binario) o $I$ (quando $M\gg I$).

Domande d'esame

1. Disegnare il ricevitore ottimo più efficiente per una segnalazione (con figura): numero di rami, risposte impulsive e istante di campionamento. Un ramo per ogni funzione di base ($I$ rami): filtro $\phi_i(t_0-t)$ con $t_0$ la fine del supporto, campionatore in $t_0+kT$, blocco di decisione con le regioni; se $M=I$ si può usare anche $M$ filtri adattati ai segnali con sottrazione di $\frac{E_m}2$.
2. Come si ottiene un correlatore con un filtro? Con il filtro la cui risposta è la base ribaltata e ritardata, $\phi_i(t_0-t)$, campionato in $t_0+kT$: l'uscita è $\int r(\tau)\phi_i(\tau-kT)\,d\tau$.
3. Un ricevitore binario può usare un solo ramo? Sì: lungo $\phi'_1\propto s_1-s_2$ con soglia nel punto medio; la componente ortogonale è la stessa per i due punti.

Esercizi svolti

• Esercizio - segnalazione binaria con due rettangoli, base, probabilità d'errore e scala ottima (esercizi del corso, cap. 3, es. 24): ricevitore a minima distanza con due filtri adattati e scala ottima.
• Esercizio - segnali binari a gradini, Gram-Schmidt da s1 - s2 e ricevitore a un solo correlatore (esercizi del corso, cap. 3, es. 25): un solo correlatore per una modulazione binaria.
• Esercizio - coseno, meno coseno e seno, base, distanza minima e ricevitore completo (esercizi del corso, cap. 3, es. 29): due rami con filtri $\phi_i(T-t)$ e regioni con $M=3$.
• Esercizio - base ortonormale con tre impulsi, costellazione in una dimensione in meno e ricevitore a un ramo (primo compitino del 17 novembre 2023, es. 167): ricevitore a un ramo con soglia diversa da zero.
• Esercizio - costellazione ortogonale, ricevitore a un filtro, quadrato traslato e QAM equivalente (compito del 13 febbraio 2026, es. 202): filtro unico $\phi_1(1-t)-\phi_2(1-t)$, ritardo di campionamento e periodo di simbolo.