Esercizio - quattro segnali su due assi con energie diverse, upper bound e MAP con simbolo più probabile (esame del 14 luglio 2023, es. 161)

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Teoria usata: Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →, Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →, Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union boundCon $M>2$ segnali ogni simbolo porta $\log_2M$ bit. La probabilità d'errore si limita con la union bound: $P[E\mid m]\le\sum_{m'\ne m}Q\left(\frac{d_{m',m}}{2\sigma_I}\right)$, da cui $\frac{N_{\min}}{M},Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)$ ($d_{\min}$ distanza minima della costellazione, $N_{\min}$ numero di punti che hanno un vicino a quella distanza). Modulazioni ortogonali (PPM): $d=\sqrt{2E_s}$ per ogni coppia, $P[E]\le(M-1)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)$. Biortogonali ($M/2$ ortogonali più i loro opposti): $P[E]\le(M-2)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)+Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\right)$.Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union bound →, Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione QUna v.a. continua ha funzione di distribuzione F_x(a) = P(x ≤ a) e densità f_x(a) = dF_x/da ≥ 0 con integrale 1; P(A ≤ x ≤ B) = F_x(B) − F_x(A) = ∫_A^B f_x e P(x = A) = 0. Uniforme U([a,b]): densità 1/(b−a), media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Esponenziale unilatera di media m: (1/m)e^(−a/m), a ≥ 0. Gaussiana N(m, σ²): P(x ≥ A) = Q((A − m)/σ), con Q(A) coda della gaussiana standard. Somme di gaussiane indipendenti sono gaussiane (medie e varianze si sommano); teorema del limite centrale.Variabili aleatorie continue - uniforme, gaussiana, esponenziale e funzione Q →.

Il triangolo $s_2$ ha base $[0,T]$ e altezza $\frac{\sqrt3}T$ (nella notazione $\operatorname{triang}(u)=1-|u|$, semibase $\frac T2$); $s_1$ vale $+\frac1T$ in $\left[0,\frac T2\right]$ e $-\frac1T$ in $\left[\frac T2,T\right]$.

(1) Base ortonormale

Energie (con $T=10^{-2}$ s):

• $E_1=\left(\frac1T\right)^2\cdot T=\frac1T=100$ V$^2$s;
• $E_2=\frac{h^2b}3=\frac3{T^2}\cdot\frac T3=\frac1T=100$ V$^2$s (triangolo di altezza $h=\frac{\sqrt3}T$ e base $b=T$).

Ortogonalità: $s_1$ è dispari rispetto al centro $\frac T2$ ($s_1(T-t)=-s_1(t)$) e $s_2$ è pari ($s_2(T-t)=s_2(t)$); il prodotto $s_1s_2$ è dispari e il suo integrale su $[0,T]$ è $0$. $s_3=2s_1$ e $s_4=4s_1$ sono proporzionali a $s_1$ (con $E_3=4E_1=400$ e $E_4=16E_1=1600$). La dimensione è $I=2$ e una base ortonormale è $$\phi_1=\sqrt T\,s_1=\pm\frac1{\sqrt T}=\pm10,\qquad\phi_2=\sqrt T\,s_2=\frac{\sqrt3}{\sqrt T}\operatorname{triang}\left(\frac{t-T/2}{T/2}\right)$$ (unità $\text{s}^{-1/2}$; $\frac1{\sqrt T}=10$).

(2) Costellazione e regioni

Con $\sqrt{E_1}=\sqrt{100}=10$ V$\sqrt{\text{s}}$: $$\mathbf s_1=(10,0),\qquad\mathbf s_2=(0,10),\qquad\mathbf s_3=(20,0),\qquad\mathbf s_4=(40,0).$$ Tre punti stanno sull'asse $\phi_1$ (a $10$, $20$, $40$) e uno sull'asse $\phi_2$. Simboli equiprobabili e AWGN: minima distanza. Confini (assi dei segmenti, $2\mathbf r\cdot(\mathbf s_j-\mathbf s_i)=E_j-E_i$, con $E_1=E_2=100$, $E_3=400$, $E_4=1600$):

• $\mathbf s_1$-$\mathbf s_3$: $x=15$; $\mathbf s_3$-$\mathbf s_4$: $x=30$;
• $\mathbf s_1$-$\mathbf s_2$: $y=x$;
• $\mathbf s_2$-$\mathbf s_3$: $2(20x-10y)=400-100\Rightarrow y=2x-15$;
• $\mathbf s_2$-$\mathbf s_4$: $2(40x-10y)=1600-100\Rightarrow y=4x-75$.

$$\begin{aligned}\mathcal R_1&=\{x<15,\ y<x\},\qquad\mathcal R_3=\{15<x<30,\ y<2x-15\},\qquad\mathcal R_4=\{x>30,\ y<4x-75\},\\\mathcal R_2&=\{y>x,\ y>2x-15,\ y>4x-75\}.\end{aligned}$$ $\mathcal R_2$ è la regione sopra la poligonale $y=\max(x,\,2x-15,\,4x-75)$, che si piega nei punti $(15,15)$ e $(30,45)$. I tre confini che toccano $\mathbf s_2$ si incontrano a coppie nei vertici $(15,15)$ ($\mathbf s_1,\mathbf s_2,\mathbf s_3$ equidistanti) e $(30,45)$ ($\mathbf s_2,\mathbf s_3,\mathbf s_4$ equidistanti). (Verificato numericamente contro il criterio del punto più vicino.)

(3) Potenza del rumore per $P[E]<10^{-3}$

La distanza minima della costellazione è tra $\mathbf s_1$ e $\mathbf s_3$: $d_{min}=20-10=10$ ($\mathbf s_3$-$\mathbf s_4$ è a $20$, $\mathbf s_1$-$\mathbf s_2$ a $14{,}1$). Upper bound con la sola distanza minima (Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union boundCon $M>2$ segnali ogni simbolo porta $\log_2M$ bit. La probabilità d'errore si limita con la union bound: $P[E\mid m]\le\sum_{m'\ne m}Q\left(\frac{d_{m',m}}{2\sigma_I}\right)$, da cui $\frac{N_{\min}}{M},Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)$ ($d_{\min}$ distanza minima della costellazione, $N_{\min}$ numero di punti che hanno un vicino a quella distanza). Modulazioni ortogonali (PPM): $d=\sqrt{2E_s}$ per ogni coppia, $P[E]\le(M-1)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)$. Biortogonali ($M/2$ ortogonali più i loro opposti): $P[E]\le(M-2)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)+Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\right)$.Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union bound →): $$P[E]\le(M-1)\,Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)=3\,Q\left(\frac5{\sigma_I}\right).$$ Imponendo che il bound sia $<10^{-3}$ si ha la certezza che la probabilità effettiva lo sia: $Q\left(\frac5{\sigma_I}\right)<\frac{10^{-3}}3=3{,}33\cdot10^{-4}$, cioè $\frac5{\sigma_I}>Q^{-1}(3{,}33\cdot10^{-4})=3{,}403$: $$\sigma_I<\frac5{3{,}403}=1{,}47\ \text{V}\sqrt{\text{s}},\qquad\sigma_I^2<2{,}16\ \text{V}^2\text{s}.$$ Una potenza del rumore per dimensione fino a $2{,}16$ V$^2$s garantisce $P[E]<10^{-3}$ (stesso risultato del corso). Il bound è però conservativo: la union bound con tutte le coppie ($\frac12\sum_{\text{coppie}}Q\left(\frac d{2\sigma_I}\right)$) e la simulazione danno, con $\sigma_I^2=2{,}16$, $P[E]\simeq1{,}7\cdot10^{-4}$, e il limite $10^{-3}$ sarebbe raggiunto solo per $\sigma_I^2\simeq3{,}0$.

(4) Un simbolo più probabile

Se $s_4$ ha probabilità maggiore degli altri i simboli non sono più equiprobabili: la minima distanza non è più ottima, serve il MAP (Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →): per ogni coppia $(i,4)$ si decide $4$ se $$2\,\mathbf r\cdot(\mathbf s_4-\mathbf s_i)>E_4-E_i+2\sigma_I^2\ln\frac{P_i}{P_4}.$$ Poiché $P_i<P_4$, il logaritmo è negativo e il termine a destra diminuisce: la retta di confine, ancora perpendicolare al segmento $\mathbf s_i\mathbf s_4$, si sposta verso $\mathbf s_i$ (verso il simbolo meno probabile). Per esempio il confine $\mathbf s_3$-$\mathbf s_4$ passa da $x=30$ a $x=30+\frac{\sigma_I^2}{20}\ln\frac{P_3}{P_4}$, minore di $30$ (con $P_3=0{,}1$, $P_4=0{,}7$ e $\sigma_I^2=2{,}16$ vale $29{,}8$). La regione $\mathcal R_4$ si allarga a spese delle altre; le altre si restringono.

Probabilità d'errore dato $s_4$. La densità del rumore attorno a $\mathbf s_4$ non cambia, mentre la sua regione di decisione diventa più grande (e contiene quella di prima): la probabilità che $\mathbf r$ esca da $\mathcal R_4$ diminuisce. Al contrario aumenta la probabilità d'errore dato ciascuno degli altri simboli (le loro regioni si sono ristrette); la probabilità d'errore complessiva diminuisce rispetto all'uso delle regioni MD, perché il MAP massimizza $P[C]$.