Esercizio - segnalazione ternaria con rect e rect per segno, regioni e SNR di riferimento con union bound (esercizi del corso, cap. 3, es. 39)

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Teoria usata: Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →, Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →, Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanzaLe regioni di decisione $\mathcal R_1,\dots,\mathcal R_M$ sono una partizione dello spazio $\mathbb R^I$: se il vettore ricevuto cade in $\mathcal R_m$ si decide $\hat a_0=m$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_m\int_{\mathcal R_m}D(\boldsymbol\rho;m),d\boldsymbol\rho$ con $D=P_{a_0}(m),p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|m)$, ed è massima assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ al $m$ che massimizza $D$: criterio MAP. Con simboli equiprobabili è il ML; con in più rumore AWGN diventa la minima distanza (MD), $\hat a_0=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$, con confini che sono gli assi dei segmenti tra i punti. Con probabilità diverse i confini si spostano verso i punti meno probabili.Regioni di decisione - criteri MAP, ML e minima distanza →, Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union boundCon $M>2$ segnali ogni simbolo porta $\log_2M$ bit. La probabilità d'errore si limita con la union bound: $P[E\mid m]\le\sum_{m'\ne m}Q\left(\frac{d_{m',m}}{2\sigma_I}\right)$, da cui $\frac{N_{\min}}{M},Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)$ ($d_{\min}$ distanza minima della costellazione, $N_{\min}$ numero di punti che hanno un vicino a quella distanza). Modulazioni ortogonali (PPM): $d=\sqrt{2E_s}$ per ogni coppia, $P[E]\le(M-1)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)$. Biortogonali ($M/2$ ortogonali più i loro opposti): $P[E]\le(M-2)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)+Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\right)$.Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union bound →, Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibelL'energia di un segnale è E_s = ∫s²(t)dt (a tempo discreto Σs²(mT)), si misura in V²s, vale α²E_s se il segnale è moltiplicato per α; un impulso triangolare di altezza A e base B ha E = A²B/3, un rettangolo di altezza A e durata T ha A²T. La potenza media si usa per segnali che durano sempre (sinusoide: A²/2). Con simboli aleatori si calcola l'energia media pesando con le probabilità. Sul canale AWGN l'energia media del rumore su [0,T] è σ²T e SNR = E_su/E_w = A²E_sTx/E_w, che in decibel è 10log₁₀ del rapporto (A² vale 20log₁₀A dB; dBW e dBm sono potenze rispetto a 1 W e 1 mW).Energia, potenza e rapporto segnale-rumore in decibel →.

(1) Base ortonormale

$\operatorname{rect}\left(\frac tT\right)$ vale $1$ per $\lvert t\rvert<\frac T2$, e $\operatorname{sign}(t)=+1$ per $t>0$ e $-1$ per $t<0$. Quindi $s_2(t)=+S_0$ per $0<t<\frac T2$ e $-S_0$ per $-\frac T2<t<0$: un impulso di ampiezza $S_0$ che cambia segno al centro.

Energie. Tutte e tre le forme d'onda hanno $\lvert s\rvert=S_0$ su un intervallo di durata $T$: $E_{s_1}=E_{s_2}=E_{s_3}=S_0^2T=10^{-4}$ V$^2$s $=E_s$, $\sqrt{E_s}=10^{-2}$ V$\sqrt{\text{s}}$.

Prodotti scalari.

• $\langle s_1,s_2\rangle=S_0^2\int_{-T/2}^{T/2}\operatorname{sign}(t)\,dt=S_0^2\left[\frac T2-\frac T2\right]=0$: ortogonali;
• $s_3=-s_1$: $\rho_{1,3}=-1$ (antipodali), quindi $s_3$ non aggiunge dimensioni; $\langle s_2,s_3\rangle=-\langle s_2,s_1\rangle=0$.

Lo spazio dei segnali ha quindi dimensione $I=2$ (Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-SchmidtI segnali a energia finita formano uno spazio vettoriale con prodotto interno $\langle x,y\rangle=\int x(t)y(t),dt$, norma $\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}$ e distanza $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$. Le $M$ forme d'onda di una segnalazione generano un sottospazio, di cui si costruisce una base ortonormale ${\phi_1,\dots,\phi_I}$ con $I\le M$ (procedura di Gram-Schmidt). Ogni segnale diventa il vettore delle coordinate $s_i=\langle s,\phi_i\rangle$: somme, prodotti per scalari, energie ($E_s=\sum s_i^2$) e distanze si calcolano uguali sui vettori. L'insieme dei vettori ${\mathbf s_1,\dots,\mathbf s_M}$ è la costellazione.Spazio dei segnali - base ortonormale, coordinate e Gram-Schmidt →): $$\phi_1(t)=\frac{s_1(t)}{\sqrt{E_s}}=\frac1{\sqrt T}\operatorname{rect}\left(\frac tT\right),\qquad\phi_2(t)=\frac{s_2(t)}{\sqrt{E_s}}=\frac1{\sqrt T}\operatorname{rect}\left(\frac tT\right)\operatorname{sign}(t),$$ $$\underline s_1=\left[\sqrt{E_s},0\right],\qquad\underline s_2=\left[0,\sqrt{E_s}\right],\qquad\underline s_3=\left[-\sqrt{E_s},0\right].$$ Si ottengono tre punti: due antipodali sull'asse $\phi_1$ e uno sull'asse $\phi_2$ (una costellazione "a T"). Le coordinate valgono $\pm0{,}01$ e $0{,}01$ V$\sqrt{\text{s}}$.

(2) Ricevitore più semplice

Poiché lo spazio ha dimensione $2$, bastano due rami (due correlatori o due filtri adattati $\phi_1(t_0-t)$ e $\phi_2(t_0-t)$, uno per dimensione), non tre come i segnali (Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattatiIl ricevitore ottimo calcola le coordinate $r_i[k]=\int r(t),\phi_i(t-kT),dt$ con un banco di $I$ correlatori (moltiplicatore, integratore sul simbolo, campionatore) e le passa a un blocco di decisione MAP, ML o MD. Ogni correlatore è equivalente a un filtro adattato con risposta impulsiva $\phi_i(t_0-t)$, causale se $t_0$ è la fine del supporto, campionato in $t_0+kT$. Alternativa senza base: $M$ filtri adattati ai segnali $s_m(T-t)$ e decisione $\arg\max_m\left[\langle r,s_m\rangle-\frac{E_m}2\right]$ (MD), che conviene se $M=I$. Per $M=2$ basta un solo ramo, lungo $s_1-s_2$, con una soglia.Ricevitore ottimo - banco di correlatori e filtri adattati →: lo schema "di tipo 1", con un ramo per ogni funzione di base). I due campioni $(r_1,r_2)$, presi a $t_0$ (qui $t_0=\frac T2$ per la causalità, perché i segnali sono centrati in $0$), vanno al decisore a regioni (punto 3). Un ricevitore con tre rami (adattati a $s_1,s_2,s_3$) funzionerebbe ma ne servirebbero di più.

(3) Regioni di decisione

Simboli equiprobabili e rumore AWGN: criterio minima distanza. Le frontiere sono gli assi dei segmenti che uniscono i punti:

• tra $\underline s_1=(1,0)$ e $\underline s_2=(0,1)$ (in unità $\sqrt{E_s}$): la retta $y=x$;
• tra $\underline s_2$ e $\underline s_3=(-1,0)$: la retta $y=-x$;
• tra $\underline s_1$ e $\underline s_3$: la retta $x=0$ (l'asse $y$).

Le tre regioni (con $x=r_1$, $y=r_2$): $$\mathcal R_2=\{y>\lvert x\rvert\},\qquad\mathcal R_1=\{x>0,\ y<x\},\qquad\mathcal R_3=\{x<0,\ y<-x\}.$$

(4) SNR di riferimento per $P_e\le10^{-7}$

Distanze. $d_{1,2}=d_{2,3}=\sqrt{E_s+E_s}=\sqrt{2E_s}=d_{\min}$ (punti ortogonali) e $d_{1,3}=2\sqrt{E_s}$ (antipodali). Con $M=3$ simboli si usa la union bound con la distanza minima (Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union boundCon $M>2$ segnali ogni simbolo porta $\log_2M$ bit. La probabilità d'errore si limita con la union bound: $P[E\mid m]\le\sum_{m'\ne m}Q\left(\frac{d_{m',m}}{2\sigma_I}\right)$, da cui $\frac{N_{\min}}{M},Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)$ ($d_{\min}$ distanza minima della costellazione, $N_{\min}$ numero di punti che hanno un vicino a quella distanza). Modulazioni ortogonali (PPM): $d=\sqrt{2E_s}$ per ogni coppia, $P[E]\le(M-1)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)$. Biortogonali ($M/2$ ortogonali più i loro opposti): $P[E]\le(M-2)Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{2\sigma_I^2}}\right)+Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{\sigma_I^2}}\right)$.Modulazioni M-arie - ortogonali, PPM, biortogonali e union bound →): $$P_e\le(M-1)\,Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)=2\,Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right).$$ Imporre il bound. $2Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)=10^{-7}\Rightarrow Q(x)=5\cdot10^{-8}\Rightarrow x=\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}=Q^{-1}(5\cdot10^{-8})=5{,}327$.

SNR di riferimento. $\Gamma=\frac{E_s/T}{N_0B_{\min}}$; per un segnale in banda base (senza portante) $B_{\min}=\frac1{2T}$, quindi $$\Gamma=\frac{E_s}{N_0T\cdot\frac1{2T}}=\frac{2E_s}{N_0}=\frac{E_s}{\sigma_I^2}\qquad(\sigma_I^2=\tfrac{N_0}2).$$ Da $d_{\min}^2=2E_s$ e $x=\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}$ si ricava $x^2=\frac{2E_s}{4\sigma_I^2}=\frac{E_s}{2\sigma_I^2}=\frac\Gamma2$, cioè $$\Gamma=2x^2=2\cdot5{,}327^2=56{,}75\ \Rightarrow\ (\Gamma)_{dB}=10\log_{10}56{,}75=17{,}54\ \text{dB}.$$ (Il corso: $\Gamma=56$, $17{,}5$ dB.)

Bound più stretto (extra). Con tutte le distanze: $P_e\le\frac13\left[4Q\left(\frac{d_{\min}}{2\sigma_I}\right)+2Q\left(\frac{2\sqrt{E_s}}{2\sigma_I}\right)\right]=\frac43Q(a)+\frac23Q\left(\sqrt2\,a\right)$ con $a=\sqrt{\frac{\Gamma}2}$. Con $\Gamma=56{,}75$ vale $6{,}67\cdot10^{-8}$, e anche l'integrazione numerica esatta della $P_e$ dà $6{,}667\cdot10^{-8}$ (uguale alle sette cifre): il bound completo è praticamente esatto, quello con la sola $d_{\min}$ ($10^{-7}$) è prudente di un fattore $1{,}5$. Con il bound completo servirebbe $\Gamma=55{,}2$ ($17{,}42$ dB), $0{,}12$ dB in meno: la soluzione richiesta dal corso ($17{,}5$ dB) è a favore di sicurezza.

Verifica con Python

$Q^{-1}(5\cdot10^{-8})=5{,}3267$, $\Gamma=56{,}748$ ($17{,}540$ dB); bound completo $6{,}6667\cdot10^{-8}$; $P_e$ esatta (integrali numerici sulle regioni) $6{,}6667\cdot10^{-8}$; controllo Monte Carlo a $\Gamma=10$: $0{,}01698$ contro esatto $0{,}01705$.

Errori comuni

• Scrivere tre funzioni di base per tre segnali: $s_3=-s_1$ è linearmente dipendente, la dimensione è $2$.
• Usare per $\Gamma$ la banda $\frac1T$ (passa-banda) invece di $\frac1{2T}$ (banda base): $\Gamma=\frac{2E_s}{N_0}$ qui, non $\frac{E_s}{N_0}$.
• Scegliere $d_{\min}=2\sqrt{E_s}$ (antipodali): la distanza minima è $\sqrt{2E_s}$, tra segnali ortogonali.
• Applicare $(M-1)Q$ con $M=2$ (due dimensioni) invece di $M=3$ simboli.
• Scrivere le regioni a metà tra i punti sugli assi invece che con le bisettrici $y=\pm x$.