Formulario - elementi di fisica 2

Carica elettrica e legge di Coulomb

Note: Carica elettrica, conduttori e isolantiLa carica elettrica è una proprietà della materia, di due segni, quantizzata (multipla di e = 1,6·10⁻¹⁹ C) e conservata; nei conduttori alcune cariche (elettroni di conduzione) si muovono liberamente, negli isolanti no. Un corpo si elettrizza per strofinio, per contatto o per induzione, e l'elettroscopio a foglie rivela la presenza di carica.Carica elettrica, conduttori e isolanti → · Legge di Coulomb e principio di sovrapposizioneDue cariche puntiformi q₁ e q₂ a distanza r si attirano o respingono con forza F = q₁q₂/(4πε₀r²), diretta lungo la congiungente (ε₀ = 8,85·10⁻¹² C²/(N·m²), 1/(4πε₀) ≈ 9·10⁹ N·m²/C²); con più cariche la forza totale è la somma vettoriale delle forze di ciascuna (principio di sovrapposizione).Legge di Coulomb e principio di sovrapposizione →

• Carica quantizzata e conservata: $e=1{,}602\cdot10^{-19}\ \mathrm C$. Due conduttori identici che si toccano dividono la carica: $q'=\frac{q_1+q_2}2$.
• Coulomb: $\displaystyle F=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q_1q_2|}{r^2}$, $\vec F_{12}=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}\hat u_{12}$ (attrattiva se le cariche hanno segno opposto); $\varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}\ \mathrm{C^2/(N\,m^2)}$, $k=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\approx9\cdot10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$.
• Sovrapposizione: $\vec F=\sum_i\vec F_i$ (somma vettoriale). Elettrone-protone nell'atomo di idrogeno: $F_e\approx8{,}2\cdot10^{-8}\ \mathrm N\gg F_g\approx3{,}6\cdot10^{-47}\ \mathrm N$.

Campo elettrostatico

Note: Campo elettrostatico di cariche puntiformiIl campo elettrostatico E = F/q₀ è la forza per unità di carica che subirebbe una carica di prova in un punto; per una carica puntiforme vale E = q/(4πε₀r²) in direzione radiale (uscente se q > 0), per più cariche si sommano i vettori; si misura in N/C = V/m e una carica q in un campo E subisce F = qE.Campo elettrostatico di cariche puntiformi → · Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, pianoUna carica distribuita si descrive con densità lineare λ, superficiale σ o volumetrica ρ; il campo si ottiene sommando (integrando) i campi dE = dq/(4πε₀r²) dei pezzetti dq, sfruttando le simmetrie. Risultati: filo indefinito E = λ/(2πε₀r), anello sull'asse E = qz/(4πε₀(R²+z²)^(3/2)), disco sull'asse E = σ/(2ε₀)·(1 − z/√(R²+z²)), piano indefinito E = σ/(2ε₀) uniforme.Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, piano → · Campo tra due piani carichi e moto di una caricaDue piani indefiniti paralleli sommano i loro campi σ/(2ε₀): con densità opposte ±σ il campo è σ/ε₀ tra i piani e nullo fuori; con densità qualsiasi σ₁, σ₂ tra i piani vale (σ₁ − σ₂)/(2ε₀). In un campo uniforme una carica ha accelerazione costante a = qE/m: se entra con velocità perpendicolare al campo descrive una parabola, come un proiettile.Campo tra due piani carichi e moto di una carica →

• $\vec E=\frac{\vec F}{q_0}$ (N/C = V/m), $\vec F=q\vec E$. Carica puntiforme: $\vec E=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac q{r^2}\hat u_r$ (uscente se $q>0$); più cariche: $\vec E=\sum_i\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_i}{r_i^2}\hat u_i$. Due cariche $+q$ in $(\pm a,0)$, punto $(0,y)$: $E_y=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{2qy}{(a^2+y^2)^{3/2}}$.
• Densità $\lambda$, $\sigma$, $\rho$; $dE=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0r^2}$ sommato con le simmetrie. Filo indefinito $E=\frac\lambda{2\pi\varepsilon_0R}$; anello sull'asse $E=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{qz}{(R^2+z^2)^{3/2}}$; disco sull'asse $E=\frac\sigma{2\varepsilon_0}\big(1-\frac z{\sqrt{R^2+z^2}}\big)$; piano indefinito $E=\frac\sigma{2\varepsilon_0}$ (uniforme).
• Due piani $\pm\sigma$: $E=\frac\sigma{\varepsilon_0}$ tra i piani, $0$ fuori; densità $\sigma_1,\sigma_2$: tra i piani $\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2\varepsilon_0}$, fuori $\pm\frac{\sigma_1+\sigma_2}{2\varepsilon_0}$. In campo uniforme $\vec a=\frac{q\vec E}m$; ingresso con $v_0\perp\vec E$: $y=\frac{qE}{2mv_0^2}x^2$ (parabola).

Lavoro e potenziale elettrostatico

Note: Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostaticoIl lavoro della forza elettrostatica non dipende dal percorso (campo conservativo, circuitazione nulla); si definisce quindi il potenziale V con V(B) − V(A) = −∫ da A a B di E·ds, misurato in volt (1 V = 1 J/C). Carica puntiforme: V = q/(4πε₀r) con V(∞) = 0; più cariche: somma (scalare) dei potenziali. La forza elettromotrice di un percorso chiuso è la circuitazione di E, nulla in elettrostatica.Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostatico → · Energia potenziale elettrostatica e conservazione dell'energiaUna carica q in un punto a potenziale V ha energia potenziale U = qV; il lavoro del campo è W = −ΔU = −qΔV e l'energia meccanica si conserva: ½mv² + qV = costante. L'energia di un sistema di cariche puntiformi è U = Σ (coppie) qᵢqⱼ/(4πε₀rᵢⱼ), il lavoro necessario per assemblarlo dall'infinito. 1 eV = 1,6·10⁻¹⁹ J è l'energia guadagnata da una carica e attraverso 1 V.Energia potenziale elettrostatica e conservazione dell'energia → · Campo come gradiente del potenziale e superfici equipotenzialiIl campo si ottiene dal potenziale come E = −∇V, cioè Ex = −∂V/∂x, Ey = −∂V/∂y, Ez = −∂V/∂z: punta dove V diminuisce più rapidamente e il suo modulo è la rapidità di variazione. Le superfici equipotenziali (V costante) sono sempre perpendicolari alle linee di campo, e spostarsi su di esse non costa lavoro.Campo come gradiente del potenziale e superfici equipotenziali → · Dipolo elettrico e momento in un campo esternoUn dipolo elettrico è una coppia di cariche +q e −q a distanza a, descritta dal momento di dipolo p = qa (da −q a +q). A grande distanza il potenziale vale V = p cos θ/(4πε₀r²) e il campo decresce come 1/r³. In un campo uniforme il dipolo non subisce forza ma un momento meccanico M = p × E, che tende ad allinearlo al campo; la sua energia è U = −p·E.Dipolo elettrico e momento in un campo esterno →

• Campo conservativo: $\oint\vec E\cdot d\vec s=0$. Potenziale $V(B)-V(A)=-\int_A^B\vec E\cdot d\vec s=-\frac{W_{AB}}{q_0}$ (volt, $1\ \mathrm V=1\ \mathrm J/\mathrm C$). Carica puntiforme $V=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac qr$ ($V(\infty)=0$); più cariche $V=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\sum\frac{q_i}{r_i}$ (somma scalare); anello sull'asse $V=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac q{\sqrt{R^2+z^2}}$.
• Filo: $V(r_B)-V(r_A)=-\frac\lambda{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{r_B}{r_A}$; piano: $V(z_B)-V(z_A)=-\frac\sigma{2\varepsilon_0}(z_B-z_A)$.
• $U=qV$; $W=-q\Delta V$; $\frac12mv^2+qV=\text{costante}$; $1\ \mathrm{eV}=1{,}602\cdot10^{-19}\ \mathrm J$. Due cariche $U=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}r$; sistema $U=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i<j}\frac{q_iq_j}{r_{ij}}=\frac12\sum q_iV_i$.
• $\vec E=-\nabla V$ ($E_x=-\frac{\partial V}{\partial x}$, ...): punta dove $V$ cala più in fretta; le superfici equipotenziali sono perpendicolari alle linee di campo (spostarsi su di esse non costa lavoro).
• Dipolo: $\vec p=q\vec a$ (da $-q$ a $+q$); lontano $V=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{p\cos\theta}{r^2}$, $E_r=\frac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}$, $E_\theta=\frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}$. In campo uniforme: forza nulla, $\vec M=\vec p\times\vec E$, $U=-\vec p\cdot\vec E$.

Legge di Gauss ed equazioni di Maxwell dell'elettrostatica

Note: Flusso elettrico e legge di GaussIl flusso di E attraverso una superficie è Φ = ∫ E·n dS (quante linee di campo la attraversano). Legge di Gauss: il flusso uscente da qualunque superficie chiusa è uguale alla carica interna divisa per ε₀, Φ = Q_int/ε₀; le cariche esterne danno flusso totale nullo. Si dimostra con l'angolo solido ed è conseguenza diretta del fatto che il campo di Coulomb va come 1/r².Flusso elettrico e legge di Gauss → · Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e pianoCon la legge di Gauss e una superficie scelta secondo la simmetria si trovano subito i campi: guscio sferico (nullo dentro, q/(4πε₀r²) fuori), sfera piena uniforme (ρr/(3ε₀) dentro, cresce linearmente), cilindro o filo indefinito (λ/(2πε₀r) fuori), piano indefinito (σ/(2ε₀)); integrando il campo si ottengono i potenziali.Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e piano → · Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostaticaCon l'operatore nabla ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) si definiscono divergenza ∇·E (quanto campo "nasce" in un punto) e rotore ∇×E (quanto campo "gira"). Teoremi della divergenza e di Stokes trasformano le leggi integrali in leggi locali: le equazioni dell'elettrostatica sono ∮E·n dS = Q/ε₀ ⇔ ∇·E = ρ/ε₀ e ∮E·ds = 0 ⇔ ∇×E = 0; da E = −∇V segue l'equazione di Poisson ∇²V = −ρ/ε₀.Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostatica →

• Flusso $\Phi=\int_S\vec E\cdot\hat n\,dS$. Legge di Gauss: $\displaystyle\oint_S\vec E\cdot\hat n\,dS=\frac{Q_{int}}{\varepsilon_0}$ (le cariche esterne danno flusso nullo; conseguenza del campo $\propto1/r^2$).
• Con la superficie scelta per simmetria: guscio sferico $E=0$ dentro, $\frac q{4\pi\varepsilon_0r^2}$ fuori; sfera piena uniforme $E=\frac{qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$ dentro, $\frac q{4\pi\varepsilon_0r^2}$ fuori; filo/cilindro $E=\frac\lambda{2\pi\varepsilon_0r}$; piano $E=\frac\sigma{2\varepsilon_0}$. Sfera piena: $V(r)=\frac q{8\pi\varepsilon_0R}\big(3-\frac{r^2}{R^2}\big)$ dentro.
• Forma locale: $\nabla\cdot\vec E=\frac\rho{\varepsilon_0}$ (teorema della divergenza), $\nabla\times\vec E=0$ (teorema di Stokes); da $\vec E=-\nabla V$: Poisson $\nabla^2V=-\frac\rho{\varepsilon_0}$, Laplace $\nabla^2V=0$ dove non c'è carica.

Conduttori, condensatori e dielettrici

Note: Conduttori in equilibrio, conduttori cavi e schermo elettrostaticoIn un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, il conduttore è tutto allo stesso potenziale, la carica sta sulla superficie e appena fuori il campo è perpendicolare alla superficie con modulo σ/ε₀ (teorema di Coulomb). In una cavità vuota il campo è nullo (schermo elettrostatico); una carica q dentro la cavità induce −q sulla parete interna e +q su quella esterna (induzione completa).Conduttori in equilibrio, conduttori cavi e schermo elettrostatico → · Condensatori - capacità, serie e paralleloUn condensatore sono due conduttori in induzione completa con cariche ±q; la capacità C = q/ΔV (farad) dipende solo dalla geometria: piano ε₀S/d, sferico 4πε₀R₁R₂/(R₂ − R₁), cilindrico 2πε₀L/ln(R₂/R₁). In parallelo le capacità si sommano (stessa ΔV), in serie si sommano gli inversi (stessa carica). Con un dielettrico che riempie il condensatore C diventa ε_r C.Condensatori - capacità, serie e parallelo → · Energia del campo elettrostaticoCaricare un condensatore costa lavoro, immagazzinato come energia U = ½q²/C = ½CΔV² = ½qΔV; questa energia è localizzata nel campo, con densità u = ½ε₀E² (½εE² in un dielettrico). Con il condensatore isolato si conserva q, collegato al generatore si conserva ΔV: nel secondo caso il generatore fa un lavoro doppio della variazione di energia del condensatore.Energia del campo elettrostatico → · Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettricaUn dielettrico che riempie un condensatore ne moltiplica la capacità per la costante dielettrica relativa ε_r (κ) e, a carica fissata, divide campo e d.d.p. per ε_r. Il motivo è la polarizzazione: i dipoli molecolari si allineano (vettore P = momento di dipolo per unità di volume) e compaiono cariche di polarizzazione σ_p = P·n = (ε_r − 1)/ε_r · σ_lib che schermano il campo. Il vettore D = ε₀E + P ha flusso uguale alla sola carica libera: ∮D·n dS = Q_lib, e D = ε₀ε_r E.Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettrica →

• Conduttore in equilibrio: $\vec E=0$ dentro, potenziale uniforme, carica sulla superficie; appena fuori $\vec E=\frac\sigma{\varepsilon_0}\hat n$ (teorema di Coulomb). Cavità vuota: campo nullo (schermo elettrostaticoIl campo dentro una cavità vuota di un conduttore è nullo qualunque sia il campo esterno.); carica $q$ nella cavità induce $-q$ sulla parete interna e $+q$ sull'esterna.
• $C=\frac q{\Delta V}$ (farad). Piano $\frac{\varepsilon_0S}d$; sferico $4\pi\varepsilon_0\frac{R_1R_2}{R_2-R_1}$; cilindrico $\frac{2\pi\varepsilon_0L}{\ln(R_2/R_1)}$. Parallelo $C=C_1+C_2$ (stessa $\Delta V$); serie $\frac1C=\frac1{C_1}+\frac1{C_2}$ (stessa carica).
• Energia: $U=\frac12\frac{q^2}C=\frac12C\Delta V^2=\frac12q\Delta V$; densità $u=\frac12\varepsilon_0E^2$ ($\frac12\varepsilon E^2$ in un dielettrico). Isolato si conserva $q$; collegato al generatore si conserva $\Delta V$ ($W_{gen}=\Delta C\,\Delta V^2$). Forza tra le armature $F=\frac{q^2}{2\varepsilon_0S}=\frac12\sigma E$.
• Dielettrico: $C\to\varepsilon_rC$, a carica fissata $\Delta V=\frac{\Delta V_0}{\varepsilon_r}$. Polarizzazione $\vec P=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)\vec E$; $\sigma_p=\frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}\sigma_{lib}$; $E=\frac{\sigma-\sigma_p}{\varepsilon_0}$. $\vec D=\varepsilon_0\vec E+\vec P=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec E$, $\oint\vec D\cdot\hat n\,dS=Q_{lib}$, $\nabla\cdot\vec D=\rho_{lib}$.

Corrente elettrica

Note: Corrente elettrica, densità di corrente ed equazione di continuitàLa corrente i = dq/dt (ampere) è la carica che attraversa una sezione per unità di tempo; la densità di corrente J = n q v_d (portatori per unità di volume × carica × velocità di deriva) ha flusso i = ∫ J·n dS. La conservazione della carica si scrive come equazione di continuità ∇·J = −∂ρ/∂t; in regime stazionario ∇·J = 0, cioè la corrente entrante in una superficie chiusa è uguale a quella uscente.Corrente elettrica, densità di corrente ed equazione di continuità → · Conduzione, legge di Ohm ed effetto JouleNel modello classico gli elettroni accelerano nel campo e vengono frenati dagli urti, raggiungendo una velocità di deriva proporzionale a E: J = σE (legge di Ohm locale, σ = ne²τ/m, resistività ρ = 1/σ). Per un filo R = ρL/Σ e ΔV = Ri. La potenza ceduta al conduttore e dissipata in calore è P = iΔV = Ri² = ΔV²/R (effetto Joule). Resistenze in serie si sommano, in parallelo si sommano gli inversi.Conduzione, legge di Ohm ed effetto Joule → · Forza elettromotrice e resistenza interna del generatorePer mantenere una corrente in un circuito chiuso serve un campo non conservativo (campo elettromotore E*) dentro il generatore: la forza elettromotrice è ℰ = ∮ E*·ds, il lavoro per unità di carica fatto dal generatore. Un generatore reale ha una resistenza interna r: la tensione ai morsetti è ΔV = ℰ − ri, la corrente in un carico R è i = ℰ/(R + r), e il generatore eroga la potenza ℰi.Forza elettromotrice e resistenza interna del generatore → · Carica e scarica di un condensatore (circuito RC)In un circuito RC la carica non cambia istantaneamente: in carica q(t) = Cℰ(1 − e^(−t/τ)), i(t) = (ℰ/R)e^(−t/τ); in scarica q(t) = q₀e^(−t/τ), con costante di tempo τ = RC (dopo circa 5τ il transitorio è finito). Durante la carica il generatore fornisce Cℰ², metà va nel condensatore e metà è dissipata nella resistenza; in scarica tutta l'energia ½q₀²/C si dissipa, con legge e^(−2t/τ).Carica e scarica di un condensatore (circuito RC) →

• $i=\frac{dq}{dt}$ (ampere); $\vec J=nq\vec v_d$, $i=\int_S\vec J\cdot\hat n\,dS$. Continuità: $\nabla\cdot\vec J+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0$; stazionario $\nabla\cdot\vec J=0$ (corrente entrante = uscente).
• Ohm locale $\vec J=\sigma\vec E$, $\sigma=\frac{ne^2\tau}m$, $\rho=\frac1\sigma$; $R=\rho\frac L\Sigma$, $\Delta V=Ri$. Joule: $P=i\Delta V=Ri^2=\frac{\Delta V^2}R$. Serie $R=R_1+R_2$; parallelo $\frac1R=\frac1{R_1}+\frac1{R_2}$.
• Generatore reale: $\mathcal E=\oint\vec E^*\cdot d\vec s$; $i=\frac{\mathcal E}{R+r}$, $\Delta V=\mathcal E-ri$; $\mathcal Ei=Ri^2+ri^2$.
• RC: $R\frac{dq}{dt}+\frac qC=\mathcal E$; $\tau=RC$. Carica: $q=C\mathcal E(1-e^{-t/\tau})$, $i=\frac{\mathcal E}Re^{-t/\tau}$. Scarica: $q=q_0e^{-t/\tau}$, $i=\frac{V_0}Re^{-t/\tau}$, $U=U_0e^{-2t/\tau}$. In carica il generatore fornisce $C\mathcal E^2$: metà nel condensatore, metà dissipata in $R$.

Campo magnetico, legge di Gauss magnetica e forza di Lorentz

Note: Campo magnetico, legge di Gauss magnetica e forza di LorentzIl campo magnetico B si definisce attraverso la forza che esercita su una carica in moto: forza di Lorentz F = q v × B, perpendicolare sia a v sia a B, quindi non compie lavoro e non cambia l'energia cinetica. Unità: tesla, 1 T = 1 N/(A·m). Con anche un campo elettrico F = q(E + v × B). Le linee di B sono chiuse (non esistono monopoli magnetici): il flusso di B attraverso qualunque superficie chiusa è nullo, ∮B·dΣ = 0, in forma locale div B = 0.Campo magnetico, legge di Gauss magnetica e forza di Lorentz → · Moto di una carica in un campo magnetico uniformeIn un campo B uniforme una carica con velocità perpendicolare a B percorre un moto circolare uniforme di raggio r = mv/(|q|B) con pulsazione ω = |q|B/m e periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipendono dalla velocità. Se v ha anche una componente parallela a B il moto è un'elica di passo p = v∥T. Applicazioni: selettore di velocità (E ⊥ B, passa chi ha v = E/B), spettrometro di massa, ciclotrone.Moto di una carica in un campo magnetico uniforme → · Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da correnteSeconda legge elementare di Laplace: su un tratto di filo ds percorso dalla corrente i agisce dF = i ds × B (somma delle forze di Lorentz sui portatori). Filo rettilineo in campo uniforme: F = i L × B; circuito chiuso in campo uniforme: forza totale nulla. Una spira piana ha momento magnetico m = iΣ u_n (N spire: NiΣ u_n); in un campo uniforme subisce il momento meccanico M = m × B, che la fa ruotare verso m parallelo a B, e ha energia potenziale U = −m·B.Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da corrente → · Effetto Hall e tensione di HallIn un conduttore percorso da corrente e immerso in un campo B perpendicolare, la forza di Lorentz spinge i portatori verso un lato: si accumulano cariche sui bordi finché il campo elettrico di Hall E_H bilancia il campo elettromotore v_d × B (E_H = v_d B). La tensione di Hall tra i bordi è V_H = iB/(nqa), con a lo spessore lungo B: il suo segno rivela il segno dei portatori, il suo valore permette di misurare n o, nelle sonde di Hall, il campo B.Effetto Hall e tensione di Hall →

• Lorentz: $\vec F=q\vec v\times\vec B$ ($F=|q|vB\sin\theta$, non compie lavoro); con $\vec E$: $\vec F=q(\vec E+\vec v\times\vec B)$; $1\ \mathrm T=1\ \mathrm{N/(A\,m)}$. Gauss magnetica: $\oint\vec B\cdot d\vec\Sigma=0$, $\nabla\cdot\vec B=0$ (niente monopoli).
• $\vec v\perp\vec B$: moto circolare con $r=\frac{mv}{|q|B}$, $\omega=\frac{|q|B}m$, $T=\frac{2\pi m}{|q|B}$ (indipendenti da $v$). Con $v_\parallel$: elica di passo $p=v_\parallel T$. Selettore di velocità $v=\frac EB$; acceleratore con $\Delta V$: $r=\frac1B\sqrt{\frac{2m\Delta V}q}$.
• Laplace: $d\vec F=i\,d\vec s\times\vec B$; filo rettilineo $\vec F=i\vec L\times\vec B$; circuito chiuso in campo uniforme: $\vec F=0$. Spira: $\vec m=Ni\Sigma\vec u_n$, $\vec M=\vec m\times\vec B$, $U=-\vec m\cdot\vec B$.
• Hall: $E_H=v_dB$, $V_H=\frac{iB}{nqa}$ ($a$ = spessore lungo $B$): il segno dà il segno dei portatori; $B=\frac{nqa}iV_H$.

Sorgenti del campo magnetico

Note: Legge di Biot-Savart e campo di un filo rettilineoPrima legge elementare di Laplace: un tratto di filo ds percorso da i genera dB = (μ0/4π) i ds × u_r / r², con μ0 = 4π·10⁻⁷ T·m/A; una carica in moto genera B = (μ0/4π) q v × u_r / r². Integrando su un filo rettilineo: tratto finito B = μ0 i (sin α2 − sin α1)/(4πR); filo indefinito B = μ0 i/(2πR) (legge di Biot-Savart), con linee di campo circolari attorno al filo; filo semi-infinito visto dal piede della perpendicolare: metà. Un arco di circonferenza di angolo Δθ genera al centro B = μ0 i Δθ/(4πR).Legge di Biot-Savart e campo di un filo rettilineo → · Campo di una spira e di un solenoideUna spira circolare di raggio R percorsa da i genera sul suo asse B(z) = μ0 i R²/[2(R² + z²)^(3/2)], diretto lungo l'asse (al centro μ0 i/(2R)); lontano dalla spira B ≈ (μ0/4π)·2m/z³ con m = iπR²: è il campo di un dipolo magnetico (principio di equivalenza di Ampère: una spira piccola equivale a un ago magnetico). Un solenoide di n spire per unità di lunghezza genera all'interno, se indefinito, il campo uniforme B = μ0 n i parallelo all'asse, e nullo all'esterno.Campo di una spira e di un solenoide → · Forza tra fili percorsi da correnteDue fili rettilinei paralleli indefiniti a distanza d, percorsi dalle correnti i1 e i2, si scambiano una forza per unità di lunghezza F/L = μ0 i1 i2/(2πd), lungo la congiungente: attrattiva se le correnti sono concordi, repulsiva se discordi (il contrario delle cariche elettriche). La forza si trova combinando Biot-Savart (campo di un filo nel punto dell'altro) e seconda legge di Laplace. Su questa forza si basava la definizione dell'ampere: 2·10⁻⁷ N/m tra fili a 1 m con 1 A.Forza tra fili percorsi da corrente → · Legge di Ampère e circuitazione del campo magneticoLegge di Ampère: la circuitazione di B lungo una curva chiusa qualsiasi è μ0 per la somma (con segno) delle correnti concatenate, ∮B·ds = μ0 Σi; con il teorema di Stokes diventa rot B = μ0 J. B quindi non è conservativo. Con curve simmetriche dà subito: filo B = μ0 i/(2πr); cilindro pieno B = μ0 i r/(2πR²) dentro; solenoide indefinito B = μ0 n i dentro e 0 fuori; toroide B = μ0 N i/(2πr). Con la legge di Gauss magnetica forma le equazioni di Maxwell per i campi statici; per correnti non stazionarie va corretta con la corrente di spostamento.Legge di Ampère e circuitazione del campo magnetico → · Magnetizzazione della materia (cenni)La materia contiene momenti magnetici atomici (correnti amperiane). In un campo esterno si magnetizza: il vettore magnetizzazione M è il momento magnetico per unità di volume, ed equivale a correnti di magnetizzazione sulla superficie (densità M × u_n). Si introduce H = B/μ0 − M, la cui circuitazione dipende solo dalle correnti di conduzione; nei materiali lineari M = χm H e B = μ0 μr H con μr = 1 + χm. Diamagneti: χm < 0 piccolissimo; paramagneti: χm > 0 piccolo; ferromagneti: μr fino a 10³–10⁵, non lineari, con isteresi. Un solenoide riempito di materiale ha B = μ0 μr n i.Magnetizzazione della materia (cenni) →

• Biot-Savart: $d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{i\,d\vec s\times\vec u_r}{r^2}$, $\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\ \mathrm{T\,m/A}$; carica in moto $\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\vec v\times\vec u_r}{r^2}$.
• Filo finito $B=\frac{\mu_0i}{4\pi R}(\sin\alpha_2-\sin\alpha_1)$; indefinito $B=\frac{\mu_0i}{2\pi R}$ (semi-infinito: metà); arco al centro $B=\frac{\mu_0i\Delta\theta}{4\pi R}$ (spira intera $\frac{\mu_0i}{2R}$).
• Spira sull'asse $B(z)=\frac{\mu_0iR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}$; lontano $B\approx\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2m}{z^3}$ con $m=i\pi R^2$ (dipolo). Solenoide indefinito: $B=\mu_0ni$ dentro, $0$ fuori.
• Fili paralleli a distanza $d$: $\frac FL=\frac{\mu_0i_1i_2}{2\pi d}$ (attrattiva se le correnti sono concordi).
• Ampère: $\oint_C\vec B\cdot d\vec s=\mu_0\sum i_k$, locale $\nabla\times\vec B=\mu_0\vec J$ ($\vec B$ non è conservativo). Filo $\frac{\mu_0i}{2\pi r}$; cilindro pieno $B=\frac{\mu_0ir}{2\pi R^2}$ dentro; solenoide $\mu_0ni$; toroide $B=\frac{\mu_0Ni}{2\pi r}$.
• Materia: $\vec M=\frac{d\vec m}{d\tau}$ (A/m); $\vec H=\frac{\vec B}{\mu_0}-\vec M$, $\oint\vec H\cdot d\vec s=\sum i_{conduzione}$; lineare $\vec M=\chi_m\vec H$, $\vec B=\mu_0\mu_r\vec H$, $\mu_r=1+\chi_m$; solenoide con materiale $B=\mu_0\mu_rni$.

Induzione elettromagnetica ed equazioni di Maxwell

Note: Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indottaQuando il flusso di B concatenato con un circuito cambia nel tempo, nel circuito compare la fem indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione di flusso. Il flusso può cambiare perché cambia B, l'area, l'orientazione o la posizione del circuito. Sbarretta su rotaie: ℰ = Bℓv, forza frenante B²ℓ²v/R, potenza meccanica uguale a quella dissipata; lasciata libera rallenta come v₀e^(−t/τ) con τ = mR/(B²ℓ²). Legge di Felici: la carica che circola è q = ΔΦ/R. In forma generale ∮E·ds = −dΦ/dt, cioè rot E = −∂B/∂t: il campo elettrico indotto non è conservativo.Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indotta → · Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magneticaUn circuito percorso da corrente concatena il flusso del proprio campo: Φ = L i, con L coefficiente di autoinduzione (henry; solenoide L = μ0 n² Σ ℓ). Se i varia compare la fem autoindotta −L di/dt. Circuito RL in chiusura: i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)), τ = L/R (extracorrente di chiusura); in apertura i = i₀e^(−t/τ). Un'induttanza percorsa da i immagazzina U = ½Li², con densità di energia magnetica u = B²/(2μ0). Circuito LC: la carica oscilla come q₀cos(ωt), ω = 1/√(LC), con l'energia che passa dal condensatore all'induttanza e viceversa.Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magnetica → · Mutua induzione e circuiti accoppiatiIl flusso del campo di un circuito 1 concatenato con un circuito 2 è proporzionale alla corrente: Φ₂ = M i₁, e vale la simmetria M₁₂ = M₂₁ = M (coefficiente di mutua induzione, in henry). Se i₁ varia, nel circuito 2 compare ℰ₂ = −M di₁/dt. Casi tipici: bobina di N spire e area Σ in un solenoide M = μ0 n N Σ cos θ; piccola bobina vicino a un filo M = μ0 N Σ/(2πd). Energia di due circuiti accoppiati: U = ½L₁i₁² + ½L₂i₂² + M i₁ i₂, con |M| ≤ √(L₁L₂). Il trasformatore sfrutta la mutua induzione: V₂/V₁ = N₂/N₁.Mutua induzione e circuiti accoppiati → · Corrente di spostamento ed equazioni di MaxwellLa legge di Ampère non vale per correnti non stazionarie (condensatore in carica). Maxwell aggiunse la corrente di spostamento i_s = ε0 dΦ(E)/dt, che tra le armature di un condensatore è uguale alla corrente di conduzione nei fili: legge di Ampère-Maxwell ∮B·ds = μ0(i + ε0 dΦ(E)/dt), rot B = μ0 J + μ0ε0 ∂E/∂t. Con Gauss elettrica, Gauss magnetica e Faraday formano le quattro equazioni di Maxwell. Nel vuoto senza sorgenti E e B soddisfano l'equazione delle onde, con velocità c = 1/√(ε0μ0) = 3·10⁸ m/s: la luce è un'onda elettromagnetica, con E ⊥ B ⊥ direzione di propagazione ed E = cB.Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell →

• Faraday-Neumann-Lenz: $\mathcal E_i=-\frac{d\Phi(\vec B)}{dt}$ (la corrente indotta si oppone alla variazione di flusso); $\oint\vec E\cdot d\vec s=-\frac{d\Phi}{dt}$, $\nabla\times\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t}$. Felici: $|q|=\frac{|\Delta\Phi|}R$. Bobina rotante $\mathcal E=NB\Sigma\omega\sin\omega t$.
• Sbarretta di lunghezza $\ell$ a velocità $v$: $\mathcal E=B\ell v$, forza frenante $\frac{B^2\ell^2}Rv$, $P=\frac{\mathcal E^2}R$; libera: $v=v_0e^{-t/\tau}$, $\tau=\frac{mR}{B^2\ell^2}$.
• Autoinduzione $\Phi=Li$ (henry), $\mathcal E_L=-L\frac{di}{dt}$; solenoide $L=\mu_0n^2\Sigma\ell$. RL in chiusura $i=\frac{\mathcal E}R(1-e^{-t/\tau})$, $\tau=\frac LR$; in apertura $i=i_0e^{-t/\tau}$. Energia $U=\frac12Li^2$, densità $u_m=\frac{B^2}{2\mu_0}$. LC: $\omega=\frac1{\sqrt{LC}}$, $T=2\pi\sqrt{LC}$, $q=q_0\cos\omega t$, $U_C+U_L=\frac{q_0^2}{2C}$.
• Mutua induzione $\Phi_2=M i_1$, $M_{12}=M_{21}=M$, $\mathcal E_2=-M\frac{di_1}{dt}$; energia $U=\frac12L_1i_1^2+\frac12L_2i_2^2+Mi_1i_2$, $|M|\le\sqrt{L_1L_2}$; trasformatore $\frac{V_2}{V_1}=\frac{N_2}{N_1}$.
• Corrente di spostamento $i_s=\varepsilon_0\frac{d\Phi(\vec E)}{dt}$; Ampère-Maxwell $\oint\vec B\cdot d\vec s=\mu_0\big(i+\varepsilon_0\frac{d\Phi(\vec E)}{dt}\big)$, $\nabla\times\vec B=\mu_0\vec J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}$.
• Maxwell: $\nabla\cdot\vec D=\rho_{lib}$, $\nabla\cdot\vec B=0$, $\nabla\times\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t}$, $\nabla\times\vec H=\vec J_{lib}+\frac{\partial\vec D}{\partial t}$. Nel vuoto: onde con $c=\frac1{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}\approx3\cdot10^8\ \mathrm{m/s}$, $E=cB$, $\vec E\perp\vec B\perp$ propagazione.

Domande di teoria

Note: Domande di teoria degli appelliRaccolta delle domande di teoria delle prove 2025-2026 (10 punti su 31), raggruppate per argomento, con la traccia di risposta e il link alla nota dove l'argomento è svolto. Le più frequenti: legge di Ampère (integrale, forma locale con Stokes, Ampère-Maxwell), legge di Gauss (enunciato, dimostrazione, forma locale), circuiti RC e RL in chiusura, forza di Lorentz e moto in campo uniforme, autoinduzione e mutua induzione.Domande di teoria degli appelli →

• Le domande più frequenti ripassano le formule di sopra: Ampère (integrale, locale con Stokes, Ampère-Maxwell), Gauss ($\oint\vec E\cdot\hat n\,dS=\frac{Q_{int}}{\varepsilon_0}$ e $\nabla\cdot\vec E=\frac\rho{\varepsilon_0}$), RC e RL in chiusura ($\tau=RC$, $\tau=\frac LR$), Lorentz e moto in campo uniforme ($r=\frac{mv}{|q|B}$), autoinduzione e mutua induzione.