Formulario - fisica 2

Carica e campo elettrostatico

Note: Carica elettrica e legge di CoulombLa carica elettrica è una proprietà della materia, si conserva ed è quantizzata (multipli di e). Due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con una forza proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale al quadrato della distanza.Carica elettrica e legge di Coulomb → · Campo elettrostatico e principio di sovrapposizioneIl campo elettrostatico E è la forza per unità di carica che una carica di prova sentirebbe in ogni punto; per più cariche i campi si sommano come vettori, e per distribuzioni continue si integra usando le densità di carica λ, σ, ρ.Campo elettrostatico e principio di sovrapposizione →

• Carica quantizzata: $q=Ne$, $e=1{,}602\cdot10^{-19}\ \mathrm C$. Coulomb: $\displaystyle\vec F_{12}=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}\hat u_{12}$, $k=\frac1{4\pi\varepsilon_0}=8{,}99\cdot10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$; in un mezzo $\varepsilon_0\to\varepsilon_0\varepsilon_r$. Elettrone-protone: $\frac{F_e}{F_g}\approx10^{36}$.
• $\vec E(P)=\frac{\vec F}{q_0}$ (N/C = V/m), $\vec F=q\vec E$, $\vec a=\frac qm\vec E$. Carica puntiforme $\vec E=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac q{r^2}\hat u_r$; sovrapposizione $\vec E=\sum_i\vec E_i$; distribuzioni continue $\vec E=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{r^2}\hat u_r$ (densità $\lambda,\sigma,\rho$).

Potenziale elettrostatico

Note: Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotoreGli strumenti matematici dei campi: derivate parziali, operatore nabla, gradiente di un campo scalare (vettore che punta dove la funzione cresce più in fretta), divergenza (sorgenti di un campo vettoriale) e rotore (vorticosità), più i teoremi della divergenza e di Stokes.Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotore → · Lavoro elettrico e potenziale elettrostaticoLa forza elettrostatica è conservativa: il suo lavoro dipende solo dagli estremi e si scrive come differenza di energia potenziale. Il potenziale V è l'energia potenziale per unità di carica; per una carica puntiforme V = kq/r, e il campo è E = −grad V, perpendicolare alle superfici equipotenziali.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico → · Dipolo elettricoDue cariche opposte ±q a distanza a formano un dipolo di momento p = q a (da − a +). Lontano il potenziale cala come cosθ/r² e il campo come 1/r³; in un campo esterno uniforme il dipolo subisce un momento p×E che lo allinea, con energia U = −p·E.Dipolo elettrico → · Campo di distribuzioni continue - filo, anello e discoCampo e potenziale di filo (finito e indefinito), anello e disco uniformemente carichi, calcolati integrando i contributi dq e sfruttando la simmetria; il piano indefinito è il limite del disco, con campo uniforme σ/2ε0.Campo di distribuzioni continue - filo, anello e disco →

• $\nabla U=\big(\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y},\frac{\partial U}{\partial z}\big)$ (dove $U$ cresce più in fretta); $\nabla\cdot\vec v=\partial_xv_x+\partial_yv_y+\partial_zv_z$; $\nabla\times(\nabla U)=0$; $\nabla\cdot(\nabla\times\vec v)=0$. Teorema della divergenza $\oint_S\vec v\cdot\hat n\,dS=\int_V\nabla\cdot\vec v\,dV$; Stokes $\oint_\gamma\vec v\cdot d\vec l=\int_S(\nabla\times\vec v)\cdot\hat n\,dS$.
• Campo conservativo: $\oint\vec E\cdot d\vec l=0$, $W_{AB}=q_0\int_A^B\vec E\cdot d\vec l=-\Delta U$. $U(r)=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_0q}r$; potenziale $V=\frac U{q_0}$, $V(A)-V(B)=\int_A^B\vec E\cdot d\vec l$; $V=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac qr$, $V=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\sum\frac{q_i}{r_i}$ (o $\int\frac{dq}r$). $W_{AB}=q[V(A)-V(B)]$; $\frac12mv^2+qV=\text{cost}$; $1\ \mathrm{eV}=1{,}602\cdot10^{-19}\ \mathrm J$; $U=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i<j}\frac{q_iq_j}{r_{ij}}=\frac12\sum q_iV_i$.
• $\vec E=-\nabla V$ ($E_x=-\frac{\partial V}{\partial x}$, ...), perpendicolare alle superfici equipotenziali.
• Dipolo: $\vec p=q\vec a$; $V=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{p\cos\theta}{r^2}$, $E_r=\frac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}$, $E_\theta=\frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}$; in campo esterno $\vec M=\vec p\times\vec E$, $U=-\vec p\cdot\vec E$.
• Filo indefinito $E=\frac\lambda{2\pi\varepsilon_0R}$, $V=-\frac\lambda{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac R{R_0}$; filo finito $E_\perp=\frac\lambda{4\pi\varepsilon_0R}(\sin\alpha_2-\sin\alpha_1)$. Anello sull'asse $E_z=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac{qz}{(z^2+R^2)^{3/2}}$, $V=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac q{\sqrt{z^2+R^2}}$. Disco $E_z=\frac\sigma{2\varepsilon_0}\big(1-\frac z{\sqrt{z^2+R^2}}\big)$. Piano $E=\frac\sigma{2\varepsilon_0}$; due piani $\pm\sigma$: $\frac\sigma{\varepsilon_0}$ dentro, $0$ fuori.

Legge di Gauss

Note: Flusso del campo elettrico e legge di GaussIl flusso di E attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica contenuta divisa per ε0, qualunque siano forma della superficie e posizione delle cariche interne; in forma locale div E = ρ/ε0. Insieme a rot E = 0 riassume tutta l'elettrostatica.Flusso del campo elettrico e legge di Gauss → · Applicazioni della legge di GaussCon la legge di Gauss e una superficie scelta in base alla simmetria si ricava il campo di filo indefinito (λ/2πε0r), piano indefinito (σ/2ε0), guscio sferico (nullo dentro, kQ/r² fuori), sfera uniformemente carica (proporzionale a r dentro) e cilindro carico.Applicazioni della legge di Gauss →

• Flusso $\Phi=\int_S\vec E\cdot\hat n\,dS$. Gauss: $\displaystyle\oint_S\vec E\cdot\hat n\,dS=\frac{Q_{int}}{\varepsilon_0}$ (angolo solido: $d\Phi=\frac q{4\pi\varepsilon_0}d\Omega$); locale $\nabla\cdot\vec E=\frac\rho{\varepsilon_0}$, $\nabla\times\vec E=0$; Poisson $\nabla^2V=-\frac\rho{\varepsilon_0}$.
• Filo indefinito $E=\frac\lambda{2\pi\varepsilon_0r}$; piano $E=\frac\sigma{2\varepsilon_0}$; guscio sferico $E=0$ dentro, $\frac Q{4\pi\varepsilon_0r^2}$ fuori; sfera piena uniforme $E=\frac Q{4\pi\varepsilon_0}\frac r{R^3}=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$ dentro, $V(r)=\frac Q{4\pi\varepsilon_0}\frac{3R^2-r^2}{2R^3}$; cilindro carico in volume $E=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}$ dentro.

Conduttori e condensatori

Note: Conduttori in equilibrio elettrostaticoIn un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, la carica sta sulla superficie, il conduttore è equipotenziale e appena fuori il campo è perpendicolare e vale σ/ε0 (teorema di Coulomb). Un conduttore cavo scherma l'interno (gabbia di Faraday); per induzione le cariche si separano in presenza di un campo esterno.Conduttori in equilibrio elettrostatico → · Capacità e condensatoriLa capacità C = Q/V misura quanta carica un conduttore (o una coppia di conduttori) accumula per ogni volt. Condensatore piano C = ε0S/d, cilindrico C = 2πε0h/ln(R2/R1), sferico C = 4πε0R1R2/(R2−R1). In parallelo le capacità si sommano, in serie si sommano gli inversi.Capacità e condensatori → · Energia elettrostatica e forza tra le armatureCaricare un condensatore costa lavoro, che resta immagazzinato come energia U = Q²/2C = CV²/2 = QV/2. L'energia si può pensare distribuita nel campo con densità u = ε0E²/2. La forza tra le armature si ricava derivando l'energia rispetto alla distanza (F = Q²/2ε0S); a tensione costante il generatore fornisce il doppio dell'energia che finisce nel condensatore.Energia elettrostatica e forza tra le armature →

• Conduttore in equilibrio: $\vec E=0$ dentro, carica sulla superficie, equipotenziale; appena fuori $\vec E=\frac\sigma{\varepsilon_0}\hat n$ (Coulomb). Cavo: schermo (gabbia di FaradayL'interno di un conduttore cavo è schermato dai campi esterni.); conduttori collegati: stesso potenziale, $\frac{\sigma_1}{\sigma_2}=\frac{R_2}{R_1}$.
• $C=\frac Q{\Delta V}$ (farad); sfera $C=4\pi\varepsilon_0R$; piano $C=\frac{\varepsilon_0S}d$; cilindrico $C=\frac{2\pi\varepsilon_0h}{\ln(R_2/R_1)}$; sferico $C=4\pi\varepsilon_0\frac{R_1R_2}{R_2-R_1}$. Parallelo $C=\sum C_i$; serie $\frac1C=\sum\frac1{C_i}$.
• $U=\frac{Q^2}{2C}=\frac12CV^2=\frac12QV$; densità $u=\frac12\varepsilon_0E^2$ (energia di una sfera carica $\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0R}$). A tensione costante $W_{gen}=QV=CV^2$. Forza tra le armature $F=\frac{Q^2}{2\varepsilon_0S}=\frac12\varepsilon_0E^2S$.

Dielettrici

Note: Dielettrici e polarizzazioneUn isolante in un campo elettrico si polarizza: le sue molecole diventano (o si orientano come) piccoli dipoli. Il vettore polarizzazione ℘ = ε0χE fa comparire cariche di polarizzazione σp = ℘·n sulle superfici, che riducono il campo interno di un fattore εr = 1 + χ. Per questo un dielettrico moltiplica la capacità per εr. Il vettore D = ε0E + ℘ ha come sorgenti solo le cariche libere: il suo flusso è la carica libera racchiusa.Dielettrici e polarizzazione →

• Polarizzazione $\vec\wp=\frac{\sum\vec p}{\Delta\tau}=n\langle\vec p\rangle$ (C/m²), $\vec\wp=\varepsilon_0\chi\vec E$, $\sigma_p=\vec\wp\cdot\hat n$. $E=\frac{\sigma-\sigma_p}{\varepsilon_0}=\frac{E_0}{\varepsilon_r}$, $\varepsilon_r=1+\chi$; $\sigma_p=\frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}\sigma$; a carica fissata $V=\frac{V_0}{\varepsilon_r}$, $C=\varepsilon_rC_0$.
• $\vec D=\varepsilon_0\vec E+\vec\wp=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec E$, $\oint_S\vec D\cdot d\vec S=q_{lib,int}$, $\nabla\cdot\vec D=\rho_{lib}$; $u=\frac12\vec D\cdot\vec E=\frac12\varepsilon_0\varepsilon_rE^2$.

Corrente elettrica e circuiti

Note: Corrente elettrica e legge di OhmLa corrente i = dq/dt è la carica che attraversa una sezione per unità di tempo; la densità di corrente j = n q v_d lega la corrente al moto di deriva delle cariche. La carica si conserva (equazione di continuità). Nei conduttori ohmici j = σE, cioè V = R i con R = ρ ℓ/S; la potenza dissipata per effetto Joule è P = R i².Corrente elettrica e legge di Ohm → · Circuiti in corrente continuaUn generatore mantiene la corrente grazie a una forza elettromotrice ℰ (lavoro per unità di carica del campo elettromotore non conservativo); con resistenza interna r fornisce V = ℰ − r i. Resistori in serie: R1 + R2; in parallelo: inversi che si sommano. Le leggi di Kirchhoff (nodi e maglie) risolvono qualunque rete; amperometro in serie con resistenza piccola, voltmetro in parallelo con resistenza grande.Circuiti in corrente continua → · Carica e scarica di un condensatoreIn un circuito RC la carica del condensatore non cambia di colpo: in carica q(t) = Cℰ(1 − e^(−t/τ)), in scarica q(t) = q0 e^(−t/τ), con costante di tempo τ = RC. Dopo qualche τ il transitorio è finito. Durante la carica il generatore fornisce Cℰ², metà finisce nel condensatore e metà si dissipa nella resistenza, qualunque sia R.Carica e scarica di un condensatore →

• $i=\frac{dq}{dt}=nqv_dS$; $\vec j=nq\vec v_d$, $i=\int\vec j\cdot d\vec S$; continuità $\oint\vec j\cdot d\vec S=-\frac{dq_{int}}{dt}$, $\nabla\cdot\vec j=-\frac{\partial\rho}{\partial t}$. Ohm: $\vec j=\sigma\vec E=\frac{\vec E}\rho$, $V=Ri$, $R=\rho\frac\ell S$; Joule $P=Vi=Ri^2=\frac{V^2}R$.
• f.e.m. $\mathcal E=\oint\vec E^*\cdot d\vec l$; generatore reale $V=\mathcal E-ri$, $i=\frac{\mathcal E}{R+r}$ (corto circuito $i_{cc}=\frac{\mathcal E}r$); potenza massima sul carico per $R=r$ ($P=\frac{\mathcal E^2}{4r}$). Serie $R=\sum R_i$; parallelo $\frac1R=\sum\frac1{R_i}$. Kirchhoff: nodi $\sum i_k=0$; maglie $\sum\mathcal E_k=\sum R_ki_k$.
• RC: $\mathcal E=Ri+\frac qC$, $\tau=RC$. Carica $q=C\mathcal E(1-e^{-t/\tau})$, $i=\frac{\mathcal E}Re^{-t/\tau}$, $V_C=\mathcal E(1-e^{-t/\tau})$. Scarica $q=q_0e^{-t/\tau}$, $i=\frac{V_0}Re^{-t/\tau}$. Durante la carica $W_R=\frac12C\mathcal E^2$ (metà dell'energia fornita), qualunque sia $R$.

Campo magnetico e forze magnetiche

Note: Campo magnetico e forza di LorentzIl campo magnetico B si definisce dalla forza che agisce su una carica in moto: F = q v × B (forza di Lorentz), perpendicolare alla velocità, quindi non compie lavoro e non cambia l'energia cinetica. Una carica con velocità perpendicolare a B percorre una circonferenza di raggio r = mv/qB con pulsazione ω = qB/m; con una componente parallela il moto è un'elica. Applicazioni: selettore di velocità, spettrometro di massa.Campo magnetico e forza di Lorentz → · Forza magnetica su un conduttore e momento su una spiraSu un tratto di filo percorso da corrente agisce la forza dF = i dl × B (seconda legge elementare di Laplace); su un filo rettilineo in campo uniforme F = i l B sinθ. Nell'effetto Hall la forza sui portatori produce una tensione trasversale che misura B. Una spira in un campo uniforme non sente forza totale ma un momento M = m × B, con momento magnetico m = i S n; l'energia è U = −m·B. Su questo funzionano galvanometro e motore elettrico.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira →

• $\vec F=q\vec v\times\vec B$ ($F=|q|vB\sin\theta$, non compie lavoro). Moto circolare ($\vec v\perp\vec B$): $r=\frac{mv}{|q|B}=\frac p{|q|B}$, $\omega=\frac{|q|B}m$, $T=\frac{2\pi m}{|q|B}$; elica di passo $p=v_\parallel T$. Selettore di velocità $v=\frac EB$; spettrometro/acceleratore $r=\frac1B\sqrt{\frac{2m\Delta V}q}$.
• Laplace: $d\vec F=i\,d\vec l\times\vec B$, $\vec F=i\vec\ell\times\vec B$, $F=i\ell B\sin\theta$. Hall: $E_H=v_dB$, $V_H=\frac{iB}{nqa}$.
• Spira: $\vec m=iS\hat n$ (A m²), $\vec M=\vec m\times\vec B$, $U=-\vec m\cdot\vec B$.

Sorgenti del campo magnetico e leggi della magnetostatica

Note: Prima legge di Laplace e legge di Biot-SavartOgni tratto di filo percorso da corrente produce un campo dB = (μ0/4π) i dl × u_r / r² (prima legge elementare di Laplace). Integrando: filo rettilineo indefinito B = μ0 i/2πR (Biot-Savart), con linee di campo circolari; spira circolare al centro B = μ0 i/2R, sull'asse uguale al campo di un dipolo magnetico lontano. Due fili paralleli si attraggono se le correnti sono concordi, con forza per unità di lunghezza μ0 i1 i2/2πd.Prima legge di Laplace e legge di Biot-Savart → · Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di AmpèreLe linee del campo magnetico sono chiuse: il flusso di B attraverso qualunque superficie chiusa è nullo (div B = 0, non esistono monopoli). La circuitazione di B lungo una linea chiusa vale μ0 per la corrente concatenata (teorema di Ampère, rot B = μ0 j). Con la simmetria giusta Ampère dà subito il campo: filo spesso, solenoide indefinito B = μ0 n i (uniforme dentro, nullo fuori), toroide B = μ0 N i/2πr.Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di Ampère →

• $d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{i\,d\vec l\times\hat u_r}{r^2}$, $\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\ \mathrm{T\,m/A}$. Filo indefinito $B=\frac{\mu_0i}{2\pi R}$; filo finito $B=\frac{\mu_0i}{4\pi R}(\sin\alpha_1+\sin\alpha_2)$; centro della spira $B=\frac{\mu_0i}{2R}$; asse della spira $B(z)=\frac{\mu_0iR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}\approx\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2m}{z^3}$ ($m=i\pi R^2$). Due fili paralleli: $\frac F\ell=\frac{\mu_0i_1i_2}{2\pi d}$ (attrattiva se concordi).
• Gauss magnetica: $\oint_S\vec B\cdot d\vec S=0$, $\nabla\cdot\vec B=0$ (flusso in weber, $1\ \mathrm{Wb}=1\ \mathrm{T\,m^2}$). Ampère: $\oint_\gamma\vec B\cdot d\vec l=\mu_0\sum i_{conc}$, $\nabla\times\vec B=\mu_0\vec j$.
• Cilindro pieno $B=\frac{\mu_0ir}{2\pi R^2}$ dentro, $\frac{\mu_0i}{2\pi r}$ fuori; solenoide indefinito $B=\mu_0ni$ dentro, $0$ fuori; toroide $B=\frac{\mu_0Ni}{2\pi r}$.

Proprietà magnetiche della materia

Note: Magnetizzazione e campo HNella materia ogni atomo si comporta come una piccola spira (correnti amperiane). Il vettore magnetizzazione M è il momento magnetico per unità di volume (A/m); un materiale magnetizzato equivale a correnti di magnetizzazione, superficiali k_m = M × n e di volume j_m = rot M. Il campo H = B/μ0 − M ha come sorgenti solo le correnti libere: ∮H·dl = i_libere. Nei materiali lineari M = χm H e B = μ0 μr H, con μr = 1 + χm. In un solenoide pieno di materiale H = n i e B = μ0 μr n i.Magnetizzazione e campo H → · Diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismoI materiali "amagnetici" hanno suscettività piccolissima: diamagnetici χm ≈ −10⁻⁵ (tutti gli atomi, momenti indotti opposti al campo, respinti dai magneti), paramagnetici χm ≈ +10⁻⁵ (momenti permanenti allineati poco dall'agitazione termica, legge di Curie χm = C/T). I ferromagnetici (Fe, Ni, Co) hanno χm da 10² a 10⁵, non costante: sono divisi in domini di Weiss già magnetizzati, presentano isteresi (campo residuo, campo coercitivo) e sopra la temperatura di Curie diventano paramagnetici.Diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo →

• $\vec M=\frac{d\vec m}{d\tau}$ (A/m); correnti di magnetizzazione $\vec k_m=\vec M\times\hat n$, $\vec j_m=\nabla\times\vec M$. $\vec H=\frac{\vec B}{\mu_0}-\vec M$, $\oint\vec H\cdot d\vec l=i_{libere}$, $\nabla\times\vec H=\vec j_{libere}$.
• Materiali lineari: $\vec M=\chi_m\vec H$, $\vec B=\mu_0(1+\chi_m)\vec H=\mu_0\mu_r\vec H$. Solenoide pieno: $H=ni$, $B=\mu_0\mu_rni$. Elettromagnete con traferro $h$: $B=\frac{\mu_0Ni}{\frac{2\pi r-h}{\mu_r}+h}$.
• Diamagneti $\chi_m\approx-10^{-5}$; paramagneti $\chi_m\approx+10^{-5}$, Curie $\chi_m=\frac CT$; ferromagneti $\chi_m=10^2$-$10^5$, non lineari, con isteresi; sopra la temperatura di Curie $\chi_m=\frac C{T-T_C}$.

Induzione elettromagnetica

Note: Legge di Faraday-Neumann-LenzOgni volta che il flusso di B concatenato con un circuito cambia (perché cambia B, l'area o l'orientazione) nel circuito nasce una f.e.m. indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione. La carica che circola è q = ΔΦ/R (legge di Felici). Una sbarretta che scorre su rotaie dà ℰ = Bℓv ed è frenata da F = B²ℓ²v/R. Un campo B variabile produce un campo elettrico indotto non conservativo: ∮E·dl = −dΦ/dt, rot E = −∂B/∂t. Applicazioni: correnti di Foucault, alternatore.Legge di Faraday-Neumann-Lenz → · Autoinduzione, circuiti RL ed energia magneticaLa corrente di un circuito produce un flusso concatenato con il circuito stesso, Φ = L i; L (induttanza, in henry) dipende solo dalla geometria: per un solenoide L = μ0 n² S ℓ. Se la corrente cambia nasce una f.e.m. autoindotta −L di/dt che si oppone alla variazione. In un circuito RL la corrente cresce come i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)) e si spegne come i0 e^(−t/τ), con τ = L/R. Un induttore percorso da corrente immagazzina l'energia ½ L i², distribuita nel campo con densità u = B²/2μ0.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica → · Mutua induzioneDue circuiti vicini si scambiano flusso: il flusso prodotto dal circuito 1 e concatenato con il 2 è Φ21 = M i1, e il coefficiente di mutua induzione M (in henry) è lo stesso nei due sensi, M12 = M21. Una corrente variabile in un circuito induce nell'altro la f.e.m. −M di/dt. Per una bobina di N spire di area A dentro un solenoide con n spire per metro, M = μ0 n N A cosθ. L'energia di due circuiti accoppiati è ½L1 i1² + ½L2 i2² + M i1 i2. Su questo funziona il trasformatore: V2/V1 = N2/N1.Mutua induzione →

• $\mathcal E_i=-\frac{d\Phi}{dt}$, $\Phi=\int_S\vec B\cdot d\vec S$ (Lenz: la corrente indotta si oppone alla variazione); Felici $|q|=\frac{|\Delta\Phi|}R$. Sbarretta: $|\mathcal E_i|=B\ell v$, $F=\frac{B^2\ell^2}Rv$, libera $v=v_0e^{-t/\tau}$ con $\tau=\frac{mR}{B^2\ell^2}$. Bobina rotante $\Phi=NBS\cos\omega t$, $\mathcal E_i=NBS\omega\sin\omega t$.
• Campo indotto: $\oint_\gamma\vec E\cdot d\vec l=-\frac d{dt}\int_S\vec B\cdot d\vec S$, $\nabla\times\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t}$.
• Autoinduzione $\Phi=Li$ (henry), $\mathcal E_L=-L\frac{di}{dt}$, solenoide $L=\mu_0n^2S\ell=\mu_0\frac{N^2S}\ell$. RL: $\tau=\frac LR$; chiusura $i=\frac{\mathcal E}R(1-e^{-t/\tau})$; apertura $i=i_0e^{-t/\tau}$. Energia $U_B=\frac12Li^2=\frac{\Phi^2}{2L}$, densità $u_B=\frac{B^2}{2\mu_0}$.
• Mutua induzione $\Phi_{21}=M_{21}i_1$, $M_{12}=M_{21}$, $\mathcal E_2=-M\frac{di_1}{dt}$; bobina in solenoide $M=\mu_0nNA\cos\theta$; energia $U=\frac12L_1i_1^2+\frac12L_2i_2^2+Mi_1i_2$; trasformatore $\frac{V_2}{V_1}=\frac{N_2}{N_1}$.

Equazioni di Maxwell e onde elettromagnetiche

Note: Corrente di spostamento ed equazioni di MaxwellLa legge di Ampère non vale per correnti non stazionarie (condensatore in carica). Maxwell aggiunse la corrente di spostamento i_s = ε0 dΦ(E)/dt, che tra le armature di un condensatore è uguale alla corrente di conduzione nei fili: legge di Ampère-Maxwell ∮B·ds = μ0(i + ε0 dΦ(E)/dt), rot B = μ0 J + μ0ε0 ∂E/∂t. Con Gauss elettrica, Gauss magnetica e Faraday formano le quattro equazioni di Maxwell. Nel vuoto senza sorgenti E e B soddisfano l'equazione delle onde, con velocità c = 1/√(ε0μ0) = 3·10⁸ m/s: la luce è un'onda elettromagnetica, con E ⊥ B ⊥ direzione di propagazione ed E = cB.Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell → · Onde elettromagneticheUn'onda è una perturbazione f(x − vt) che si propaga senza deformarsi e soddisfa l'equazione delle onde; un'onda armonica è E0 sin(kx − ωt), con k = 2π/λ, ω = 2πf, v = λf = ω/k. Dalle equazioni di Maxwell nel vuoto E e B soddisfano l'equazione delle onde con velocità c = 1/√(μ0ε0) = 3·10⁸ m/s. L'onda piana è trasversale: E, B e direzione di propagazione sono perpendicolari, E = cB, in fase. Nei mezzi v = c/n. Trasporta energia: vettore di Poynting S = E × B/μ0, intensità I = ½ cε0 E0²; e quantità di moto: pressione di radiazione I/c (assorbita).Onde elettromagnetiche →

• Corrente di spostamento $i_s=\varepsilon_0\frac{d\Phi(\vec E)}{dt}$; Ampère-Maxwell $\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0\big(i_{conc}+\varepsilon_0\frac{d\Phi(\vec E)}{dt}\big)$, $\nabla\times\vec B=\mu_0\vec j+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}$ (implica la conservazione della carica). Maxwell: $\nabla\cdot\vec E=\frac\rho{\varepsilon_0}$, $\nabla\cdot\vec B=0$, $\nabla\times\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t}$, $\nabla\times\vec B=\mu_0\vec j+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}$.
• Onda: $f(x\mp vt)$, $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=\frac1{v^2}\frac{\partial^2f}{\partial t^2}$; armonica $A\sin(kx-\omega t)$, $k=\frac{2\pi}\lambda$, $\omega=2\pi f$, $v=\frac\omega k=\lambda f$.
• Nel vuoto $c=\frac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}=2{,}998\cdot10^8\ \mathrm{m/s}$; onda piana trasversale: $\vec E\perp\vec B\perp$ propagazione, in fase, $E=cB$. Nei mezzi $v=\frac cn$, $n=\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}\approx\sqrt{\varepsilon_r}$. Onda sferica $E=\frac{E_0}r\sin(kr-\omega t)$.
• Energia $u=\frac12\varepsilon_0E^2+\frac{B^2}{2\mu_0}=\varepsilon_0E^2$; Poynting $\vec S=\frac{\vec E\times\vec B}{\mu_0}$; intensità $I=\frac12c\varepsilon_0E_0^2$; pressione di radiazione $p=\frac Ic$ (assorbente), $\frac{2I}c$ (riflettente).

Riflessione, rifrazione e polarizzazione

Note: Principio di Huygens, riflessione e rifrazioneOgni punto di un fronte d'onda si comporta come sorgente di onde sferiche secondarie (Huygens). Quando un'onda incontra la superficie di separazione tra due mezzi nascono un'onda riflessa e una trasmessa; imponendo che le fasi coincidano sulla superficie si ottiene: frequenza invariata, raggi complanari, angolo di riflessione = angolo di incidenza, legge di Snell n1 sin θi = n2 sin θt. Passando a un mezzo meno denso (n1 > n2) oltre l'angolo limite sin θlim = n2/n1 c'è riflessione totale. Una lastra a facce parallele sposta il raggio senza deviarlo; la dipendenza di n da λ (dispersione) separa i colori nel prisma. Intensità in un mezzo: I = n E0²/(2Z0), con Z0 = 377 Ω.Principio di Huygens, riflessione e rifrazione → · Coefficienti di Fresnel e angolo di BrewsterIl campo elettrico dell'onda si scompone nella componente σ (perpendicolare al piano di incidenza) e π (nel piano). I coefficienti di Fresnel danno i rapporti tra le ampiezze: rσ = −sin(θi−θt)/sin(θi+θt), rπ = tan(θi−θt)/tan(θi+θt); a incidenza normale r = (n1−n2)/(n1+n2). La frazione di potenza riflessa è R = r², quella trasmessa T = 1 − R; aria-vetro a incidenza normale R = 4%. L'intensità trasmessa è T·Ii·cosθi/cosθt perché il fascio cambia sezione. Riflettendo su un mezzo più denso l'onda si inverte (sfasamento π). All'angolo di Brewster tan θB = n2/n1 (θi + θt = 90°) la componente π non viene riflessa: la luce riflessa è tutta polarizzata σ.Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster → · Polarizzatori e legge di MalusUn polarizzatore ideale lascia passare solo la componente del campo elettrico parallela al suo asse ottico (di trasmissione) e assorbe l'altra. Se la luce incidente è polarizzata linearmente e forma l'angolo θ con l'asse, esce E0 cos θ e l'intensità diventa I = I0 cos²θ (legge di Malus); la luce esce polarizzata lungo l'asse. La luce naturale perde sempre metà dell'intensità: I = I0/2. Due polarizzatori incrociati non lasciano passare nulla, ma inserendone un terzo a 45° in mezzo passa I0/8. Con una miscela di luce polarizzata e naturale: I = Inat/2 + Ipol cos²θ.Polarizzatori e legge di Malus →

• $n=\frac cv$; $Z_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\approx377\ \Omega$; intensità $I=\frac{E_0^2}{2Z_0}$ (vuoto), $\frac{nE_0^2}{2Z_0}$ (mezzo). La frequenza non cambia.
• $\theta_r=\theta_i$; Snell $n_1\sin\theta_i=n_2\sin\theta_t$; riflessione totale oltre $\sin\theta_{lim}=\frac{n_2}{n_1}$ ($n_1>n_2$). Lastra a facce parallele: sposta il raggio senza deviarlo. Dispersione (Cauchy): $n(\lambda)=A+\frac B{\lambda^2}$.
• Fresnel (componente σ e πσ è la componente del campo perpendicolare al piano di incidenza, π quella nel piano.): $r_\sigma=-\frac{\sin(\theta_i-\theta_t)}{\sin(\theta_i+\theta_t)}$, $r_\pi=\frac{\tan(\theta_i-\theta_t)}{\tan(\theta_i+\theta_t)}$; incidenza normale $r=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}$, $t=\frac{2n_1}{n_1+n_2}$. Potenza riflessa $R=r^2$, trasmessa $T=1-R$; $R=\big(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\big)^2$ (aria-vetro $4\%$); $I_r=RI_i$, $I_t=TI_i\frac{\cos\theta_i}{\cos\theta_t}$.
• Brewster: $\tan\theta_B=\frac{n_2}{n_1}$ ($\theta_i+\theta_t=90^\circ$): $r_\pi=0$, la luce riflessa è tutta polarizzata $\sigma$.
• Malus: $I=I_0\cos^2\theta$; luce naturale $I=\frac{I_0}2$; polarizzatori incrociati con un terzo a $45^\circ$: $\frac{I_0}8$; miscela $I=\frac{I_{nat}}2+I_{pol}\cos^2\theta$.

Interferenza

Note: Interferenza di due sorgenti ed esperimento di YoungDue onde coerenti (stessa frequenza, differenza di fase costante) con la stessa polarizzazione che si sovrappongono danno I = I1 + I2 + 2√(I1 I2) cos δ, con δ = k(r2 − r1) + sfasamento tra le sorgenti. Massimi (interferenza costruttiva) per δ = 2mπ, cioè r2 − r1 = mλ; minimi (distruttiva) per δ = (2m+1)π, cioè r2 − r1 = (m + ½)λ. Con intensità uguali I = 4I0 cos²(δ/2): massimi 4I0, minimi 0. Onde incoerenti o polarizzate perpendicolarmente non interferiscono: I = I1 + I2. Esperimento di Young (fenditure a distanza d, schermo a distanza L): massimi a d sin θ = mλ, frange equidistanti di passo Δx = λL/d. In un mezzo conta il cammino ottico n·r; una lamina di spessore s davanti a una fenditura sfasa di 2π(n−1)s/λ0.Interferenza di due sorgenti ed esperimento di Young → · Interferenza di N sorgenti e onde stazionarieN sorgenti coerenti, uguali ed equidistanti (passo d), come N fenditure sottili: tra due sorgenti vicine c'è la differenza di fase δ = 2π d sin θ/λ e l'intensità è I = I0 sin²(Nδ/2)/sin²(δ/2). Massimi principali per d sin θ = mλ, con intensità N²I0; minimi per d sin θ = m'λ/N (m' non multiplo di N): tra due massimi principali ci sono N − 1 minimi e N − 2 massimi secondari deboli. Più sorgenti = massimi più alti (N²) e più stretti (1/N). Due onde uguali che viaggiano in versi opposti formano un'onda stazionaria 2A sin(kx) cos(ωt): nodi fissi ogni λ/2, nessun trasporto di energia; davanti a uno specchio metallico E ha un nodo sullo specchio.Interferenza di N sorgenti e onde stazionarie →

• Due sorgenti coerenti: $\delta=\frac{2\pi}\lambda(r_2-r_1)+(\alpha_2-\alpha_1)$, $I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\delta$. Massimi $\delta=2m\pi$ ($r_2-r_1=m\lambda$), minimi $\delta=(2m+1)\pi$; intensità uguali $I=4I_0\cos^2\frac\delta2$. Incoerenti o polarizzate perpendicolarmente: $I=I_1+I_2$. Cammino ottico $\delta=\frac{2\pi}{\lambda_0}(n_2r_2-n_1r_1)$; lamina di spessore $s$: $\Delta\delta=\frac{2\pi}{\lambda_0}(n-1)s$.
• Young (fenditure a distanza $d$, schermo a $L$): $d\sin\theta_m=m\lambda$ (massimi), $d\sin\theta=(m+\frac12)\lambda$ (minimi); $x_m=m\frac{\lambda L}d$, passo $\Delta x=\frac{\lambda L}d$; $I=4I_0\cos^2\big(\frac{\pi d\sin\theta}\lambda\big)$.
• $N$ sorgenti: $\delta=\frac{2\pi}\lambda d\sin\theta$, $I=I_0\frac{\sin^2(N\delta/2)}{\sin^2(\delta/2)}$; massimi principali $d\sin\theta=m\lambda$ con $I=N^2I_0$; minimi $d\sin\theta=\frac{m'}N\lambda$ ($m'$ non multiplo di $N$): tra due massimi $N-1$ minimi e $N-2$ massimi secondari; larghezza $\Delta(\sin\theta)=\frac\lambda{Nd}$.
• Onda stazionaria $y=2A\sin(kx)\cos(\omega t)$ (nodi ogni $\frac\lambda2$, nessun trasporto di energia); davanti a uno specchio metallico $E=2E_0\sin(kx)\cos(\omega t)$ con nodo sullo specchio.

Diffrazione

Note: Diffrazione da una fenditura e reticoloLa diffrazione è l'allargarsi di un'onda oltre un'apertura o un ostacolo, evidente quando l'apertura è confrontabile con λ. Per Huygens ogni punto della fenditura è una sorgente: è l'interferenza di infinite sorgenti. Diffrazione di Fraunhofer (schermo lontano) da una fenditura di larghezza a: I = Imax (sin α/α)² con α = π a sin θ/λ; minimi per a sin θ = mλ (m ≠ 0), massimo centrale largo il doppio degli altri, massimi secondari deboli (4,7%, 1,6%...). Con N fenditure di larghezza a e passo d l'intensità è la figura di interferenza di N sorgenti modulata dalla diffrazione della singola fenditura. Reticolo: massimi principali d sin θ = mλ, diversi per ogni colore; potere risolutivo λ/Δλ = mN.Diffrazione da una fenditura e reticolo →

• Fenditura di larghezza $a$ (Fraunhofer): $I=I_{max}\big(\frac{\sin\alpha}\alpha\big)^2$, $\alpha=\frac{\pi a\sin\theta}\lambda$; minimi $a\sin\theta=m\lambda$ ($m=\pm1,\pm2,\dots$); massimo centrale largo il doppio degli altri, $\Delta x_{centrale}=\frac{2\lambda L}a$.
• $N$ fenditure di passo $d$: $I=I_0\frac{\sin^2(N\delta/2)}{\sin^2(\delta/2)}\big(\frac{\sin\alpha}\alpha\big)^2$ (interferenza modulata dalla diffrazione). Reticolo: massimi $d\sin\theta=m\lambda$; potere risolutivo $\frac\lambda{\Delta\lambda}\le mN$.

Cenni di fisica moderna

Note: Cenni di fisica moderna - corpo nero, effetto fotoelettrico, Compton e de BroglieAlcuni fenomeni non si spiegano con le onde classiche. Corpo nero: lo spettro emesso dipende solo da T (Wien: λmax T = 2,9·10⁻³ m·K; Stefan-Boltzmann: P = σAT⁴); Planck lo spiega supponendo che l'energia sia scambiata a pacchetti hf, con h = 6,63·10⁻³⁴ J·s. Effetto fotoelettrico: la luce estrae elettroni da un metallo solo se f supera una soglia, con energia cinetica massima K = hf − W indipendente dall'intensità; Einstein: la luce è fatta di fotoni di energia hf. Effetto Compton: i raggi X diffusi dagli elettroni aumentano la lunghezza d'onda di Δλ = (h/mc)(1 − cos θ): il fotone ha quantità di moto p = h/λ. De Broglie: anche la materia ha una lunghezza d'onda λ = h/p (diffrazione degli elettroni).Cenni di fisica moderna - corpo nero, effetto fotoelettrico, Compton e de Broglie →

• Corpo nero: Wien $\lambda_{max}T=2{,}898\cdot10^{-3}\ \mathrm{m\,K}$; Stefan-Boltzmann $P=\sigma AT^4$, $\sigma=5{,}67\cdot10^{-8}\ \mathrm{W/(m^2K^4)}$. Planck: energia a pacchetti $E=hf$, $h=6{,}63\cdot10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$.
• Effetto fotoelettrico: $K_{max}=hf-W$ (esiste una soglia in frequenza, indipendente dall'intensità). Fotone: $p=\frac Ec=\frac{hf}c=\frac h\lambda$.
• Compton: $\lambda'-\lambda=\frac h{m_ec}(1-\cos\theta)$, $\frac h{m_ec}=2{,}43\ \mathrm{pm}$. De Broglie: $\lambda=\frac hp$.