Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di Lagrange

Nei problemi concreti il punto non si muove su tutto il piano: deve restare su una curva (un cerchio, un'ellisse, un arco) o dentro una regione (un disco, un triangolo). Esempi: il punto di una curva più vicino all'origine, il rettangolo di perimetro minimo con area assegnata, la temperatura massima su una lamina circolare. Qui si impara a risolvere tutti questi problemi. Si usa Fermat (Massimi e minimi liberi e natura dei punti criticiEstremo assoluto = vale in tutto il dominio, relativo = vale in un intorno; "libero" = il dominio è aperto. Fermat (D): in un punto interno di estremo locale dove f è derivabile, ∇f = 0 (punto critico); non basta (x³, −y³, sella x² − y²). Taylor al secondo ordine (D): con f in C² e ∇f(P) = 0, l'Hessiana definita positiva dà minimo locale stretto, definita negativa massimo locale stretto, indefinita sella; per n = 2: det H > 0 e f_xx > 0 minimo, det H > 0 e f_xx < 0 massimo, det H < 0 sella, det H = 0 non decide (x⁴ + y⁴, −x⁴ − y⁴, x⁴ − y⁴). Estremi globali: Weierstrass in un chiuso illimitato se f → +∞ (o −∞) all'infinito (D), da verificare in coordinate polari con una stima che non dipende dall'angolo.Massimi e minimi liberi e natura dei punti critici →), il teorema di Dini (Funzioni implicite e teorema di Dini nel pianoUna curva di livello f(x,y) = 0 è localmente il grafico di una funzione y = g(x) se f ∈ C¹, f(x₀,y₀) = 0 e f_y(x₀,y₀) ≠ 0 (teorema di Dini): g è unica, di classe C¹ e g'(x) = −f_x/f_y (D). Se invece f_x ≠ 0 si esplicita x = h(y), con h' = −f_y/f_x: il teorema si applica in tutti i punti non critici dell'insieme di livello. Retta tangente alla curva in (x₀,y₀): f_x(x₀,y₀)(x−x₀) + f_y(x₀,y₀)(y−y₀) = 0. Se f ∈ C², g''(x₀) = −(f_xx + 2f_xy g' + f_yy g'²)/f_y. Dove f_y = 0 la curva può avere tangente verticale, incroci (x² − y²) o cuspidi (x² − y³).Funzioni implicite e teorema di Dini nel piano →) e il teorema di Weierstrass (Topologia di Rn, teorema di Weierstrass e teorema degli zeriDato E ⊆ R^n, ogni punto è interno, esterno o di frontiera (partizione). E è aperto se E = interno, chiuso se il complementare è aperto (equivalentemente contiene la frontiera, o contiene i limiti delle sue successioni). Palle aperte e insiemi {f<c} con f continua sono aperti; {f≤c}, {f=c} chiusi. Compatto = chiuso e limitato. Weierstrass: f continua su un compatto ha massimo e minimo; vale anche su un chiuso illimitato se f→+∞ (minimo) o f→−∞ (massimo) all'infinito. Connesso per archi + f continua con segni opposti ⇒ f si annulla (teorema degli zeri).Topologia di Rn, teorema di Weierstrass e teorema degli zeri →).

1. Il problema

Siano $f, g : A \to \mathbb{R}$ di classe $C^1$ su un aperto $A \subseteq \mathbb{R}^2$, $b \in \mathbb{R}$, e $$\Gamma = \{(x,y) \in A : g(x,y) = b\}$$ la curva (vincolo). Si cercano i punti di massimo e minimo della restrizione $f|_\Gamma$: $$\max / \min f(x,y) \quad \text{con} \quad g(x,y) = b.$$ Il caso generale è invece un insieme $K$ chiuso definito da disuguaglianze ($g \le b$, $g \ge b$, più condizioni): $$\max / \min f(x,y) \quad \text{con} \quad (x,y) \in K.$$ I casi sono:

• Caso 1 (vincolo di uguaglianza): 1A il vincolo si può esplicitare o parametrizzare; 1B il vincolo è dato solo implicitamente.
• Caso 2 ($K$ chiuso): 2.1 $K$ limitato (compatto); 2.2 $K$ illimitato.

Definizione (estremo vincolato). $P \in \Gamma$ è punto di massimo (minimo) relativo vincolato se esiste un intorno $U$ di $P$ con $f(P) \ge f(Q)$ ($\le$) per ogni $Q \in \Gamma \cap U$.

2. Metodo diretto: il vincolo si parametrizza

Se $\Gamma$ è il sostegno di una curva $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$, $t \in I$, la restrizione diventa una funzione di una variabile: $$\varphi(t) = f(x(t), y(t)), \qquad t \in I.$$ Gli estremi di $f$ su $\Gamma$ sono gli estremi di $\varphi$, che si cercano con l'Analisi 1: punti con $\varphi'(t) = 0$, più gli estremi dell'intervallo se $I$ è chiuso (e i punti dove $\varphi$ non è derivabile).

Esempio. $f(x,y) = 2x^2 + y^2 - x$ sulla circonferenza $x^2 + y^2 = 1$. Si pone $\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t)$, $t \in [0, 2\pi]$: $$\varphi(t) = 2\cos^2 t + \sin^2 t - \cos t.$$

• $\varphi'(t) = -4\cos t\sin t + 2\sin t\cos t + \sin t = \sin t\,(1 - 2\cos t)$.
• $\varphi' = 0$ se $\sin t = 0$ ($t = 0, \pi, 2\pi$) oppure $\cos t = \frac12$ ($t = \frac\pi3, \frac{5\pi}3$).
• Valori: $\varphi(0) = \varphi(2\pi) = 2 - 1 = 1$; $\varphi(\pi) = 2 + 1 = 3$; $\varphi\left(\frac\pi3\right) = \varphi\left(\frac{5\pi}3\right) = 2\cdot\frac14 + \frac34 - \frac12 = \frac34$.

Quindi $\max_\Gamma f = 3$ nel punto $(\cos\pi, \sin\pi) = (-1, 0)$ e $\min_\Gamma f = \frac34$ nei punti $\left(\frac12, \pm\frac{\sqrt3}2\right)$. (I valori $t = 0$ e $t = 2\pi$ corrispondono allo stesso punto $(1,0)$: la curva è chiusa.)

Quando conviene il metodo diretto: vincolo che è un grafico ($y = h(x)$: si studia $\varphi(x) = f(x, h(x))$), un segmento, una circonferenza o un'ellisse (parametrizzazione trigonometrica), oppure quando $f$ si semplifica sul vincolo (per esempio $f$ dipende solo da $x^2 + y^2$).

3. Moltiplicatori di Lagrange

Se il vincolo è dato solo implicitamente e non è comodo da parametrizzare si usa il teorema dei moltiplicatori.

Teorema (moltiplicatori di Lagrange, vincolo in $\mathbb{R}^2$). Sia $A$ aperto, $f, g \in C^1(A)$, $\Gamma = \{g = b\}$. Se $P \in \Gamma$ è un punto di estremo relativo vincolato di $f|_\Gamma$ e $$\nabla g(P) \ne \mathbf{0},$$ allora esiste $\lambda \in \mathbb{R}$ (il moltiplicatore) tale che $$\nabla f(P) = \lambda\,\nabla g(P).$$

Significato geometrico. Il gradiente di $g$ è perpendicolare alla curva $\Gamma$ (che è una curva di livello di $g$). In un estremo vincolato la funzione, spostandosi lungo $\Gamma$, ha derivata nulla: quindi $\nabla f$ è perpendicolare anche lui a $\Gamma$, cioè parallelo a $\nabla g$. Equivalentemente la curva di livello di $f$ passante per $P$ è tangente al vincolo.

Dimostrazione (D). Sia $P = (x^*, y^*) \in \Gamma$ un estremo relativo vincolato, con $\nabla g(P) \ne \mathbf{0}$; supponiamo $g_y(P) \ne 0$ (se invece $g_y(P) = 0$ allora $g_x(P) \ne 0$ e si scambiano i ruoli di $x$ e $y$).

1. Parametrizzazione locale. Per il teorema di Dini applicato a $g(x,y) - b = 0$, vicino a $P$ l'insieme $\Gamma$ è il grafico di una funzione $y = h(x)$ di classe $C^1$ con $h(x^*) = y^*$. Equivalentemente $\Gamma$ è localmente il sostegno della curva regolare $\mathbf{r}(t) = (t, h(t))$, con $\mathbf{r}(x^*) = P$ e $\mathbf{r}'(x^*) = (1, h'(x^*)) \ne \mathbf{0}$.
2. Ortogonalità di $\nabla g$. Poiché $g(\mathbf{r}(t)) = b$ per ogni $t$ vicino a $x^*$, derivando con la regola della catena in $t = x^*$: $$0 = \nabla g(P)\cdot\mathbf{r}'(x^*).$$
3. Ortogonalità di $\nabla f$. La funzione di una variabile $\Phi(t) = f(\mathbf{r}(t))$ ha in $t = x^*$ un estremo relativo (perché $P$ lo è per $f|_\Gamma$), interno all'intervallo. Per il teorema di Fermat $\Phi'(x^*) = 0$, cioè $$0 = \nabla f(P)\cdot\mathbf{r}'(x^*).$$
4. Conclusione. $\nabla f(P)$ e $\nabla g(P)$ sono entrambi ortogonali al vettore non nullo $\mathbf{r}'(x^*)$ in $\mathbb{R}^2$. Ma i vettori ortogonali a un vettore non nullo del piano formano una retta (dimensione $1$): $\nabla f(P)$ e $\nabla g(P)$ sono quindi proporzionali. Poiché $\nabla g(P) \ne \mathbf{0}$, esiste $\lambda$ con $\nabla f(P) = \lambda\nabla g(P)$. $\blacksquare$

Definizione (punto critico vincolato). Un punto $P \in \Gamma$ con $\nabla g(P) \ne \mathbf{0}$ per cui esiste $\lambda$ con $\nabla f(P) = \lambda\nabla g(P)$ si dice punto critico vincolato (o stazionario) di $f$ su $\Gamma$.

Funzione lagrangiana. Si introduce $$\mathcal{L}(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda\,\big(b - g(x,y)\big).$$ Le sue derivate parziali sono $\mathcal{L}_x = f_x - \lambda g_x$, $\mathcal{L}_y = f_y - \lambda g_y$, $\mathcal{L}_\lambda = b - g$. Quindi $$\nabla\mathcal{L}(x,y,\lambda) = \mathbf{0} \iff \begin{cases} \nabla f(x,y) = \lambda\nabla g(x,y) \\ g(x,y) = b\end{cases}.$$ I punti critici vincolati sono le proiezioni $(x,y)$ dei punti critici (liberi) di $\mathcal{L}$. È solo un modo compatto di scrivere lo stesso sistema.

Esempio (stesso problema di prima). $f = 2x^2 + y^2 - x$, $g = x^2 + y^2$, $b = 1$. Il sistema: $$\begin{cases} 4x - 1 = 2\lambda x \\ 2y = 2\lambda y \\ x^2 + y^2 = 1\end{cases}$$ La seconda equazione dà $y(1 - \lambda) = 0$: o $y = 0$ o $\lambda = 1$.

• $y = 0$: dal vincolo $x = \pm1$; i punti sono $(1,0)$ (con $\lambda = \frac32$) e $(-1,0)$ (con $\lambda = \frac52$).
• $\lambda = 1$: la prima diventa $4x - 1 = 2x$, cioè $x = \frac12$; dal vincolo $y^2 = \frac34$, $y = \pm\frac{\sqrt3}2$. Quattro punti, con $f(1,0) = 1$, $f(-1,0) = 3$, $f\left(\frac12, \pm\frac{\sqrt3}2\right) = \frac34$: stesso risultato del metodo diretto. La circonferenza è compatta, quindi (Weierstrass) massimo e minimo esistono e sono fra questi candidati: $\max = 3$, $\min = \frac34$. Il punto $(1,0)$ è un estremo relativo vincolato (massimo locale su $\Gamma$) ma non assoluto.

Procedura (3 passi)

1. Punti singolari del vincolo. Cercare i punti di $\Gamma$ con $\nabla g = \mathbf{0}$ (si risolve $g = b$, $\nabla g = \mathbf{0}$). In questi il teorema non si applica: non possono essere trovati dal sistema di Lagrange e vanno aggiunti a mano all'elenco dei candidati. Spesso non ce ne sono (per $g = x^2 + y^2$ l'unico punto con $\nabla g = \mathbf{0}$ è l'origine, che non sta sulla circonferenza).
2. Punti critici vincolati: risolvere il sistema $\nabla f = \lambda\nabla g$, $g = b$.
3. Confronto. Se $\Gamma$ è compatto, per Weierstrass massimo e minimo esistono e stanno fra i candidati dei passi 1 e 2: si calcola $f$ su ciascuno e si confrontano.

Consigli per risolvere il sistema. Eliminare $\lambda$ (per esempio con la condizione di parallelismo $f_x g_y - f_y g_x = 0$), fattorizzare e distinguere i casi senza dividere per quantità che possono annullarsi; sostituire nel vincolo alla fine.

Esempio con vincolo che sembra patologico. Il punto di $\Gamma = \{(x-1)^3 = y^2\}$ più vicino all'origine: il vincolo ha un punto singolare ($\nabla g = (3(x-1)^2, -2y) = \mathbf{0}$ in $(1,0)$) e il minimo cade proprio lì. Lo si vede in Esercizio - Distanza minima da una curva con punto singolare (esercizio 19).

4. Estremi assoluti su un insieme chiuso (Caso 2)

4.1 $K$ chiuso e limitato (compatto)

Procedura. Sia $f$ continua su $K$ compatto.

• $\alpha)$ Esistenza. Per Weierstrass esistono $\max_K f$ e $\min_K f$.
• $\beta)$ Frontiera $\partial K$. Si studia $f|_{\partial K}$ come nel caso 1: parametrizzazione o Lagrange. Se la frontiera è fatta di più pezzi (lati di un poligono, archi) si studia ciascuno, compresi i punti di raccordo (vertici), dove il vincolo non è liscio.
• $\gamma)$ Interno $\mathring K$. Si risolve $\nabla f = \mathbf{0}$ e si tengono i punti che stanno nell'interno (si verifica con la disequazione che definisce $K$). Se $f$ non è derivabile in qualche punto interno, quel punto è un candidato.
• $\delta)$ Confronto dei valori di $f$ su tutti i candidati: il più grande è il massimo, il più piccolo il minimo.

Esempio. $f = 2x^2 + y^2 - x$ sul disco $K = \{x^2 + y^2 \le 1\}$. Frontiera: candidati già visti (valori $3, \frac34, 1$). Interno: $\nabla f = (4x - 1, 2y) = \mathbf{0}$ in $\left(\frac14, 0\right)$, che sta dentro ($\frac1{16} < 1$), con $f = \frac18 - \frac14 = -\frac18$. Confronto: $\max_K f = 3$ in $(-1,0)$, $\min_K f = -\frac18$ in $\left(\frac14, 0\right)$ (interno).

Esempio con infiniti punti critici interni. $f = (3x + 2y)^2$ sull'ellisse piena $K = \{4x^2 + y^2 \le 4\}$. Sul bordo (Lagrange): $\min = 0$ nei punti $\pm\left(\frac45, -\frac65\right)$, $\max = 25$ nei punti $\pm\left(\frac35, \frac85\right)$. Nell'interno $\nabla f = \mathbf{0}$ su tutta la retta $3x + 2y = 0$, dove $f = 0$. Poiché $f \ge 0$ ovunque, $\min_K f = 0$ assunto lungo tutto il segmento della retta dentro l'ellisse, e $\max_K f = 25$ nei due punti $\pm\left(\frac35, \frac85\right)$ del bordo.

4.2 $K$ chiuso e illimitato

Weierstrass non si applica. Se si trova che $f \to +\infty$ per $\|(x,y)\| \to \infty$ in $K$ (stima in polari indipendente da $\theta$) si ha l'esistenza del minimo (teorema di Weierstrass generalizzato, Massimi e minimi liberi e natura dei punti criticiEstremo assoluto = vale in tutto il dominio, relativo = vale in un intorno; "libero" = il dominio è aperto. Fermat (D): in un punto interno di estremo locale dove f è derivabile, ∇f = 0 (punto critico); non basta (x³, −y³, sella x² − y²). Taylor al secondo ordine (D): con f in C² e ∇f(P) = 0, l'Hessiana definita positiva dà minimo locale stretto, definita negativa massimo locale stretto, indefinita sella; per n = 2: det H > 0 e f_xx > 0 minimo, det H > 0 e f_xx < 0 massimo, det H < 0 sella, det H = 0 non decide (x⁴ + y⁴, −x⁴ − y⁴, x⁴ − y⁴). Estremi globali: Weierstrass in un chiuso illimitato se f → +∞ (o −∞) all'infinito (D), da verificare in coordinate polari con una stima che non dipende dall'angolo.Massimi e minimi liberi e natura dei punti critici →); se $f \to -\infty$, del massimo. Poi si cerca il punto fra i candidati di interno e frontiera, come sopra. Se invece $f$ è illimitata in una direzione, $\sup$ o $\inf$ valgono $\pm\infty$ e non c'è l'estremo corrispondente.

Esempio. Fra tutti i rettangoli di area $\ge a > 0$ trovare quello di perimetro minimo: $f(x,y) = 2x + 2y$ su $K = \{xy \ge a,\ x > 0,\ y > 0\}$ (chiuso e illimitato). Vedi Esercizio - Rettangolo di perimetro minimo con area assegnata (lezione 16): il minimo è il quadrato di lato $\sqrt a$.

5. Schema riassuntivo

6. Errori da evitare

• Dimenticare i punti singolari del vincolo ($\nabla g = \mathbf{0}$ su $\Gamma$).
• Dimenticare i vertici o gli estremi di una frontiera a pezzi o di un intervallo di parametrizzazione.
• Accettare punti critici esterni a $K$ (o in frontiera) come punti interni: ogni candidato va verificato con la disequazione di $K$.
• Dividere per una variabile che può essere nulla nel sistema di Lagrange (si perdono soluzioni).
• Usare Weierstrass su un insieme illimitato senza aver studiato il comportamento all'infinito.
• Credere che un estremo relativo vincolato sia assoluto: si decide col confronto dei valori.

Esercizi svolti: Esercizio - Lagrange su una circonferenza non centrata e sul disco (appello 26 gennaio 2026), Esercizio - Lagrange su una circonferenza e sul disco (appello 8 luglio 2025), Esercizio - Lagrange su un'ellisse e sull'ellisse piena (appello 7 settembre 2026), Esercizio - Estremi su un'ellisse piena con parametrizzazione (appello 31 gennaio 2023), Esercizio - Distanza minima da una curva con punto singolare (esercizio 19), Esercizio - Estremi assoluti su un triangolo (esercizio 25), Esercizio - Estremi assoluti su una striscia illimitata (lezione 17), Esercizio - Rettangolo di perimetro minimo con area assegnata (lezione 16).

Domande d'esame

1. Enunciare e dimostrare il teorema dei moltiplicatori di Lagrange per un vincolo $g(x,y) = b$ in $\mathbb{R}^2$. (Domanda frequente.) Traccia. Ipotesi: $f, g \in C^1$, $P$ estremo vincolato, $\nabla g(P) \ne \mathbf{0}$. Dini $\Rightarrow$ $\Gamma$ è localmente una curva regolare $\mathbf{r}(t)$; $g(\mathbf{r}(t)) = b$ dà $\nabla g\cdot\mathbf{r}' = 0$; Fermat su $f(\mathbf{r}(t))$ dà $\nabla f\cdot\mathbf{r}' = 0$; due vettori del piano ortogonali a $\mathbf{r}' \ne \mathbf{0}$ sono paralleli.
2. Descrivere come si trovano massimo e minimo assoluti di una funzione continua su un compatto del piano con frontiera regolare. Traccia. Weierstrass; interno ($\nabla f = 0$, punti interni); frontiera (Lagrange o parametrizzazione, più i punti singolari e i vertici); confronto.
3. Perché nel teorema serve $\nabla g(P) \ne \mathbf{0}$? Fare un esempio. Traccia. Altrimenti Dini non dà la parametrizzazione. Esempio: $\Gamma = \{(x-1)^3 = y^2\}$ nel punto $(1,0)$ (cuspide), minimo della distanza dall'origine non rilevato dal sistema di Lagrange.