Esercizio - circuitazione del vortice attorno a una singolarità (lezione 25)

Teoria: Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel pianoPer un dominio D del piano con bordo orientato positivamente (D "a sinistra"), ∬ f_y = −∮ f dx e ∬ f_x = ∮ f dy. Se ne ricavano: l'area come ∮ x dy = −∮ y dx = ½∮(x dy − y dx); la formula di Stokes nel piano ∬ (F₂ₓ − F₁ᵧ) dxdy = ∮ F₁dx + F₂dy (flusso del rotore = circuitazione); l'invarianza della circuitazione di un campo irrotazionale tra curve che circondano lo stesso buco.Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel piano →, Campi conservativi, irrotazionali e insiemi semplicemente connessiF è conservativo se F = ∇U (U potenziale, forma ω esatta): allora il lavoro da P₁ a P₂ vale U(P₂) − U(P₁), non dipende dal cammino ed è nullo sulle curve chiuse, e queste tre proprietà sono equivalenti. Condizione necessaria: rotore nullo (campo irrotazionale, forma chiusa), che non basta (vortice nel piano bucato: circuitazione 2π). Basta se il dominio è semplicemente connesso (senza buchi). Il potenziale si costruisce integrando una componente e imponendo le altre.Campi conservativi, irrotazionali e insiemi semplicemente connessi →.

Testo

Sia $\mathbf{F}(x,y)=\left(-\dfrac{y}{x^2+y^2},\ \dfrac x{x^2+y^2}\right)$ in $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ (campo del vortice). Calcolare la circuitazione antioraria di $\mathbf{F}$ lungo: (a) la circonferenza di centro l'origine e raggio $R>0$; (b) il bordo del quadrato $[-1,1]^2$; (c) la circonferenza di centro $(3,0)$ e raggio $1$; (d) la circonferenza di centro $(1,0)$ e raggio $2$.

Soluzione

Proprietà del campo. $\mathbf{F}$ è $C^1$ e irrotazionale in $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$: $\partial_yF_1=\partial_xF_2=\dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$ (Campi conservativi, irrotazionali e insiemi semplicemente connessiF è conservativo se F = ∇U (U potenziale, forma ω esatta): allora il lavoro da P₁ a P₂ vale U(P₂) − U(P₁), non dipende dal cammino ed è nullo sulle curve chiuse, e queste tre proprietà sono equivalenti. Condizione necessaria: rotore nullo (campo irrotazionale, forma chiusa), che non basta (vortice nel piano bucato: circuitazione 2π). Basta se il dominio è semplicemente connesso (senza buchi). Il potenziale si costruisce integrando una componente e imponendo le altre.Campi conservativi, irrotazionali e insiemi semplicemente connessi →).

(a) La circonferenza centrata nell'origine

Con $\mathbf{r}=(R\cos t,R\sin t)$, $\mathbf{F}(\mathbf{r})=\dfrac1R(-\sin t,\cos t)$ e $\mathbf{r}'=R(-\sin t,\cos t)$, il prodotto scalare è $1$, quindi $\oint=\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi$, per ogni $R$.

(b) Il quadrato

Per la proposizione di invarianza (Stokes sulla regione fra il quadrato e una circonferenza piccola dentro di esso, dove $\operatorname{rot}\mathbf{F}=0$) il risultato è lo stesso di (a): $2\pi$. Verifica diretta: sul lato destro $x=1$, $y$ da $-1$ a $1$ ($dx=0$): $\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\dfrac{x\,dy}{x^2+y^2}=\dfrac{dy}{1+y^2}$ e $\int_{-1}^1\dfrac{dy}{1+y^2}=\arctan1-\arctan(-1)=\dfrac\pi2$. Per simmetria di rotazione di $90^\circ$ (il campo è invariante per rotazioni attorno all'origine) ciascuno dei quattro lati dà $\dfrac\pi2$: totale $2\pi$.

(c) La circonferenza che non circonda l'origine

La circonferenza di centro $(3,0)$ e raggio $1$ racchiude un disco $D$ contenuto in $x\ge2$, quindi non contiene l'origine: $\mathbf{F}$ è $C^1$ in tutto un aperto che contiene $D$. Per Stokes nel piano $$\oint=\iint_D\operatorname{rot}\mathbf{F}\,dx\,dy=\iint_D0\,dx\,dy=0 .$$

(d) La circonferenza decentrata che circonda l'origine

Il disco di centro $(1,0)$ e raggio $2$ contiene l'origine (distanza $1<2$). La regione fra questa circonferenza e una circonferenza di raggio $\varepsilon$ centrata nell'origine e interna ad essa (per esempio $\varepsilon=\tfrac12$) non contiene l'origine, e vale l'invarianza: la circuitazione è uguale a quella sulla circonferenza piccola, cioè $2\pi$.

Riepilogo. La circuitazione del vortice è $2\pi$ lungo ogni curva chiusa semplice antioraria che circonda l'origine e $0$ lungo ogni curva chiusa semplice che non la circonda. Conferma numerica per (c) e (d): $0$ e $6{,}2832$. In particolare il campo non è conservativo in $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$.