Esercizio - continuità, derivabilità e differenziabilità con un parametro e Cauchy-Schwarz (appello 10 febbraio 2025)

Teoria: Derivate parziali, differenziabilità e piano tangenteLa derivata parziale f_{x_i}(x0) è la derivata di t ↦ f(x0 + t e_i); il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. In più variabili l'esistenza delle derivate parziali NON implica la continuità. f è differenziabile in x0 se f(x0 + h) = f(x0) + a·h + o(|h|); allora f è continua, ha gradiente e a = ∇f(x0) (D). Il grafico ha piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) e normale (−f_x, −f_y, 1). Teorema del differenziale totale: se le derivate parziali esistono vicino a x0 e sono continue in x0, f è differenziabile; C^1 ⇒ differenziabile ⇒ derivabile e continua, ma i viceversa sono falsi. Regole: Leibniz, catena (f∘r)' = ∇f(r)·r'.Derivate parziali, differenziabilità e piano tangente →, Funzioni di più variabili, limiti e continuitàUna funzione scalare di n variabili f : A ⊆ R^n → R ha dominio naturale (dove la formula ha senso), grafico (superficie in R^{n+1}) e insiemi di livello {f = c}. Il limite in x0 (punto di accumulazione) si definisce con ε-δ o con le successioni (Heine); per negare l'esistenza si confrontano restrizioni a curve diverse (rette, parabole), per dimostrarla si maggiora |f − L| con g(ρ) → 0 indipendente da θ (coordinate polari) o si usano i due carabinieri. f è continua in x0 se lim = f(x0). I limiti iterati non bastano.Funzioni di più variabili, limiti e continuità →, Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettorialiUna curva è una funzione continua r : [a,b] → R^m; il sostegno è la sua immagine. Limiti, continuità e derivate si fanno componente per componente. La curva è regolare se r è C^1 e r'(t) ≠ 0 ovunque: allora r'(t) è il vettore tangente e la retta tangente è r(t0) + λ r'(t0). Esempi: circonferenza, segmento, grafico (t, f(t)), curve polari (f(θ)cosθ, f(θ)sinθ) regolari se f' ≠ 0 dove f = 0, elica, cuspide (t²,t³). L'integrale di r si fa per componenti; vale ∫ r' = r(b) − r(a) e ‖∫ r‖ ≤ ∫ ‖r‖.Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali → (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz).

Testo (Tema A). Per $\alpha>0$ sia $$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{|3x+5y|^\alpha}{x^2+y^2}&(x,y)\ne(0,0)\\0&(x,y)=(0,0).\end{cases}$$ (a) Per quali $\alpha$ $f$ è continua in $\mathbb{R}^2$? (b) Per quali $\alpha$ $f$ è derivabile in $(0,0)$? Calcolare $\nabla f(0,0)$. (c) Per quali $\alpha$ $f$ è differenziabile in $(0,0)$? Variante (Tema B). $f(x,y)=\dfrac{|4x+3y|^\beta}{\sqrt{x^2+y^2}}$ per $(x,y)\neq(0,0)$, $f(0,0)=0$, $\beta>0$: stesse domande.

(Fonte: appello del 10 febbraio 2025 del corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD. Risposte ufficiali Tema A: (a) $\alpha>2$, (b) $\alpha>3$ con gradiente nullo, (c) $\alpha>3$.)

Soluzione del Tema A

(a) Continuità

Fuori dall'origine $f$ è continua (quoziente di continue con denominatore $>0$). Nell'origine, in polari $x=\rho\cos\theta$, $y=\rho\sin\theta$: $$f=\frac{\rho^\alpha|3\cos\theta+5\sin\theta|^\alpha}{\rho^2}=\rho^{\alpha-2}\,|3\cos\theta+5\sin\theta|^\alpha .$$ Per eliminare $\theta$ si usa Cauchy-Schwarz sul prodotto scalare $(3,5)\cdot(\cos\theta,\sin\theta)$: $$|3\cos\theta+5\sin\theta|\le\sqrt{3^2+5^2}\,\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=\sqrt{34},$$ quindi $0\le f\le(\sqrt{34})^\alpha\rho^{\alpha-2}$, indipendente da $\theta$.

• $\alpha>2$: l'esponente è positivo, $\rho^{\alpha-2}\to0$: $\lim f=0=f(0,0)$, continua.
• $\alpha=2$: $f(x,0)=\frac{9x^2}{x^2}=9$, mentre sulla retta $3x+5y=0$ la funzione è identicamente $0$: limiti diversi, non continua.
• $0<\alpha<2$: $f(x,0)=3^\alpha x^{\alpha-2}\to+\infty$ per $x\to0^+$: non limitata, non continua.

Risposta (a): continua in $\mathbb{R}^2$ se e solo se $\alpha>2$.

(b) Derivabilità

Rapporto incrementale rispetto a $x$ (nell'origine non valgono le formule, si usa la definizione): $$\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{|3h|^\alpha/h^2}{h}=\frac{3^\alpha|h|^\alpha}{h^3}.$$ Per $h\to0^+$: $3^\alpha h^{\alpha-3}$. Per $h\to0^-$ (con $h=-t$): $\frac{3^\alpha t^\alpha}{-t^3}=-3^\alpha t^{\alpha-3}$.

• $\alpha>3$: entrambi $\to0$, quindi $f_x(0,0)=0$.
• $\alpha=3$: i limiti destro e sinistro sono $27$ e $-27$: non esiste.
• $\alpha<3$: divergono a $\pm\infty$: non esiste. Lo stesso per $f_y$ (con $5^\alpha$). Risposta (b): derivabile in $(0,0)$ se e solo se $\alpha>3$, con $\nabla f(0,0)=(0,0)$.

(c) Differenziabilità

Condizione necessaria: $\alpha>3$ (altrimenti il gradiente non esiste). Per $\alpha>3$, con $\nabla f(0,0)=(0,0)$ l'errore relativo è $$E=\frac{f(h,k)-0-0}{\sqrt{h^2+k^2}}=\frac{|3h+5k|^\alpha}{(h^2+k^2)^{3/2}}=\rho^{\alpha-3}|3\cos\theta+5\sin\theta|^\alpha\le(\sqrt{34})^\alpha\rho^{\alpha-3}\xrightarrow{\rho\to0}0,$$ uniformemente in $\theta$. Risposta (c): differenziabile se e solo se $\alpha>3$ (in questo caso derivabilità e differenziabilità coincidono).

Variante (Tema B)

$f=\dfrac{|4x+3y|^\beta}{\rho}=\rho^{\beta-1}|4\cos\theta+3\sin\theta|^\beta\le5^\beta\rho^{\beta-1}$ (qui $\sqrt{4^2+3^2}=5$).

• (a) continua $\iff\beta>1$ (se $\beta=1$, $f=|4\cos\theta+3\sin\theta|$ dipende da $\theta$; se $\beta<1$ diverge).
• (b) $\frac{f(h,0)}{h}=\frac{4^\beta|h|^\beta}{|h|\,h}$: per $h\to0^\pm$ vale $\pm4^\beta|h|^{\beta-2}$: finito ($=0$) $\iff\beta>2$ (per $\beta=2$ i limiti sono $\pm16$). Derivabile $\iff\beta>2$, $\nabla f(0,0)=(0,0)$.
• (c) $E=\dfrac{f}{\rho}=\rho^{\beta-2}|4\cos\theta+3\sin\theta|^\beta\le5^\beta\rho^{\beta-2}\to0\iff\beta>2$: differenziabile $\iff\beta>2$.

Osservazione. Il trucco di Cauchy-Schwarz $|a\cos\theta+b\sin\theta|\le\sqrt{a^2+b^2}$ elimina l'angolo in una sola riga: è equivalente a osservare che $|3x+5y|=|(3,5)\cdot(x,y)|\le\sqrt{34}\,\rho$.

Errori tipici. Concludere la derivabilità a partire dalla sola continuità (le soglie sono diverse: $\alpha>2$ per la continuità, $\alpha>3$ per la derivabilità); dimenticare che nell'origine il rapporto incrementale ha segno diverso per $h<0$ (da cui $\alpha=3$ non va bene); usare per $f_x$ la formula valida fuori dall'origine.