Funzioni a valori vettoriali, matrice jacobiana e trasformazioni di coordinate

Finora le funzioni avevano valori numeri reali. Qui il valore è un vettore: una curva ($n = 1$), un cambio di coordinate ($n = m = 2$ o $3$), un campo di forze. La matrice jacobiana è la derivata di queste funzioni e il suo determinante spiegherà il fattore $\rho$ delle coordinate polari negli integrali (Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussianaCambiando coordinate (x,y) = T(u,v), con T diffeomorfismo C¹ tra D' e D, ∬D f(x,y)dxdy = ∬{D'} f(T(u,v)) |det DT(u,v)| dudv: il fattore |det DT| è la dilatazione locale delle aree (per le trasformazioni lineari è |det M|, dimostrato col prodotto vettoriale). Polari: x = x₀ + ρcosθ, y = y₀ + ρsinθ, dxdy = ρ dρdθ; area di un settore di corona ½(R₂² − R₁²)Δθ; disco x² + y² ≤ 2ax: ρ ≤ 2a cosθ. Coordinate ellittiche x = aρcosθ, y = bρsinθ, dxdy = abρ dρdθ (area dell'ellisse πab). Simmetrie: D simmetrico rispetto all'asse y, f dispari in x ⇒ ∬ = 0 (D), f pari ⇒ ∬ = 2∬_{x≥0}. Integrali generalizzati di f ≥ 0 continua su R²: limite su una successione invadente, indipendente dalla successione; gaussiana (D): ∬ e^{−(x²+y²)/2} = 2π, quindi ∫R e^{−x²/2}dx = √(2π).Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussiana →). Prerequisiti: gradiente e differenziabilità (Derivate parziali, differenziabilità e piano tangenteLa derivata parziale f{x_i}(x0) è la derivata di t ↦ f(x0 + t e_i); il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. In più variabili l'esistenza delle derivate parziali NON implica la continuità. f è differenziabile in x0 se f(x0 + h) = f(x0) + a·h + o(|h|); allora f è continua, ha gradiente e a = ∇f(x0) (D). Il grafico ha piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) e normale (−f_x, −f_y, 1). Teorema del differenziale totale: se le derivate parziali esistono vicino a x0 e sono continue in x0, f è differenziabile; C^1 ⇒ differenziabile ⇒ derivabile e continua, ma i viceversa sono falsi. Regole: Leibniz, catena (f∘r)' = ∇f(r)·r'.Derivate parziali, differenziabilità e piano tangente →), curve (Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettorialiUna curva è una funzione continua r : [a,b] → R^m; il sostegno è la sua immagine. Limiti, continuità e derivate si fanno componente per componente. La curva è regolare se r è C^1 e r'(t) ≠ 0 ovunque: allora r'(t) è il vettore tangente e la retta tangente è r(t0) + λ r'(t0). Esempi: circonferenza, segmento, grafico (t, f(t)), curve polari (f(θ)cosθ, f(θ)sinθ) regolari se f' ≠ 0 dove f = 0, elica, cuspide (t²,t³). L'integrale di r si fa per componenti; vale ∫ r' = r(b) − r(a) e ‖∫ r‖ ≤ ∫ ‖r‖.Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali →), prodotto di matrici (Operazioni tra matriciLe matrici m×n formano uno spazio vettoriale (somma e prodotto per scalare elemento per elemento); il prodotto righe per colonne corrisponde alla composizione di funzioni lineari, è associativo ma non commutativo; la trasposta scambia righe e colonne e (AB)^T = B^T A^T.Operazioni tra matrici →) e determinante (Proprietà del determinante, Binet e LaplaceIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace →).

1. Funzioni a valori vettoriali e limiti

Una funzione $\mathbf{f} : A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ associa a ogni $\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n)$ un vettore $$\mathbf{f}(\mathbf{x}) = \big(f_1(\mathbf{x}), \dots, f_m(\mathbf{x})\big),$$ dove le $f_i : A \to \mathbb{R}$ sono le componenti scalari.

Esempio. $\mathbf{f}(u,v) = (uv,\ u + v,\ u - v)$ va da $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^3$: $n = 2$, $m = 3$, con $f_1 = uv$, $f_2 = u + v$, $f_3 = u - v$.

Definizione (limite). Se $\mathbf{x}_0$ è punto di accumulazione di $A$ e $\mathbf{L} \in \mathbb{R}^m$, $$\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0}\mathbf{f}(\mathbf{x}) = \mathbf{L} \iff \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0}\|\mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{L}\| = 0.$$

Proposizione (limite per componenti). $\mathbf{f} \to \mathbf{L}$ se e solo se $f_i(\mathbf{x}) \to L_i$ per ogni $i = 1, \dots, m$. In particolare $\mathbf{f}$ è continua se e solo se lo sono tutte le componenti.

Perché. Per ogni $i$ vale $|f_i - L_i| \le \|\mathbf{f} - \mathbf{L}\| \le |f_1 - L_1| + \dots + |f_m - L_m|$: se la norma tende a $0$ ci tende ogni componente, e viceversa, se tutte le componenti tendono a $0$ ci tende la somma.

2. Differenziabilità e matrice jacobiana

In una variabile $f$ è derivabile in $x_0$ se $f(x_0 + h) - f(x_0) = f'(x_0)h + o(h)$: la derivata è il coefficiente della migliore approssimazione lineare. In più variabili lo stesso, con una matrice al posto del numero.

Definizione (differenziabilità). $\mathbf{f} : A \to \mathbb{R}^m$, $A \subseteq \mathbb{R}^n$ aperto, è differenziabile in $\mathbf{x}_0$ se ogni componente $f_i$ è differenziabile in $\mathbf{x}_0$, cioè $$f_i(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) - f_i(\mathbf{x}_0) = \nabla f_i(\mathbf{x}_0)\cdot\mathbf{h} + o(\|\mathbf{h}\|), \qquad \mathbf{h} \to \mathbf{0}, \quad i = 1, \dots, m.$$

Definizione (matrice jacobiana). La matrice jacobiana di $\mathbf{f}$ in $\mathbf{x}_0$ è la matrice $m \times n$ ($m$ righe, $n$ colonne) $$D\mathbf{f}(\mathbf{x}_0) = J_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}_0) = \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\mathbf{x}_0)\right)_{\substack{i = 1,\dots,m \\ j = 1,\dots,n}} = \begin{pmatrix} \nabla f_1(\mathbf{x}_0)^T \\ \vdots \\ \nabla f_m(\mathbf{x}_0)^T\end{pmatrix}.$$ La riga $i$ è il gradiente della componente $f_i$; la colonna $j$ contiene le derivate di tutte le componenti rispetto a $x_j$.

Con questa matrice le $m$ condizioni di differenziabilità si scrivono in una sola: $$\mathbf{f}(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) - \mathbf{f}(\mathbf{x}_0) = D\mathbf{f}(\mathbf{x}_0)\,\mathbf{h} + o(\|\mathbf{h}\|).$$ Le dimensioni tornano: a sinistra un vettore di $\mathbb{R}^m$; a destra una matrice $m \times n$ per un vettore di $\mathbb{R}^n$ dà un vettore di $\mathbb{R}^m$. La riga $i$ del prodotto è $\sum_j \frac{\partial f_i}{\partial x_j}h_j = \nabla f_i\cdot\mathbf{h}$.

Corollario (differenziale totale). Se $A$ è aperto e tutte le componenti sono di classe $C^1(A)$, allora $\mathbf{f}$ è differenziabile in ogni punto di $A$ (infatti ogni $f_i \in C^1$ è differenziabile, Derivate parziali, differenziabilità e piano tangenteLa derivata parziale f_{x_i}(x0) è la derivata di t ↦ f(x0 + t e_i); il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. In più variabili l'esistenza delle derivate parziali NON implica la continuità. f è differenziabile in x0 se f(x0 + h) = f(x0) + a·h + o(|h|); allora f è continua, ha gradiente e a = ∇f(x0) (D). Il grafico ha piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) e normale (−f_x, −f_y, 1). Teorema del differenziale totale: se le derivate parziali esistono vicino a x0 e sono continue in x0, f è differenziabile; C^1 ⇒ differenziabile ⇒ derivabile e continua, ma i viceversa sono falsi. Regole: Leibniz, catena (f∘r)' = ∇f(r)·r'.Derivate parziali, differenziabilità e piano tangente →).

Casi particolari.

1. $m = 1$ (funzione scalare). $Df = \nabla f^T$: la jacobiana è la riga $1 \times n$ del gradiente.
2. $n = 1$ (curva). $\mathbf{f} = \mathbf{r}(t)$: $D\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}'(t)$ è la colonna $m \times 1$ del vettore tangente.
3. Funzione affine $\mathbf{f}(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + \mathbf{b}$, $A$ matrice $m \times n$: poiché $f_i = \sum_j a_{ij}x_j + b_i$, si ha $\partial f_i/\partial x_k = a_{ik}$ e quindi $D\mathbf{f}(\mathbf{x}_0) = A$ in ogni punto.

Esempio. Per $\mathbf{f}(u,v) = (uv,\ u + v,\ u - v)$: $$D\mathbf{f}(u,v) = \begin{pmatrix} v & u \\ 1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix} \quad (3 \times 2), \qquad D\mathbf{f}(1,2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}.$$ Vale $\mathbf{f}(1,2) = (2, 3, -1)$ e, per un piccolo spostamento $\mathbf{h} = (0{,}1;\ -0{,}1)$, l'approssimazione lineare è $(2,3,-1) + D\mathbf{f}(1,2)\mathbf{h} = (2,3,-1) + (0{,}1;\ 0;\ 0{,}2) = (2{,}1;\ 3;\ -0{,}8)$, e il valore esatto $\mathbf{f}(1{,}1;\ 1{,}9) = (2{,}09;\ 3;\ -0{,}8)$ differisce di $0{,}01$.

3. Trasformazioni di coordinate

Una funzione $\mathbf{f} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ (stessa dimensione) si interpreta come un cambio di coordinate: le variabili di partenza sono le "nuove coordinate", i valori sono le coordinate cartesiane. La jacobiana è quadrata e se ne calcola il determinante.

3.1 Coordinate polari nel piano

$\mathbf{f}(\rho, \theta) = (x_0 + \rho\cos\theta,\ y_0 + \rho\sin\theta)$ con $\rho \ge 0$ (distanza dal polo $(x_0,y_0)$) e $\theta \in [0, 2\pi)$ (angolo con l'asse $x$). Per brevità $(x_0,y_0) = (0,0)$: $$D\mathbf{f}(\rho,\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\rho\sin\theta \\ \sin\theta & \rho\cos\theta\end{pmatrix}, \qquad \det D\mathbf{f} = \rho\cos^2\theta + \rho\sin^2\theta = \rho.$$

3.2 Coordinate cilindriche

$\mathbf{f}(\rho,\theta,t) = (\rho\cos\theta,\ \rho\sin\theta,\ t)$ con $\rho \ge 0$, $\theta \in [0,2\pi)$, $t \in \mathbb{R}$ (la quota è $z = t$): $$D\mathbf{f} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\rho\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \rho\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad \det D\mathbf{f} = 1\cdot\rho = \rho$$ (sviluppando secondo la terza riga).

3.3 Coordinate sferiche

$\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \ge 0$ è la distanza dall'origine, $\varphi \in [0,\pi]$ la colatitudine (angolo con il semiasse $z$ positivo), $\theta \in [0,2\pi)$ la longitudine (come in polari nel piano $xy$). La proiezione sul piano $xy$ ha lunghezza $\rho\sin\varphi$ e la quota è $\rho\cos\varphi$: $$\begin{cases} x = \rho\sin\varphi\cos\theta \\ y = \rho\sin\varphi\sin\theta \\ z = \rho\cos\varphi\end{cases}$$ La jacobiana rispetto a $(\rho,\varphi,\theta)$ è $$D\mathbf{f} = \begin{pmatrix} \sin\varphi\cos\theta & \rho\cos\varphi\cos\theta & -\rho\sin\varphi\sin\theta \\ \sin\varphi\sin\theta & \rho\cos\varphi\sin\theta & \rho\sin\varphi\cos\theta \\ \cos\varphi & -\rho\sin\varphi & 0\end{pmatrix}.$$ Sviluppando il determinante secondo la terza riga: $$\det D\mathbf{f} = \cos\varphi\cdot\underbrace{\rho^2\cos\varphi\sin\varphi}_{\text{minore}} + \rho\sin\varphi\cdot\underbrace{\rho\sin^2\varphi}_{\text{minore}} = \rho^2\sin\varphi\,(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi) = \rho^2\sin\varphi.$$ (Il primo minore è $\rho^2\cos\varphi\sin\varphi\,(\cos^2\theta + \sin^2\theta)$; il secondo è $\rho\sin^2\varphi\,(\cos^2\theta + \sin^2\theta)$; l'uso di $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ li semplifica.) Poiché $\varphi \in [0,\pi]$, $\sin\varphi \ge 0$: il determinante è $\ge 0$.

3.4 Significato del determinante

Se $\mathbf{f}(\mathbf{u}) = M\mathbf{u}$ è lineare ($n = 2$) e $P$ è il parallelogramma generato da $\mathbf{z}, \mathbf{w}$, la sua immagine è il parallelogramma generato da $M\mathbf{z}, M\mathbf{w}$. L'area di un parallelogramma è il modulo della terza componente del prodotto vettoriale (Prodotto vettoriale e prodotto mistoIl prodotto vettoriale v × w di due vettori di R³ è ortogonale a entrambi, ha norma uguale all'area del parallelogramma che formano e verso dato dalla regola della mano destra; si calcola con un determinante simbolico. Il prodotto misto u · (v × w) = det(u, v, w) è il volume (con segno) del parallelepipedo. Applicazioni: normale a un piano per tre punti, direzione di una retta intersezione di due piani, aree, volumi, distanza tra rette sghembe.Prodotto vettoriale e prodotto misto →): una verifica diretta dà $(M\mathbf{z}\times M\mathbf{w})_3 = \det M\cdot(\mathbf{z}\times\mathbf{w})_3$, quindi $$|\mathbf{f}(P)| = |\det M|\cdot|P|.$$ $|\det M|$ è il fattore di cui la trasformazione moltiplica le aree (i volumi per $n = 3$). Per una trasformazione non lineare $\mathbf{f} \in C^1$ la si approssima vicino a un punto con la sua parte affine, $\mathbf{f}(\mathbf{u}_0) + D\mathbf{f}(\mathbf{u}_0)(\mathbf{u} - \mathbf{u}_0)$: il fattore locale di dilatazione delle aree è $|\det D\mathbf{f}(\mathbf{u}_0)|$. È proprio il fattore che comparirà nella formula del cambiamento di variabili negli integrali. Per le polari: un rettangolino $d\rho\,d\theta$ nel piano $(\rho,\theta)$ diventa un settore di area $\approx \rho\,d\rho\,d\theta$.

Inversa. Se $\mathbf{f}$ è una trasformazione invertibile con inversa differenziabile, derivando $\mathbf{f}^{-1}(\mathbf{f}(\mathbf{u})) = \mathbf{u}$ con la regola della catena (paragrafo successivo) si ottiene $D\mathbf{f}^{-1}(\mathbf{x})\,D\mathbf{f}(\mathbf{u}) = I$, quindi $$\det D\mathbf{f}^{-1}(\mathbf{x}) = \frac{1}{\det D\mathbf{f}(\mathbf{u})}, \qquad \mathbf{x} = \mathbf{f}(\mathbf{u}).$$ Una trasformazione con $\det D\mathbf{f} \ne 0$ è, localmente, invertibile (con inversa $C^1$); dove $\det D\mathbf{f} = 0$ può non esserlo (per le polari, nell'origine $\rho = 0$ ogni $\theta$ dà lo stesso punto).

4. Derivata delle funzioni composte

Teorema (regola della catena). Siano $\mathbf{f} : A \subseteq \mathbb{R}^n \to B \subseteq \mathbb{R}^m$ differenziabile in $\mathbf{x}_0$ e $\mathbf{g} : B \to \mathbb{R}^k$ differenziabile in $\mathbf{f}(\mathbf{x}_0)$. Allora $\mathbf{g}\circ\mathbf{f}$ è differenziabile in $\mathbf{x}_0$ e $$D(\mathbf{g}\circ\mathbf{f})(\mathbf{x}_0) = D\mathbf{g}\big(\mathbf{f}(\mathbf{x}_0)\big)\cdot D\mathbf{f}(\mathbf{x}_0).$$

Il prodotto è fra una matrice $k \times m$ e una $m \times n$, e dà una matrice $k \times n$, che è proprio la dimensione di $D(\mathbf{g}\circ\mathbf{f})$. In coordinate, per $i = 1,\dots,k$ e $j = 1,\dots,n$: $$\frac{\partial(\mathbf{g}\circ\mathbf{f})_i}{\partial x_j} = \sum_{l=1}^m \frac{\partial g_i}{\partial y_l}\big(\mathbf{f}(\mathbf{x})\big)\,\frac{\partial f_l}{\partial x_j}(\mathbf{x}).$$ (La dimostrazione completa non è richiesta: l'idea è comporre le due approssimazioni lineari, $\mathbf{f}(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) \approx \mathbf{f}(\mathbf{x}_0) + D\mathbf{f}\,\mathbf{h}$ e $\mathbf{g}(\mathbf{y}_0 + \mathbf{k}) \approx \mathbf{g}(\mathbf{y}_0) + D\mathbf{g}\,\mathbf{k}$.)

Casi particolari.

• $n = m = k = 1$: $(g\circ f)'(x) = g'(f(x))f'(x)$, la regola di Analisi 1 (Regole di derivazioneDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione →).
• $n = 1$, $k = 1$ (campo scalare lungo una curva $\mathbf{r}(t)$): $\frac{d}{dt}g(\mathbf{r}(t)) = \nabla g(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)$.
• $m = 1$, $k = 1$ ($g$ funzione di una variabile composta con un campo scalare $f$): $\nabla(g\circ f) = g'(f)\,\nabla f$.
• $f$ = coordinate polari, $\tilde g(\rho,\theta) = g(\rho\cos\theta,\ \rho\sin\theta)$: con $D\tilde g = (g_x\ \ g_y)\begin{pmatrix}\cos\theta & -\rho\sin\theta \\ \sin\theta & \rho\cos\theta\end{pmatrix}$, $$\frac{\partial\tilde g}{\partial\rho} = g_x\cos\theta + g_y\sin\theta, \qquad \frac{\partial\tilde g}{\partial\theta} = \rho\,(g_y\cos\theta - g_x\sin\theta).$$ (Le derivate $g_x$, $g_y$ sono calcolate nel punto $(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)$.)

Esempio (numerico). Con $\mathbf{f}(u,v) = (uv,\ u + v,\ u - v)$ e $\mathbf{g}(x,y,z) = (x + yz,\ x^2 - z)$ ($\mathbf{g} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$), calcoliamo $D(\mathbf{g}\circ\mathbf{f})(1,2)$. Si ha $\mathbf{f}(1,2) = (2,3,-1)$, $$D\mathbf{g}(x,y,z) = \begin{pmatrix} 1 & z & y \\ 2x & 0 & -1\end{pmatrix}, \qquad D\mathbf{g}(2,3,-1) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & -1\end{pmatrix},$$ e quindi $$D(\mathbf{g}\circ\mathbf{f})(1,2) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 7 & 5\end{pmatrix}.$$ (Controllo: $\mathbf{g}\circ\mathbf{f} = (uv + (u+v)(u-v),\ u^2v^2 - u + v)$ e le sue derivate in $(1,2)$ sono: $\partial_u(uv + u^2 - v^2) = v + 2u = 4$, $\partial_v(uv + u^2 - v^2) = u - 2v = -3$, $\partial_u(u^2v^2 - u + v) = 2uv^2 - 1 = 7$, $\partial_v(u^2v^2 - u + v) = 2u^2v + 1 = 5$ ✓.)

Esempio (coordinate polari). $g(x,y) = x^2 + xy$ ha $g_x = 2x + y$, $g_y = x$. In polari, $\frac{\partial\tilde g}{\partial\rho} = (2\rho\cos\theta + \rho\sin\theta)\cos\theta + \rho\cos\theta\sin\theta = 2\rho\cos^2\theta + 2\rho\sin\theta\cos\theta$, che coincide con la derivata diretta di $\tilde g = \rho^2\cos^2\theta + \rho^2\sin\theta\cos\theta$ rispetto a $\rho$.

5. Errori da evitare

• Scambiare righe e colonne: la jacobiana ha $m$ righe (componenti) e $n$ colonne (variabili).
• Ordine nel prodotto della catena: $D\mathbf{g}\cdot D\mathbf{f}$, non il contrario (le dimensioni lo impongono).
• Dimenticare di valutare $D\mathbf{g}$ in $\mathbf{f}(\mathbf{x}_0)$ e non in $\mathbf{x}_0$.
• Colatitudine e latitudine: in sferiche $\varphi$ si misura dall'asse $z$ (colatitudine), quindi il fattore è $\sin\varphi$; con la latitudine sarebbe $\cos$.

Esercizi svolti: Esercizio - Jacobiana, composizione di funzioni e coordinate polari (lezione 17) e Esercizio - Trasformazione quadratica, determinante jacobiano e inversa (lezione 19). La jacobiana serve in Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussianaCambiando coordinate (x,y) = T(u,v), con T diffeomorfismo C¹ tra D' e D, ∬D f(x,y)dxdy = ∬{D'} f(T(u,v)) |det DT(u,v)| dudv: il fattore |det DT| è la dilatazione locale delle aree (per le trasformazioni lineari è |det M|, dimostrato col prodotto vettoriale). Polari: x = x₀ + ρcosθ, y = y₀ + ρsinθ, dxdy = ρ dρdθ; area di un settore di corona ½(R₂² − R₁²)Δθ; disco x² + y² ≤ 2ax: ρ ≤ 2a cosθ. Coordinate ellittiche x = aρcosθ, y = bρsinθ, dxdy = abρ dρdθ (area dell'ellisse πab). Simmetrie: D simmetrico rispetto all'asse y, f dispari in x ⇒ ∬ = 0 (D), f pari ⇒ ∬ = 2∬_{x≥0}. Integrali generalizzati di f ≥ 0 continua su R²: limite su una successione invadente, indipendente dalla successione; gaussiana (D): ∬ e^{−(x²+y²)/2} = 2π, quindi ∫_R e^{−x²/2}dx = √(2π).Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussiana → e in Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazioneL'integrale triplo ∭_E f si definisce con somme di Cauchy-Riemann su parallelepipedi; per f = 1 è il volume, per f = densità la massa; baricentro e momenti d'inerzia come in dimensione 2. Riduzione per fili (E = {(x,y) ∈ D, h₁ ≤ z ≤ h₂}: ∭ = ∬D(∫{h₁}^{h₂} f dz)dxdy) e per strati (E = {a ≤ z ≤ b, (x,y) ∈ E_z}: ∭ = ∫a^b(∬{E_z} f dxdy)dz). Cambiamento di variabili con |det DT|; coordinate cilindriche (x,y,z) = (ρcosθ, ρsinθ, z), dxdydz = ρ dρdθdz; sferiche (ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ), φ ∈ [0,π] colatitudine, dxdydz = ρ²sinφ dρdφdθ; ellissoide di semiassi a,b,c ha volume (4/3)πabc. Solidi di rotazione: Pappo-Guldino (D), |R(A)| = θ̄·x_B·|A| (area di A per lunghezza dell'arco percorso dal baricentro).Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazione →.

Domande d'esame

1. Definire la matrice jacobiana di una funzione $\mathbf{f} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ e la differenziabilità. Che cosa diventa per $m = 1$ e per $n = 1$? Traccia. Definizione per componenti, matrice $m \times n$ con righe $\nabla f_i^T$; $\mathbf{f}(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) - \mathbf{f}(\mathbf{x}_0) = D\mathbf{f}\,\mathbf{h} + o(\|\mathbf{h}\|)$; riga del gradiente, colonna del vettore tangente. Condizione sufficiente: componenti $C^1$.
2. Calcolare la matrice jacobiana e il determinante delle coordinate polari e di quelle sferiche. Traccia. $\det = \rho$ e $\rho^2\sin\varphi$ (calcoli del paragrafo 3).
3. Enunciare la regola della catena per funzioni vettoriali e verificare le dimensioni delle matrici. Traccia. $D(\mathbf{g}\circ\mathbf{f}) = D\mathbf{g}(\mathbf{f})\cdot D\mathbf{f}$: $(k\times n) = (k\times m)(m\times n)$.