Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti

Prerequisiti: Problema di Cauchy per sistemi di equazioni differenzialiUn sistema in forma normale è y' = f(t, y) con y a valori in Rⁿ; il problema di Cauchy aggiunge y(t₀) = y₀. Ogni equazione di ordine n si riduce a un sistema del primo ordine. Peano: f continua ⇒ esiste almeno una soluzione locale (non unica in generale: y' = y^(2/3)). Cauchy-Lipschitz: f e ∂f/∂y continue (o lipschitziana in y) ⇒ esistenza e unicità locali, e una soluzione massimale. Può esplodere in tempo finito (y' = y²); se |f(t,y)| ≤ H + K|y| su una striscia [a,b] × Rⁿ la soluzione è globale.Problema di Cauchy per sistemi di equazioni differenziali → (teorema di esistenza e unicità globale), Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneoPer y'' + a1 y' + a0 y = 0 con a0, a1 costanti si cercano soluzioni e^(λt): funzionano se λ è radice del polinomio caratteristico p(λ) = λ² + a1 λ + a0. Δ > 0 (radici λ1 ≠ λ2): y = c1 e^(λ1 t) + c2 e^(λ2 t). Δ = 0 (radice doppia λ): y = (c1 + c2 t) e^(λt). Δ < 0 (radici α ± iω): y = e^(αt)(c1 cos ωt + c2 sin ωt). Lo stesso metodo vale per ogni ordine.Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo → e Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completaPer y'' + a1 y' + a0 y = b(t) a coefficienti costanti l'integrale generale è y0 + yp: y0 dal polinomio caratteristico, yp con il metodo di somiglianza quando b(t) = Qm(t) e^(αt) cos(ωt) (o sin). Si pone λ̄ = α + iω: se p(λ̄) ≠ 0, yp = e^(αt)[Pm(t) cos ωt + Rm(t) sin ωt] con polinomi di grado m da determinare; se λ̄ è radice semplice si moltiplica per t, se è doppia per t² (risonanza). Se b = b1 + b2 si sommano le soluzioni particolari (principio di sovrapposizione).Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completa → (Analisi 1: stessi metodi per la singola equazione), Autovalori e autovettoriUn autovettore è un vettore non nullo che una funzione lineare manda in un suo multiplo; si trovano gli autovalori come radici del polinomio caratteristico det(A − λI) e gli autovettori come nucleo di A − λI. Matrici simili hanno gli stessi autovalori.Autovalori e autovettori →, Spazi vettorialiUno spazio vettoriale su un campo K è un insieme con una somma di vettori e un prodotto per scalari che rispettano 7 proprietà. Esempi fondamentali: K^n (somma componente per componente), le funzioni da R in R, i polinomi.Spazi vettoriali → e DimensioneTutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.Dimensione → (Algebra Lineare). Per la via degli autovettori/esponenziale di matrice v. Esponenziale di una matrice e sistemi differenziali lineariIl sistema di equazioni differenziali y' = Ay ha soluzione y(x) = e^{Ax} ȳ. L'esponenziale di una matrice si definisce con la serie di e^x; per una matrice diagonalizzabile A = S D S⁻¹ vale e^{Ax} = S e^{Dx} S⁻¹, e e^{Dx} ha sulla diagonale gli esponenziali e^{λx} degli autovalori.Esponenziale di una matrice e sistemi differenziali lineari →.

Sistemi lineari: esistenza e unicità globale

Definizione. Un sistema lineare del primo ordine è $$\mathbf{y}'(t)=A(t)\mathbf{y}(t)+\mathbf{g}(t),\tag{S}$$ con $A(t)=(a_{ij}(t))$ matrice $n\times n$ a coefficienti continui su un intervallo $I$ (anche illimitato) e $\mathbf{g}\in C(I;\mathbb{R}^n)$ termine noto. Si dice omogeneo se $\mathbf{g}\equiv\mathbf{0}$.

In componenti: $y_i'=a_{i1}y_1+\dots+a_{in}y_n+g_i$. Per $n=1$ è l'equazione scalare $y'=a(t)y+g(t)$.

Teorema (D, risolubilità del problema di Cauchy). Per ogni $t_0\in I$ e $\mathbf{y}_0\in\mathbb{R}^n$ il problema $\mathbf{y}'=A\mathbf{y}+\mathbf{g}$, $\mathbf{y}(t_0)=\mathbf{y}_0$ ha una e una sola soluzione, definita in tutto $I$.

Dimostrazione. Si riconduce il caso al teorema di esistenza e unicità globale (Problema di Cauchy per sistemi di equazioni differenzialiUn sistema in forma normale è y' = f(t, y) con y a valori in Rⁿ; il problema di Cauchy aggiunge y(t₀) = y₀. Ogni equazione di ordine n si riduce a un sistema del primo ordine. Peano: f continua ⇒ esiste almeno una soluzione locale (non unica in generale: y' = y^(2/3)). Cauchy-Lipschitz: f e ∂f/∂y continue (o lipschitziana in y) ⇒ esistenza e unicità locali, e una soluzione massimale. Può esplodere in tempo finito (y' = y²); se |f(t,y)| ≤ H + K|y| su una striscia [a,b] × Rⁿ la soluzione è globale.Problema di Cauchy per sistemi di equazioni differenziali →) con $\mathbf{f}(t,\mathbf{x})=A(t)\mathbf{x}+\mathbf{g}(t)$. Questo campo è continuo e la sua jacobiana rispetto a $\mathbf{x}$ è $A(t)$ (infatti $\partial f_i/\partial x_j=a_{ij}(t)$), continua. Resta la crescita sublineare. Sia $[a,b]\subseteq I$ compatto e, per Weierstrass, $K=\max_{i,j}\max_{t\in[a,b]}|a_{ij}(t)|$ e $G=\max_{[a,b]}\|\mathbf{g}\|$. Allora $\|A(t)\mathbf{x}\|\le nK\|\mathbf{x}\|$ e quindi $$\|\mathbf{f}(t,\mathbf{x})\|\le nK\|\mathbf{x}\|+G\qquad\forall(t,\mathbf{x})\in[a,b]\times\mathbb{R}^n,$$ che è la condizione $H+K'\|\mathbf{x}\|$ con $H=G$, $K'=nK$. Il teorema globale dà la soluzione su $[a,b]$; per l'arbitrarietà di $[a,b]$ essa è definita su tutto $I$. $\blacksquare$

Corollario (D, equazioni scalari del secondo ordine). Se $b,c,d\in C(I)$, per ogni $t_0\in I$ e $y_0,v_0\in\mathbb{R}$ il problema $y''+b(t)y'+c(t)y=d(t)$, $y(t_0)=y_0$, $y'(t_0)=v_0$ ha un'unica soluzione definita su tutto $I$.

Dimostrazione. Con $v=y'$ l'equazione è equivalente al sistema $\begin{cases}y'=v\\v'=-b(t)v-c(t)y+d(t)\end{cases}$, cioè $\mathbf{y}'=A\mathbf{y}+\mathbf{g}$ con $A=\begin{pmatrix}0&1\\-c&-b\end{pmatrix}$ e $\mathbf{g}=(0,d)$, che soddisfa le ipotesi del teorema con dato $(y_0,v_0)$. La prima componente è la soluzione cercata. $\blacksquare$

Struttura dell'integrale generale

Il sistema omogeneo

Sia $V=\{\mathbf{y}:I\to\mathbb{R}^n\text{ continue}\}$: è uno spazio vettoriale (somma di funzioni, prodotto per scalare) di dimensione infinita. Le funzioni $\mathbf{y}_1,\dots,\mathbf{y}_m$ sono linearmente dipendenti se esistono $\alpha_i$ non tutti nulli con $\sum\alpha_i\mathbf{y}_i(t)=\mathbf{0}$ per ogni $t\in I$. Per $m=2$ significa che una è multipla dell'altra: $\mathbf{y}_1=c\,\mathbf{y}_2$.

Proposizione (D, principio di sovrapposizione per l'omogeneo). Se $\mathbf{y}_1,\dots,\mathbf{y}_m$ risolvono $\mathbf{y}'=A\mathbf{y}$, allora anche ogni combinazione $\mathbf{v}=\sum_i\alpha_i\mathbf{y}_i$ la risolve: le soluzioni formano un sottospazio vettoriale di $V$.

Dimostrazione. $\mathbf{v}'=\sum\alpha_i\mathbf{y}_i'=\sum\alpha_iA\mathbf{y}_i=A\sum\alpha_i\mathbf{y}_i=A\mathbf{v}$. $\blacksquare$

Teorema (D, struttura dell'integrale generale dell'omogeneo). L'insieme delle soluzioni di $\mathbf{y}'=A(t)\mathbf{y}$ è uno spazio vettoriale di dimensione $n$: esistono $n$ soluzioni linearmente indipendenti $\mathbf{y}_1,\dots,\mathbf{y}_n$ e ogni soluzione è $\sum\alpha_i\mathbf{y}_i$ con $\alpha_i\in\mathbb{R}$.

Dimostrazione. (i) Esistenza di $n$ soluzioni indipendenti. Fissato $t_0\in I$, sia $\mathbf{y}_i$ la soluzione del problema di Cauchy con dato $\mathbf{y}_i(t_0)=\mathbf{e}_i$ ($i$-esimo vettore della base canonica); esiste su tutto $I$ per il teorema. Se $\sum\alpha_i\mathbf{y}_i(t)=\mathbf{0}$ per ogni $t$, in $t=t_0$ si ha $\sum\alpha_i\mathbf{e}_i=\mathbf{0}$, e quindi tutti gli $\alpha_i=0$: sono indipendenti. (ii) Ogni soluzione è combinazione. Sia $\bar{\mathbf{y}}$ una soluzione. Si scrive $\bar{\mathbf{y}}(t_0)=\sum\lambda_i\mathbf{e}_i$ e si pone $\mathbf{z}=\bar{\mathbf{y}}-\sum\lambda_i\mathbf{y}_i$. Per la proposizione precedente $\mathbf{z}$ risolve l'omogeneo e $\mathbf{z}(t_0)=\bar{\mathbf{y}}(t_0)-\sum\lambda_i\mathbf{e}_i=\mathbf{0}$. Anche la funzione nulla risolve lo stesso problema di Cauchy; per l'unicità $\mathbf{z}\equiv\mathbf{0}$, cioè $\bar{\mathbf{y}}=\sum\lambda_i\mathbf{y}_i$. $\blacksquare$

Esempio ($n=1$). $y'=a(t)y$: lo spazio è di dimensione $1$ e l'integrale generale è $y=k\exp\left(\int_{t_0}^ta(s)\,ds\right)$.

Il sistema completo

Proposizione (D, sovrapposizione per il non omogeneo). Se $\tilde{\mathbf{y}}$ è una soluzione particolare di $\mathbf{y}'=A\mathbf{y}+\mathbf{g}$, l'integrale generale è $\mathbf{y}=\mathbf{z}+\tilde{\mathbf{y}}$, con $\mathbf{z}$ che descrive l'integrale generale dell'omogeneo associato $\mathbf{z}'=A\mathbf{z}$.

Dimostrazione. Se $\mathbf{z}'=A\mathbf{z}$, allora $(\mathbf{z}+\tilde{\mathbf{y}})'=A\mathbf{z}+A\tilde{\mathbf{y}}+\mathbf{g}=A(\mathbf{z}+\tilde{\mathbf{y}})+\mathbf{g}$. Viceversa, per una soluzione $\mathbf{y}^*$ qualsiasi, $(\mathbf{y}^*-\tilde{\mathbf{y}})'=A\mathbf{y}^*+\mathbf{g}-A\tilde{\mathbf{y}}-\mathbf{g}=A(\mathbf{y}^*-\tilde{\mathbf{y}})$: la differenza risolve l'omogeneo. $\blacksquare$

Se il termine noto è somma $\mathbf{g}=\mathbf{g}_1+\mathbf{g}_2$ e $\tilde{\mathbf{y}}_i$ risolve il sistema con $\mathbf{g}_i$, allora $\tilde{\mathbf{y}}_1+\tilde{\mathbf{y}}_2$ risolve quello con $\mathbf{g}$ (stessa verifica): serve nei termini noti composti.

Equazioni scalari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti

Per $y''+by'+cy=0$ ($b,c\in\mathbb{R}$ costanti) si cerca $y=e^{\lambda t}$: $y''+by'+cy=(\lambda^2+b\lambda+c)e^{\lambda t}$, e questo è nullo se e solo se $\lambda$ è radice dell'equazione caratteristica $\lambda^2+b\lambda+c=0$. Lo spazio delle soluzioni ha dimensione $2$ (per il corollario e il teorema di struttura): bastano due soluzioni indipendenti.

Teorema (D, integrale generale). Siano $\lambda_{1,2}$ le radici di $\lambda^2+b\lambda+c=0$.

1. Se $b^2>4c$ (radici reali distinte): $y=\alpha e^{\lambda_1t}+\beta e^{\lambda_2t}$.
2. Se $b^2=4c$ (radice doppia $\lambda=-b/2$): $y=(\alpha+\beta t)e^{\lambda t}$.
3. Se $b^2<4c$ (radici complesse $\mu\pm i\omega$, $\mu=-b/2$, $\omega=\sqrt{4c-b^2}/2$): $y=e^{\mu t}(\alpha\cos\omega t+\beta\sin\omega t)$.

Dimostrazione. Caso 1: $e^{\lambda_1t}$ e $e^{\lambda_2t}$ sono soluzioni; non sono proporzionali (il rapporto $e^{(\lambda_1-\lambda_2)t}$ non è costante se $\lambda_1\ne\lambda_2$), quindi indipendenti. Caso 2: oltre a $e^{\lambda t}$ è soluzione $te^{\lambda t}$: con $\lambda=-b/2$, $(te^{\lambda t})'=(1+\lambda t)e^{\lambda t}$ e $(te^{\lambda t})''=(2\lambda+\lambda^2t)e^{\lambda t}$, e sostituendo si ottiene $[(\lambda^2+b\lambda+c)t+(2\lambda+b)]e^{\lambda t}=0$ perché $\lambda$ è radice e $2\lambda+b=0$. Il rapporto $te^{\lambda t}/e^{\lambda t}=t$ non è costante: indipendenti. Caso 3: si verifica per sostituzione che $e^{\mu t}\cos\omega t$ ed $e^{\mu t}\sin\omega t$ sono soluzioni (parte reale e immaginaria della soluzione complessa $e^{(\mu+i\omega)t}$); il loro rapporto $\cot\omega t$ non è costante. $\blacksquare$

Esempio. $y''-y'-12y=0$: radici $\frac{1\pm7}2=4,-3$, $y=\alpha e^{4t}+\beta e^{-3t}$. $y''+4y'+5y=0$: radici $-2\pm i$, $y=e^{-2t}(\alpha\cos t+\beta\sin t)$.

L'equazione completa: il metodo di somiglianza

Per $y''+by'+cy=g(t)$ l'integrale generale è (omogenea) $+$ (una soluzione particolare). Se $g$ ha una forma particolare, la soluzione particolare $\tilde y$ si cerca "simile" a $g$ con coefficienti incogniti, moltiplicando per $t^m$ dove $m$ è la molteplicità con cui il numero associato a $g$ è radice caratteristica (risonanza se $m\ge1$):

Si sostituisce $\tilde y$ nell'equazione e si uguagliano i coefficienti (in cos e sin, nei monomi, negli esponenziali). Nel caso di somma di termini, si cerca una soluzione particolare per ciascuno e si sommano.

Esempio. $y''-2y'+2y=t+1$. Radici $1\pm i$, $y_{\text{om}}=e^t(\alpha\cos t+\beta\sin t)$. Poiché $c=2\ne0$, $\tilde y=At+B$: $-2A+2(At+B)=t+1$ dà $A=\tfrac12$, $B=1$. Quindi $y=e^t(\alpha\cos t+\beta\sin t)+\tfrac t2+1$ (sympy conferma).

Esempio (risonanza). $x''+x=-\sin t$: $\pm i$ sono radici e il termine ha $\gamma+i\omega=i$: $\tilde x=t(A\cos t+B\sin t)$. Con $z=A\cos t+B\sin t$ (che risolve $z''+z=0$) si ha $\tilde x''+\tilde x=2z'$, e $2z'=-2A\sin t+2B\cos t=-\sin t$ dà $A=\tfrac12$, $B=0$: $\tilde x=\tfrac t2\cos t$, con ampiezza crescente (illimitata).

Sistemi 2×2 a coefficienti costanti

Sia $\mathbf{y}=(u,v)$, $\mathbf{y}'=A\mathbf{y}+\mathbf{g}(t)$ con $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$ costante. Si riduce a una equazione di secondo ordine.

Caso $a_{12}=0$ (triangolare). La prima equazione $u'=a_{11}u+g_1$ è scalare e si risolve da sola (formula di Analisi 1); sostituendo $u(t)$ nella seconda, $v'=a_{22}v+a_{21}u(t)+g_2$ è ancora scalare lineare.

Caso $a_{12}\ne0$. Si deriva la prima equazione $u'=a_{11}u+a_{12}v+g_1$ e si elimina $v$: $$u''=a_{11}u'+a_{12}v'+g_1'=a_{11}u'+a_{12}(a_{21}u+a_{22}v+g_2)+g_1' .$$ Dalla prima equazione $a_{12}v=u'-a_{11}u-g_1$, quindi $a_{12}a_{22}v=a_{22}(u'-a_{11}u-g_1)$ e $$u''=(a_{11}+a_{22})u'-(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})u+g_1'-a_{22}g_1+a_{12}g_2 .$$ Riconoscendo traccia e determinante di $A$: $$\boxed{u''-(\operatorname{tr}A)\,u'+(\det A)\,u=g_1'-a_{22}g_1+a_{12}g_2}\tag{R}$$ L'equazione caratteristica $\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0$ è il polinomio caratteristico di $A$ (D): $u(t)$ si esprime con gli autovalori di $A$ (reali distinti, doppi, complessi coniugati) come nel teorema precedente. Trovata $u$, la seconda incognita si ricava senza nuove costanti da $$v=\frac{u'-a_{11}u-g_1}{a_{12}} .$$ Nel caso omogeneo ($\mathbf{g}=\mathbf{0}$) il secondo membro di (R) è nullo.

Esempio. $\begin{cases}u'=u+2v\\ v'=5u-2v\end{cases}$: $\operatorname{tr}A=-1$, $\det A=-12$, $u''+u'-12u=0$, radici $3,-4$, $u=\alpha_1e^{3t}+\alpha_2e^{-4t}$; $v=\frac{u'-u}2=\alpha_1e^{3t}-\frac52\alpha_2e^{-4t}$ (sympy dà lo stesso integrale generale a meno di ridefinire la costante).

Esempio (complessi). $\begin{cases}u'=-2u-v\\ v'=u-2v\end{cases}$: $\operatorname{tr}A=-4$, $\det A=5$, $\lambda=-2\pm i$, $u=e^{-2t}(c_1\cos t+c_2\sin t)$, $v=-u'-2u=e^{-2t}(c_1\sin t-c_2\cos t)$.

Esempio (non omogeneo). $\begin{cases}x'=x+y\\ y'=x+y+1\end{cases}$, $x(0)=0$, $y(0)=-\tfrac12$: qui $a_{11}=a_{12}=1$, $g_1=0$, $g_2=1$, $\operatorname{tr}A=2$, $\det A=0$ e (R) dà $x''-2x'=1$, risolta con somiglianza (v. Esercizio - sistemi non omogenei 2x2 e metodo di somiglianza (lezione 33)).

Via alternativa (autovettori). Se $\lambda$ è autovalore di $A$ con autovettore $\mathbf{h}$, $\mathbf{y}=e^{\lambda t}\mathbf{h}$ è soluzione ($\mathbf{y}'=\lambda e^{\lambda t}\mathbf{h}=A e^{\lambda t}\mathbf{h}$). Con due autovalori reali distinti $\mathbf{y}=\alpha e^{\lambda_1t}\mathbf{h}_1+\beta e^{\lambda_2t}\mathbf{h}_2$ (Autovalori e autovettoriUn autovettore è un vettore non nullo che una funzione lineare manda in un suo multiplo; si trovano gli autovalori come radici del polinomio caratteristico det(A − λI) e gli autovettori come nucleo di A − λI. Matrici simili hanno gli stessi autovalori.Autovalori e autovettori →); la riduzione ad una equazione scalare, però, funziona sempre, anche con autovalori doppi o complessi, ed è la strada richiesta all'esame.

Errori comuni

• Cercare una soluzione particolare "simile" senza controllare la risonanza: se $\gamma+i\omega$ è radice caratteristica serve il fattore $t$.
• Dimenticare che l'integrale generale del sistema ha due costanti (non quattro): dopo aver trovato $u(t)$ con $\alpha,\beta$, la $v$ si ricava dalla prima equazione e non ha costanti nuove.
• Imporre le condizioni iniziali sull'equazione scalare per $u$ solo con $u(0)$: servono anche $u'(0)=a_{11}u(0)+a_{12}v(0)+g_1(0)$ (oppure si impone su entrambe le componenti $u,v$ dell'integrale generale).
• Nell'equazione completa, fare il metodo di somiglianza con l'integrale generale dell'omogenea sbagliato (segno del coefficiente di $y'$).
• Scrivere $e^{\mu t}(\alpha\cos\omega t+\beta\sin\omega t)$ con $\omega$ non dimezzato: $\omega=\sqrt{4c-b^2}/2$.

Domande d'esame

1. Dimostrare che il problema di Cauchy per un sistema lineare con coefficienti continui ha una e una sola soluzione definita su tutto l'intervallo; dedurne il caso dell'equazione scalare del secondo ordine. Traccia: crescita lineare $\|\mathbf{f}\|\le nK\|\mathbf{x}\|+G$ su ogni $[a,b]$; riduzione con $v=y'$.
2. Dimostrare che le soluzioni di un sistema lineare omogeneo $n\times n$ formano uno spazio vettoriale di dimensione $n$. Che cosa cambia per il sistema non omogeneo? Traccia: sovrapposizione; $\mathbf{y}_i(t_0)=\mathbf{e}_i$; differenza nulla in $t_0$ $\Rightarrow$ nulla; soluzione particolare più omogeneo.
3. Determinare l'integrale generale di $y''+by'+cy=0$ nei tre casi. Traccia: $e^{\lambda t}$, $te^{\lambda t}$ per la radice doppia, parte reale e immaginaria; indipendenza.
4. Come si riduce un sistema $2\times2$ a coefficienti costanti ad un'equazione di ordine 2? Che equazione caratteristica si ottiene? Traccia: $w=a_{11}u+a_{12}v$, $u''-(\operatorname{tr}A)u'+(\det A)u=0$.

Esercizi svolti: Esercizio - sistema lineare con parametro e problema di Cauchy (appello 13 luglio 2026), Esercizio - integrale generale di sistemi omogenei 2x2 (lezione 32), Esercizio - sistemi non omogenei 2x2 e metodo di somiglianza (lezione 33), Esercizio - sistema forzato, risonanza e soluzioni periodiche (lezione 34), Esercizio - equazione del secondo ordine con forzante trigonometrica e sistema con autovalore doppio (Esercizi 2025-26).