Esercizio - derivate direzionali, formula del gradiente e controesempio con tutte le derivate direzionali (lezione 10)

Teoria: Derivate direzionali, formula del gradiente e curve di livelloLa derivata direzionale D_v f(x0) = lim [f(x0 + t v) − f(x0)]/t (v versore) è la pendenza di f lungo la retta per x0 con direzione v. Se f è differenziabile in x0 vale la formula del gradiente D_v f = ∇f(x0)·v (D); l'esistenza di tutte le D_v non basta (anche a f discontinua). Quindi la massima crescita è nella direzione di ∇f, con pendenza |∇f| (D), la minima in −∇f, e D_v f = 0 per v ⊥ ∇f. Il gradiente è ortogonale alle curve di livello (D): la tangente alla curva di livello in (x0,y0) è f_x(x−x0) + f_y(y−y0) = 0, a patto che ∇f ≠ 0.Derivate direzionali, formula del gradiente e curve di livello →, Derivate parziali, differenziabilità e piano tangenteLa derivata parziale f_{x_i}(x0) è la derivata di t ↦ f(x0 + t e_i); il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. In più variabili l'esistenza delle derivate parziali NON implica la continuità. f è differenziabile in x0 se f(x0 + h) = f(x0) + a·h + o(|h|); allora f è continua, ha gradiente e a = ∇f(x0) (D). Il grafico ha piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) e normale (−f_x, −f_y, 1). Teorema del differenziale totale: se le derivate parziali esistono vicino a x0 e sono continue in x0, f è differenziabile; C^1 ⇒ differenziabile ⇒ derivabile e continua, ma i viceversa sono falsi. Regole: Leibniz, catena (f∘r)' = ∇f(r)·r'.Derivate parziali, differenziabilità e piano tangente →.

Testo.

1. Sia $f(x,y)=e^{x^2y}$. Calcolare la derivata direzionale in un punto generico lungo un versore $\underline v=(a,b)$ con la definizione e con la formula del gradiente; calcolare $D_{\underline v}f(1,1)$ per $\underline v=\big(\frac{3}{5},\frac45\big)$ e per la direzione di $(1,1)$.
2. Sia $f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}$ per $(x,y)\ne(0,0)$, $f(0,0)=0$. (i) $f$ è continua in $(0,0)$? (ii) Studiare derivabilità, derivate direzionali e differenziabilità in $(0,0)$.

(Fonte: lezione 10 del corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD.)

Soluzione della parte 1

Con la definizione. Per $\underline v=(a,b)$ con $a^2+b^2=1$ la restrizione è $h(t)=e^{(x_0+ta)^2(y_0+tb)}$. Per la regola della catena e del prodotto, $$h'(t)=h(t)\,\big[2a\,(x_0+ta)(y_0+tb)+b\,(x_0+ta)^2\big],$$ e in $t=0$: $D_{\underline v}f(x_0,y_0)=e^{x_0^2y_0}\,(2a\,x_0y_0+b\,x_0^2)$.

Con la formula del gradiente. $f$ è $C^1$ (derivate parziali continue), quindi differenziabile ovunque. $f_x=2xy\,e^{x^2y}$, $f_y=x^2e^{x^2y}$, quindi $$D_{\underline v}f=\nabla f\cdot\underline v=a\cdot2xy\,e^{x^2y}+b\cdot x^2e^{x^2y},$$ lo stesso risultato, ottenuto senza derivare la composta lungo la retta.

Valori. In $(1,1)$: $\nabla f=(2e,e)$.

• $\underline v=\big(\frac35,\frac45\big)$ ha norma $\sqrt{\frac9{25}+\frac{16}{25}}=1$: $D_{\underline v}f=\frac35\cdot2e+\frac45\cdot e=\frac{10e}{5}=2e$.
• La direzione di $(1,1)$: il vettore va normalizzato, $\underline v=\frac{(1,1)}{\sqrt2}$, e $D_{\underline v}f=\frac{2e+e}{\sqrt2}=\frac{3e}{\sqrt2}$. Usare $(1,1)$ senza dividere darebbe $3e$, sbagliato di un fattore $\sqrt2$.
• La massima pendenza è $|\nabla f(1,1)|=e\sqrt5\approx6.08$, nella direzione $\frac{(2,1)}{\sqrt5}$.

Soluzione della parte 2

(i) Continuità: no. Sugli assi $f\equiv0$. Sulle rette $y=mx$ ($m\ne0$): $f(x,mx)=\dfrac{mx^3}{x^4+m^2x^2}=\dfrac{mx}{x^2+m^2}\to0$. Ma lungo le parabole $y=ax^2$ ($a\ne0$): $f(t,at^2)=\dfrac{at^4}{t^4+a^2t^4}=\dfrac{a}{1+a^2}$, costante e diversa da $0$. Per $a=1$ vale $\frac12$, per $a=-1$ vale $-\frac12$. Il limite non esiste: $f$ è discontinua in $(0,0)$ (anche se tutte le rette danno limite $0$).

(ii) Derivate. Poiché $f$ è discontinua nell'origine, non è differenziabile (la differenziabilità implica la continuità). Il gradiente: $f(x,0)=0$ e $f(0,y)=0$, quindi $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$ e $\nabla f(0,0)=(0,0)$. Derivate direzionali: per $\underline v=(a,b)$, $$\frac{f(ta,tb)-f(0,0)}{t}=\frac{1}{t}\cdot\frac{a^2b\,t^3}{a^4t^4+b^2t^2}=\frac{a^2b}{a^4t^2+b^2}\xrightarrow{t\to0}\begin{cases}\dfrac{a^2}{b}&b\ne0\\0&b=0\ (\text{se }b=0,\ a=\pm1\text{ e il numeratore è }0).\end{cases}$$ Quindi esiste la derivata direzionale in ogni direzione. La formula del gradiente darebbe $\nabla f(0,0)\cdot\underline v=0$ per ogni $\underline v$, ma $D_{\underline v}f(0,0)=\frac{a^2}{b}\ne0$ se $a,b\ne0$: la formula non vale, coerentemente col fatto che $f$ non è differenziabile.

Morale. L'esistenza di tutte le derivate direzionali in un punto non implica né la continuità né la differenziabilità. Ciò che manca è l'uniformità rispetto alla direzione: lungo le parabole $y=ax^2$ la funzione non è "vista" dalle rette.

Errori tipici. Usare un vettore non normalizzato; applicare la formula del gradiente nell'origine di $f$ della parte 2; dedurre la continuità dall'esistenza delle derivate direzionali.