Esercizio - stabilità dell'origine al variare di un parametro (lezione 35)

Teoria: Stabilità degli equilibri dei sistemi autonomi 2x2In un sistema autonomo y' = f(y) le soluzioni sono invarianti per traslazioni nel tempo (D) e le orbite nel piano delle fasi non si intersecano (D). Un equilibrio (f(P) = 0) è stabile se le soluzioni vicine restano vicine, asintoticamente stabile se inoltre convergono a P, instabile altrimenti. Per y' = Ay (2×2, det A ≠ 0) l'origine è asintoticamente stabile se e solo se entrambi gli autovalori hanno parte reale negativa, cioè tr A < 0 e det A > 0; i tipi sono nodo, sella, fuoco, centro.Stabilità degli equilibri dei sistemi autonomi 2x2 →, Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costantiUn sistema lineare y' = A(t)y + g(t) con coefficienti continui ha, per ogni dato iniziale, una e una sola soluzione, definita su tutto l'intervallo (D). Le soluzioni del sistema omogeneo formano uno spazio vettoriale di dimensione n (D); quelle del sistema completo sono una soluzione particolare più l'integrale omogeneo (D). Per y'' + by' + cy = 0 si cercano e^(λt): tre casi (D). Un sistema 2×2 a coefficienti costanti si riduce a u'' − (tr A)u' + (det A)u = g, risolta con il metodo di somiglianza.Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti →.

Testo

Sia $a\in\mathbb{R}$ e $$\begin{cases}x'=ax-y\\ y'=x-2y.\end{cases}$$ (a) Trovare i punti di equilibrio al variare di $a$. (b) Determinare per quali $a$ l'origine è asintoticamente stabile. (c) Calcolare l'integrale generale per $a=-2$.

Soluzione

La matrice è $A=\begin{pmatrix}a&-1\\1&-2\end{pmatrix}$, con $\tau=\operatorname{tr}A=a-2$ e $d=\det A=-2a+1$.

(a) Equilibri

Si risolve $A\mathbf{z}=\mathbf{0}$. Se $\det A\ne0$ c'è solo l'origine. Il determinante si annulla per $-2a+1=0$, cioè $a=\tfrac12$.

• Se $a\ne\tfrac12$: unico equilibrio $(0,0)$.
• Se $a=\tfrac12$: le due equazioni $\tfrac12x-y=0$ e $x-2y=0$ sono proporzionali, e gli equilibri formano la retta $y=\tfrac x2$ (punti $(2k,k)$).

(b) Stabilità asintotica

Per la proposizione della teoria, l'origine è asintoticamente stabile se e solo se $\tau<0$ e $d>0$: $$\tau=a-2<0\iff a<2,\qquad d=1-2a>0\iff a<\tfrac12 .$$ Entrambe valgono se e solo se $a<\tfrac12$. Verifica con il discriminante. $\Delta=\tau^2-4d=(a-2)^2-4(1-2a)=a^2+4a=a(a+4)$.

• Per $a\in(-4,0)$ ($\Delta<0$): autovalori complessi con $\operatorname{Re}\lambda=\frac{a-2}2<0$ (perché $a<2$): fuoco stabile, quindi asintoticamente stabile.
• Per $a\le-4$ o $a\ge0$ ($\Delta\ge0$): autovalori reali; entrambi negativi se e solo se prodotto $d=1-2a>0$ e somma $\tau=a-2<0$, cioè $a<\tfrac12$. Con $a\le-4$ è sempre vero; con $a\ge0$ vale per $0\le a<\tfrac12$.

Unendo: $a\in(-\infty,-4]\cup(-4,0)\cup[0,\tfrac12)=(-\infty,\tfrac12)$. Risposta: asintoticamente stabile $\iff a<\tfrac12$. (Per $a=\tfrac12$ c'è la retta di equilibri; per $a>\tfrac12$ è $d<0$: l'origine è una sella, instabile.)

(c) Integrale generale per $a=-2$

Il sistema è $x'=-2x-y$, $y'=x-2y$. Si ricava $y$ dalla prima equazione: $y=-2x-x'$, quindi $y'=-2x'-x''$. Nella seconda: $-2x'-x''=x-2(-2x-x')=5x+2x'$, cioè $$x''+4x'+5x=0 .$$ Equazione caratteristica $\lambda^2+4\lambda+5=0$, $\lambda=-2\pm i$, quindi $x=e^{-2t}(\alpha\cos t+\beta\sin t)$. Derivando, $$x'=e^{-2t}\bigl[(-2\alpha+\beta)\cos t+(-\alpha-2\beta)\sin t\bigr],$$ e $y=-2x-x'=e^{-2t}\bigl[(-2\alpha+2\alpha-\beta)\cos t+(-2\beta+\alpha+2\beta)\sin t\bigr]$: $$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=e^{-2t}\begin{pmatrix}\alpha\cos t+\beta\sin t\\ -\beta\cos t+\alpha\sin t\end{pmatrix},\qquad\alpha,\beta\in\mathbb{R}.$$ Coerente con (b): $a=-2<\tfrac12$ e $\operatorname{Re}\lambda=-2<0$, fuoco stabile.