Esercizio - interno, frontiera e chiusura di insiemi del piano (lezioni 7, 8 e 10)

Teoria: Topologia di Rn, teorema di Weierstrass e teorema degli zeriDato E ⊆ R^n, ogni punto è interno, esterno o di frontiera (partizione). E è aperto se E = interno, chiuso se il complementare è aperto (equivalentemente contiene la frontiera, o contiene i limiti delle sue successioni). Palle aperte e insiemi {f<c} con f continua sono aperti; {f≤c}, {f=c} chiusi. Compatto = chiuso e limitato. Weierstrass: f continua su un compatto ha massimo e minimo; vale anche su un chiuso illimitato se f→+∞ (minimo) o f→−∞ (massimo) all'infinito. Connesso per archi + f continua con segni opposti ⇒ f si annulla (teorema degli zeri).Topologia di Rn, teorema di Weierstrass e teorema degli zeri →.

Testo. Per ciascuno degli insiemi seguenti determinare interno, frontiera, chiusura e dire se è aperto, chiuso, limitato. (a) $A=\{(x,y): x\ge0,\ y>0\}$, (b) $B=\{(x,y): x\le y\}\cup\{(0,-1)\}$, (c) $C=\{(x,y): 0<x^2+y^2<4\}$ (disco forato), (d) $D=\{(x,y): x^2+y^2<4,\ y\ge x^2\}$, (e) $F=\{(1/k,\,0): k=1,2,3,\dots\}$.

(Fonte: esercizi svolti nelle lezioni 7, 8 e 10 del corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD; (d) e (e) sono varianti.)

Metodo

Per ogni punto si chiede: esiste una palla tutta in $E$ (interno)? esiste una palla tutta fuori da $E$ (esterno)? altrimenti è di frontiera, cioè ogni palla contiene sia punti di $E$ sia punti fuori. Il punto può appartenere a $E$ o no.

Soluzioni

(a) $A=\{x\ge0,\ y>0\}$

• Se $x>0$ e $y>0$, una palla di raggio $\min\{x,y\}$ sta in $A$: punto interno.
• Se $x=0$, $y>0$: ogni palla contiene punti con $x<0$, fuori da $A$: non interno, ma i punti vicini con $x>0$ sono in $A$: frontiera, e il punto stesso è in $A$.
• Se $y=0$ (con $x\ge0$): i punti sono fuori da $A$ ma ogni palla contiene punti con $y>0$: frontiera, non in $A$.

$$\mathring A=\{x>0,y>0\},\quad\partial A=\{(0,y):y\ge0\}\cup\{(x,0):x\ge0\},\quad\overline A=\{x\ge0,\ y\ge0\}.$$ $A$ non è aperto ($(0,1)\in A$ non è interno), non è chiuso ($(1,0)\in\partial A\setminus A$), non è limitato.

(b) $B=\{x\le y\}\cup\{(0,-1)\}$

La regione $x\le y$ è un semipiano chiuso; $(0,-1)$ ha $x=0>-1=y$, quindi sta nel semipiano opposto: è un punto isolato di $B$.

• Interno: il semipiano aperto $\{x<y\}$ (distanza $\frac{y-x}{\sqrt2}>0$ dalla bisettrice: una palla di raggio minore ci sta tutta). I punti della bisettrice sono in $B$ ma hanno punti di $B^c$ vicini: non interni.
• Esterno: $\{x>y\}\setminus\{(0,-1)\}$.
• Frontiera: la bisettrice $\{x=y\}$ più il punto $(0,-1)$ (ogni palla attorno a lui contiene punti fuori da $B$).

$$\mathring B=\{x<y\},\quad\partial B=\{x=y\}\cup\{(0,-1)\},\quad\overline B=B .$$ $B$ è chiuso (contiene la frontiera), non aperto, non limitato.

(c) $C=\{0<x^2+y^2<4\}$

$C=\{g>0\}\cap\{g<4\}$ con $g(x,y)=x^2+y^2$ continua: intersezione di due aperti, quindi aperto: $\mathring C=C$. La frontiera è fatta dall'origine (punti vicini sono in $C$ e il punto no) e dalla circonferenza $x^2+y^2=4$: $$\partial C=\{(0,0)\}\cup\{x^2+y^2=4\},\qquad\overline C=\{x^2+y^2\le4\}.$$ $C$ non è chiuso, è limitato.

(d) $D=\{x^2+y^2<4,\ y\ge x^2\}$

$D=\{g<4\}\cap\{h\ge0\}$ con $h=y-x^2$: intersezione di un aperto con un chiuso, in generale né aperto né chiuso. Un punto con $x^2+y^2<4$ e $y>x^2$ è interno (entrambe le disuguaglianze sono strette: valgono in un intorno). Un punto con $y=x^2$ è di frontiera; un punto con $x^2+y^2=4$ e $y\ge x^2$ non è in $D$ ma è di frontiera. $$\mathring D=\{x^2+y^2<4,\ y>x^2\},\ \ \overline D=\{x^2+y^2\le4,\ y\ge x^2\},$$ $$\partial D=\{y=x^2,\ x^2+y^2\le4\}\cup\{x^2+y^2=4,\ y\ge x^2\}.$$ $D$ è limitato, non aperto (contiene la parabola) e non chiuso (non contiene l'arco di circonferenza).

(e) $F=\{(1/k,0):k\in\mathbb{N}\}$

Sono punti isolati di $F$: attorno a $(1/k,0)$ una palla piccola non contiene altri punti di $F$. Nessun punto è interno ($\mathring F=\emptyset$, non esiste una palla tutta in $F$). I punti di $F$ sono di frontiera. Inoltre $(0,0)\notin F$ è di frontiera: ogni palla contiene $(1/k,0)$ per $k$ grande. Perciò $$\partial F=F\cup\{(0,0)\},\qquad\overline F=F\cup\{(0,0)\}.$$ $F$ non è chiuso (la successione $(1/k,0)$ converge a $(0,0)\notin F$), non è aperto, è limitato. Il punto $(0,0)$ è l'unico punto di accumulazione di $F$.

Errori tipici. Scrivere $\partial E=\overline E\setminus E$ (in (a) perderebbe il semiasse $y$); dimenticare i punti isolati nella frontiera (b), (e); dire che $D$ è aperto perché c'è "$<$" da una parte.