Salta al contenuto
Note per Studenti Esercizio - retta tangente a una curva in coordinate polari (esercizi 2025-26)

Esercizio - retta tangente a una curva in coordinate polari (esercizi 2025-26)

Teoria: Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettorialiUna curva è una funzione continua r : [a,b] → R^m; il sostegno è la sua immagine. Limiti, continuità e derivate si fanno componente per componente. La curva è regolare se r è C^1 e r'(t) ≠ 0 ovunque: allora r'(t) è il vettore tangente e la retta tangente è r(t0) + λ r'(t0). Esempi: circonferenza, segmento, grafico (t, f(t)), curve polari (f(θ)cosθ, f(θ)sinθ) regolari se f' ≠ 0 dove f = 0, elica, cuspide (t²,t³). L'integrale di r si fa per componenti; vale ∫ r' = r(b) − r(a) e ‖∫ r‖ ≤ ∫ ‖r‖.Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali →.

Testo. Data la curva di equazione polare ρ=e−θ\rho = e^{-\theta}, con 0≤θ≤2π0 \le \theta \le 2\pi, scrivere l'equazione della retta tangente nel punto di arrivo (θ=2π\theta = 2\pi). Poi trovare i punti in cui la tangente è orizzontale e quelli in cui è verticale.

(Fonte: esercizio 1 della raccolta del corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD, 2025-26; la seconda domanda è un'estensione.)

Soluzione

Passo 1: parametrizzare. Una curva polare ρ=f(θ)\rho = f(\theta) è la curva r‾(θ)=(f(θ)cos⁡θ,f(θ)sin⁡θ)\underline r(\theta) = (f(\theta)\cos\theta, f(\theta)\sin\theta). Qui f(θ)=e−θf(\theta) = e^{-\theta}: r‾(θ)=(e−θcos⁡θ, e−θsin⁡θ).\underline r(\theta) = \big(e^{-\theta}\cos\theta,\ e^{-\theta}\sin\theta\big).

Passo 2: derivare. Con la regola del prodotto e (e−θ)′=−e−θ(e^{-\theta})' = -e^{-\theta}: x′(θ)=−e−θcos⁡θ−e−θsin⁡θ=−e−θ(cos⁡θ+sin⁡θ),x'(\theta) = -e^{-\theta}\cos\theta - e^{-\theta}\sin\theta = -e^{-\theta}(\cos\theta + \sin\theta), y′(θ)=−e−θsin⁡θ+e−θcos⁡θ=e−θ(cos⁡θ−sin⁡θ).y'(\theta) = -e^{-\theta}\sin\theta + e^{-\theta}\cos\theta = e^{-\theta}(\cos\theta - \sin\theta). La velocità scalare è ∣r‾′∣=f2+f′2=2 e−θ>0|\underline r'| = \sqrt{f^2 + f'^2} = \sqrt2\,e^{-\theta} > 0: la curva è regolare, la tangente esiste ovunque.

Passo 3: punto e direzione in θ=2π\theta = 2\pi. Poiché cos⁡2π=1\cos 2\pi = 1 e sin⁡2π=0\sin 2\pi = 0: r‾(2π)=(e−2π,0),r‾′(2π)=e−2π(−1,1).\underline r(2\pi) = (e^{-2\pi}, 0),\qquad \underline r'(2\pi) = e^{-2\pi}(-1, 1).

Passo 4: retta. La retta per (e−2π,0)(e^{-2\pi}, 0) con direzione (−1,1)(-1, 1) è (x,y)=(e−2π−λ, λ).(x, y) = (e^{-2\pi} - \lambda,\ \lambda). Sommando le due equazioni si elimina λ\lambda: x+y=e−2π\boxed{x + y = e^{-2\pi}} (pendenza −1-1: la direzione (−1,1)(-1,1) ha yy che cresce quando xx diminuisce).

Tangente orizzontale e verticale

  • Orizzontale: y′(θ)=0y'(\theta) = 0, cioè cos⁡θ=sin⁡θ\cos\theta = \sin\theta, quindi θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} e θ=5π4\theta = \frac{5\pi}{4} in [0,2π][0, 2\pi] (l'esponenziale non si annulla mai, quindi basta annullare la parentesi). In questi punti x′≠0x' \ne 0 perché cos⁡θ+sin⁡θ=±2≠0\cos\theta + \sin\theta = \pm\sqrt2 \ne 0.
  • Verticale: x′(θ)=0x'(\theta) = 0, cioè cos⁡θ+sin⁡θ=0\cos\theta + \sin\theta = 0, tan⁡θ=−1\tan\theta = -1, quindi θ=3π4\theta = \frac{3\pi}{4} e θ=7π4\theta = \frac{7\pi}{4}. Lì y′=e−θ(cos⁡θ−sin⁡θ)=±2 e−θ≠0y' = e^{-\theta}(\cos\theta - \sin\theta) = \pm\sqrt2\,e^{-\theta} \ne 0.

Grafico interattivo: Spirale logaritmica ρ = e^(−θ), θ da 0 a 2π, e tangente in θ = 2π: x + y = e^(−2π)

Controllo con la formula polare. La direzione della tangente forma con il raggio vettore un angolo costante (qui cot⁡ψ=f′/f=−1\cot\psi = f'/f = -1, cioè ψ=3π/4\psi = 3\pi/4): è la proprietà della spirale logaritmica.

Errori tipici. Derivare solo ρ\rho e dimenticare che anche cos⁡θ\cos\theta e sin⁡θ\sin\theta dipendono da θ\theta; confondere il punto di tangenza (e−2π,0)(e^{-2\pi},0) (coordinate cartesiane) con il solo valore ρ(2π)=e−2π\rho(2\pi)=e^{-2\pi}.

Versione ripasso

ρ=e−θ\rho = e^{-\theta}: r‾(θ)=e−θ(cos⁡θ,sin⁡θ)\underline r(\theta) = e^{-\theta}(\cos\theta, \sin\theta) (Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettorialiUna curva è una funzione continua r : [a,b] → R^m; il sostegno è la sua immagine. Limiti, continuità e derivate si fanno componente per componente. La curva è regolare se r è C^1 e r'(t) ≠ 0 ovunque: allora r'(t) è il vettore tangente e la retta tangente è r(t0) + λ r'(t0). Esempi: circonferenza, segmento, grafico (t, f(t)), curve polari (f(θ)cosθ, f(θ)sinθ) regolari se f' ≠ 0 dove f = 0, elica, cuspide (t²,t³). L'integrale di r si fa per componenti; vale ∫ r' = r(b) − r(a) e ‖∫ r‖ ≤ ∫ ‖r‖.Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali →).

  • r‾′=e−θ(−(cos⁡θ+sin⁡θ), cos⁡θ−sin⁡θ)\underline r' = e^{-\theta}\big(-(\cos\theta + \sin\theta),\ \cos\theta - \sin\theta\big), ∣r‾′∣=2e−θ|\underline r'| = \sqrt2 e^{-\theta}: regolare.
  • θ=2π\theta = 2\pi: punto (e−2π,0)(e^{-2\pi}, 0), direzione (−1,1)(-1, 1) ⇒\Rightarrow x+y=e−2π\boxed{x + y = e^{-2\pi}}.
  • Tangente orizzontale: cos⁡θ=sin⁡θ⇒θ=π4,5π4\cos\theta = \sin\theta \Rightarrow \theta = \frac\pi4, \frac{5\pi}{4}. Verticale: cos⁡θ=−sin⁡θ⇒θ=3π4,7π4\cos\theta = -\sin\theta \Rightarrow \theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}.

Errori tipici: non derivare anche cos⁡θ\cos\theta e sin⁡θ\sin\theta; dimenticare di verificare che l'altra componente non si annulli.

Teoria collegata