Esercizio - quali teoremi si applicano, Peano, Cauchy e crescita lineare (lezione 31)

Teoria: Problema di Cauchy per sistemi di equazioni differenzialiUn sistema in forma normale è y' = f(t, y) con y a valori in Rⁿ; il problema di Cauchy aggiunge y(t₀) = y₀. Ogni equazione di ordine n si riduce a un sistema del primo ordine. Peano: f continua ⇒ esiste almeno una soluzione locale (non unica in generale: y' = y^(2/3)). Cauchy-Lipschitz: f e ∂f/∂y continue (o lipschitziana in y) ⇒ esistenza e unicità locali, e una soluzione massimale. Può esplodere in tempo finito (y' = y²); se |f(t,y)| ≤ H + K|y| su una striscia [a,b] × Rⁿ la soluzione è globale.Problema di Cauchy per sistemi di equazioni differenziali →.

Testo

Per ciascuna equazione $y'=f(t,y)$ con dato $y(0)=y_0$ dire quali teoremi (Peano, Cauchy locale, esistenza globale) si possono applicare, che cosa si può concludere su esistenza, unicità e intervallo di esistenza, e confrontare con la soluzione esplicita quando c'è: (a) $y'=y^2$; (b) $y'=y^{2/3}$ con $y(0)=0$ e con $y(0)=1$; (c) $y'=|y|+1$; (d) $y'=t\sin y+\cos t$; (e) $y'=\sqrt{|y|}$, $y(0)=0$.

Soluzione

Si ricordano le tre questioni: (1) continuità di $f$ $\Rightarrow$ esistenza locale (Peano); (2) $f$ continua con $\partial f/\partial y$ continua, oppure $f$ lipschitziana in $y$ $\Rightarrow$ anche unicità locale (Cauchy); (3) crescita al più lineare $|f(t,y)|\le H+K|y|$ su una striscia $[a,b]\times\mathbb{R}$, più (2) $\Rightarrow$ esistenza globale su $[a,b]$.

(a) $y'=y^2$. $f=y^2$ è $C^\infty$ in $(t,y)$: Cauchy dà esistenza e unicità locali per ogni $y_0$. Ma $y^2/(H+K|y|)\to\infty$ per $|y|\to\infty$: la crescita non è lineare, il teorema globale non si applica. Infatti la soluzione è $y=\dfrac{y_0}{1-y_0t}$, che per $y_0\ne0$ esplode in $t=1/y_0$.

(b) $y'=y^{2/3}$. $f=y^{2/3}$ è continua su $\mathbb{R}$: Peano dà esistenza. Per $y_0=0$ non vale Cauchy: $\dfrac{|f(x)-f(0)|}{|x|}=|x|^{-1/3}\to\infty$, nessuna costante di Lipschitz; infatti $y\equiv0$ e $y=t^3/27$ sono due soluzioni distinte con $y(0)=0$. Per $y_0=1$ invece, vicino a $y=1$ la funzione $f$ è $C^1$ (la derivata $\frac23y^{-1/3}$ è continua per $y>0$): c'è unicità locale. Si risolve: $3y^{1/3}=t+3$, $y=\left(\frac{t+3}3\right)^3=\left(1+\frac t3\right)^3$, finché $y>0$, cioè $t>-3$ (a $t=-3$ la soluzione arriva a $y=0$, dove l'unicità cade).

(c) $y'=|y|+1$. $f$ è continua e $\big||y_1|-|y_2|\big|\le|y_1-y_2|$: lipschitziana con $L=1$ (Cauchy). $|f|\le1+|y|$: crescita lineare con $H=K=1$ su ogni striscia. Quindi esistono ed è unica la soluzione per ogni dato, definita su tutto $\mathbb{R}$. Con $y_0=0$: $y=\operatorname{sgn}(t)\left(e^{|t|}-1\right)$.

(d) $y'=t\sin y+\cos t$. $f$ è $C^\infty$ e $\partial_yf=t\cos y$ è continua: Cauchy. Su una striscia $[a,b]\times\mathbb{R}$ si ha $|f|\le|t|+1\le M+1$ con $M=\max(|a|,|b|)$: $f$ è limitata, quindi vale la crescita lineare con $K=0$. Per ogni dato iniziale la soluzione è unica e definita su tutto $\mathbb{R}$ (la striscia si può prendere arbitrariamente larga).

(e) $y'=\sqrt{|y|}$, $y(0)=0$. $f$ è continua (Peano), ma $\dfrac{|f(x)-f(0)|}{|x|}=|x|^{-1/2}\to\infty$: non lipschitziana in $y=0$. Le soluzioni non sono uniche: $y\equiv0$ e $y(t)=\frac{t|t|}4$ (per $t\ge0$ è $t^2/4$ con $y'=t/2=\sqrt{y}$; per $t<0$ è $-t^2/4$ con $y'=-t/2=|t|/2=\sqrt{|y|}$) risolvono lo stesso problema. (Come nel caso (b), la non unicità nasce esattamente in $y=0$, dove $f$ ha tangente verticale.)

Riepilogo.