FormularioFondamenti di Analisi Matematica 2: definizioni, teoremi e formule delle note, in ordine di capitolo

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1. Calcolo infinitesimale per le curve

Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali

Definizione (prodotto scalare, norma, distanza). Per $\underline x, \underline y \in \mathbb{R}^n$ : $\underline x \cdot \underline y = \sum_{i=1}^n x_i y_i, \qquad |\underline x| = \sqrt{\underline x \cdot \underline x} = \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2}, \qquad \operatorname{dist}(\underline x, \underline y) = |\underline x - \underline y|.$ La norma misura la lunghezza del vettore. Vale $|\lambda \underline x| = |\lambda|\,|\underline x|$ . Se $\underline x \neq \underline 0$ , il versore $\underline x / |\underline x|$ ha la stessa direzione e verso di $\underline x$ e lunghezza $1$ .

Esempio. $\underline x = (1, 2, 2)$ : $|\underline x| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$ , versore $(1/3, 2/3, 2/3)$ . Per $\underline y = (2, -1, 0)$ : $\underline x \cdot \underline y = 2 - 2 + 0 = 0$ , quindi $\underline x \perp \underline y$ .

Teorema (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz). $|\underline x \cdot \underline y| \le |\underline x|\,|\underline y|$ per ogni $\underline x, \underline y \in \mathbb{R}^n$ .

Teorema (disuguaglianza triangolare) (D). $|\underline x + \underline y| \le |\underline x| + |\underline y|$ . Di conseguenza $\operatorname{dist}(\underline x, \underline y) \le \operatorname{dist}(\underline x, \underline z) + \operatorname{dist}(\underline z, \underline y)$ .

Esempio. $(1,0,2) \times (0,1,1) = (0\cdot1 - 2\cdot1,\; 2\cdot 0 - 1\cdot 1,\; 1\cdot 1 - 0) = (-2, -1, 1)$ ; infatti $(-2,-1,1)\cdot(1,0,2) = 0$ e $(-2,-1,1)\cdot(0,1,1) = 0$ .

Definizione (limite). Sia $t_0$ un punto di accumulazione di $A$ e $\underline\ell \in \mathbb{R}^m$ . Si scrive $\lim_{t \to t_0}\underline r(t) = \underline \ell$ se $\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0:\quad t \in A,\ 0 < |t - t_0| < \delta \implies |\underline r(t) - \underline\ell| < \varepsilon ,$ cioè se $|\underline r(t) - \underline \ell| \to 0$ : la distanza tra il punto mobile e $\underline\ell$ tende a zero.

Proposizione (limite per componenti). $\lim_{t\to t_0}\underline r(t) = \underline\ell \iff \lim_{t\to t_0} r_j(t) = \ell_j$ per ogni $j = 1, \dots, m$ .

Esempio. $\lim_{t \to 0}\big(\tfrac{\sin t}{t},\; \log(1 + t^2),\; e^t\big) = (1, 0, 1)$ : ogni componente ha il suo limite (Limiti notevoli di funzioni).

Definizione (curva, sostegno). Una curva parametrica (o cammino) è una funzione continua $\underline r : I \to \mathbb{R}^m$ , con $I$ intervallo. Il sostegno è l'immagine $\Gamma = \underline r(I) = \{\underline r(t) : t \in I\}$ . La curva si indica con $\gamma = \{\underline r, \Gamma\}$ ; $\underline r$ è una parametrizzazione di $\Gamma$ .

Esempio. $\underline r(t) = (\cos t, \sin t)$ su $[0, 2\pi]$ : sostegno la circonferenza unitaria. La stessa circonferenza è il sostegno di $\underline s(t) = (\cos 2t, \sin 2t)$ su $[0, \pi]$ (stesso giro in metà tempo) e di $(\cos t, \sin t)$ su $[0, 4\pi]$ (due giri). Sono tre curve diverse con lo stesso sostegno, e avranno lunghezze diverse (Lunghezza di una curva e ascissa curvilinea).

Definizione (curva chiusa, curva semplice). Sia $\underline r : [a,b] \to \mathbb{R}^m$ una curva.

È chiusa se $\underline r(a) = \underline r(b)$ .

È semplice se non passa due volte per lo stesso punto: $\underline r(t_1) = \underline r(t_2)$ con $t_1 \neq t_2$ è possibile solo per $\{t_1, t_2\} = \{a, b\}$ .

Esempio. $(\cos t, \sin t)$ su $[0, 2\pi]$ è chiusa e semplice. Su $[0, 4\pi]$ è chiusa ma non semplice (passa due volte per ogni punto). Un "otto" percorso senza staccare la penna è chiuso e non semplice; un segmento è semplice e non chiuso.

Grafico interattivo: Chiusa e semplice (cerchio), semplice non chiusa (spirale di Archimede), chiusa non semplice (lemniscata, 'otto')

Definizione (derivata). $\underline r$ è derivabile in $t_0$ (interno) se esiste finito $\underline r'(t_0) = \lim_{h \to 0}\frac{\underline r(t_0 + h) - \underline r(t_0)}{h} .$ Per il limite per componenti, $\underline r$ è derivabile se e solo se lo sono tutte le componenti, e $\underline r'(t) = (r_1'(t), \dots, r_m'(t))$ . Si scrive $\underline r \in C^1$ se $\underline r'$ esiste ed è continua; la derivata seconda è $\underline r'' = (r_1'', \dots, r_m'')$ .

Esempio. $\underline r(t) = (t^2, \sin t, e^{2t})$ : $\underline r'(t) = (2t, \cos t, 2e^{2t})$ e $\underline r'(0) = (0, 1, 2)$ .

Definizione (curva regolare). $\underline r : I \to \mathbb{R}^m$ è regolare se $\underline r \in C^1(I)$ e $\underline r'(t) \neq \underline 0$ per ogni $t \in I$ . Allora è definito il versore tangente $\underline T(t) = \underline r'(t)/|\underline r'(t)|$ e la retta tangente in $\underline r(t_0)$ è $\underline x(\lambda) = \underline r(t_0) + \lambda\,\underline r'(t_0),\qquad \lambda \in \mathbb{R}.$ Una curva continua è regolare a tratti se $[a,b]$ si divide in un numero finito di intervalli su ciascuno dei quali è regolare (le poligonali ne sono l'esempio tipico: nei vertici si hanno punti angolosi).

Esempio 1 (ellisse). $\underline r(t) = (a\cos t, b\sin t)$ con $a,b>0$ è chiusa e semplice su $[0,2\pi]$ , $\underline r'(t) = (-a\sin t, b\cos t)$ e $|\underline r'(t)|^2 = a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t > 0$ (seno e coseno non si annullano insieme): regolare. Per $t_0 = \pi/4$ : punto $\big(\tfrac{a\sqrt2}{2}, \tfrac{b\sqrt2}{2}\big)$ , direzione $\big(-\tfrac{a\sqrt2}{2}, \tfrac{b\sqrt2}{2}\big)$ , e la tangente è $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = \sqrt2$ . Per $t_0 = \pi/2$ : punto $(0,b)$ , direzione $(-a, 0)$ : la tangente è la retta orizzontale $y = b$ .

Grafico interattivo: La cuspide (t², t³), t da −1 a 1: nell'origine r'(0) = 0, curva non regolare

Definizione. Se ogni componente di $\underline r : [a,b] \to \mathbb{R}^m$ è integrabile (Integrale definito di Riemann), si pone $\int_a^b \underline r(t)\,dt = \Big(\int_a^b r_1(t)\,dt,\ \dots,\ \int_a^b r_m(t)\,dt\Big) \in \mathbb{R}^m .$

Esempio. $\int_0^{\pi}(\cos t, \sin t, 2t)\,dt = (\sin\pi - \sin 0,\ -\cos\pi + \cos 0,\ \pi^2) = (0, 2, \pi^2)$ .

Teorema fondamentale del calcolo per funzioni vettoriali (D). Se $\underline r \in C^1([a,b], \mathbb{R}^m)$ , allora $\displaystyle\int_a^b \underline r'(t)\,dt = \underline r(b) - \underline r(a)$ .

Esempio. Per $\underline r(t) = (t^2, t^3)$ su $[0,2]$ : $\int_0^2 (2t, 3t^2)\,dt = (4, 8) = \underline r(2) - \underline r(0)$ . ✓

Teorema (norma dell'integrale). Se $\underline r$ è integrabile, $\displaystyle\Big|\int_a^b \underline r(t)\,dt\Big| \le \int_a^b |\underline r(t)|\,dt$ .

Lunghezza di una curva e ascissa curvilinea

Definizione (poligonale inscritta, lunghezza). Sia $\underline r : [a,b] \to \mathbb{R}^m$ una curva. Per una partizione $\mathcal P = \{a = t_0 < t_1 < \dots < t_N = b\}$ la poligonale inscritta è quella che congiunge $\underline r(t_0), \underline r(t_1), \dots, \underline r(t_N)$ , e la sua lunghezza è $\ell(\mathcal P) = \sum_{i=1}^N |\underline r(t_i) - \underline r(t_{i-1})| .$ La curva è rettificabile se $\{\ell(\mathcal P)\}$ è limitato superiormente; la lunghezza è $\ell(\gamma) = \sup_{\mathcal P}\ell(\mathcal P)$ .

Esempio. Semicirconferenza di raggio $1$ , $\underline r(t) = (\cos t, \sin t)$ , $t\in[0,\pi]$ , con $N = 2$ intervalli uguali: i punti sono $(1,0)$ , $(0,1)$ , $(-1,0)$ e la poligonale vale $\sqrt2 + \sqrt2 = 2.83$ , contro la lunghezza vera $\pi = 3.14$ . Con $N = 6$ si ottiene $6\cdot 2\sin(\pi/12) = 3.106$ : si avvicina a $\pi$ dal basso.

Teorema (lunghezza delle curve $C^1$ ) (D). Se $\underline r \in C^1([a,b], \mathbb{R}^m)$ , allora $\gamma$ è rettificabile e $\ell(\gamma) = \int_a^b |\underline r'(t)|\,dt .$

Definizione. Se $\underline r : [a,b] \to \mathbb{R}^m$ è regolare e $\varphi : [c,d] \to [a,b]$ è biiettiva e $C^1$ , la curva $\tilde{\underline r}(u) = \underline r(\varphi(u))$ è una riparametrizzazione. Ha lo stesso sostegno. Se $\varphi' > 0$ (crescente) le due curve sono equivalenti: stesso punto iniziale e finale, stesso verso. Se $\varphi' < 0$ (decrescente) $\tilde{\underline r}$ cambia orientazione: percorre il sostegno al contrario.

Esempio. $\underline r(t) = (R\cos t, R\sin t)$ , $t\in[0,2\pi]$ . Con $t = \varphi(u) = u/R$ , $u\in[0,2\pi R]$ , si ottiene $\tilde{\underline r}(u) = (R\cos(u/R), R\sin(u/R))$ equivalente, con velocità $|\tilde{\underline r}'| = 1$ (mentre $|\underline r'| = R$ ). Con $t = -u$ , $u\in[-2\pi,0]$ , si ottiene la circonferenza percorsa in senso orario.

Proposizione (la lunghezza non dipende dalla parametrizzazione). Se $\tilde{\underline r}$ è una riparametrizzazione di $\underline r$ ( $\varphi' > 0$ oppure $\varphi' < 0$ ), allora $\ell(\tilde{\underline r}) = \ell(\underline r)$ .

Definizione. Sia $\underline r : [a,b]\to\mathbb{R}^m$ regolare. L'ascissa curvilinea è $s(t) = \int_a^t |\underline r'(\tau)|\,d\tau , \qquad s : [a,b]\to[0,\ell(\gamma)] ,$ la lunghezza dell'arco tra $\underline r(a)$ e $\underline r(t)$ .

Teorema (parametrizzazione ad arco) (D). La curva $\tilde{\underline r}(s) = \underline r(t(s))$ , $s\in[0,\ell(\gamma)]$ , è una riparametrizzazione equivalente di $\underline r$ e $|\tilde{\underline r}'(s)| = 1$ per ogni $s$ .

Esempio (circonferenza). $|\underline r'| = R$ , $s = Rt$ , $t = s/R$ : $\tilde{\underline r}(s) = (R\cos\frac sR, R\sin\frac sR)$ , $s\in[0,2\pi R]$ .

Definizione. La curvatura è $\kappa = \Big|\dfrac{d\underline T}{ds}\Big|$ e, dove $\kappa\ne0$ , il versore normale principale è $\underline N = \dfrac{1}{\kappa}\dfrac{d\underline T}{ds}$ . Il raggio di curvatura è $1/\kappa$ .

Formula (decomposizione dell'accelerazione). $\underline a = a_T\,\underline T + a_N\,\underline N$ , con $a_T = v' = \frac{\underline r'\cdot\underline r''}{|\underline r'|},\qquad a_N = \kappa v^2 = \frac{|\underline r'\times\underline r''|}{|\underline r'|},\qquad |\underline a|^2 = a_T^2 + a_N^2 .$ La curvatura si calcola con $\kappa = \frac{|\underline r'\times\underline r''|}{|\underline r'|^3}\ (\mathbb{R}^3),\qquad \kappa = \frac{|x'y'' - x''y'|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}\ (\mathbb{R}^2),\qquad \kappa = \frac{|f''|}{(1+f'^2)^{3/2}}\ (\text{grafico}).$

Integrali curvilinei di prima specie, baricentri e momenti d'inerzia

Definizione (integrale di prima specie). Sia $\underline r : [a,b] \to \mathbb{R}^m$ una curva $C^1$ con sostegno $\gamma$ e sia $f : \gamma \to \mathbb{R}$ continua. Si pone $\int_\gamma f\,ds = \int_a^b f(\underline r(t))\,|\underline r'(t)|\,dt .$ $ds = |\underline r'(t)|\,dt$ è l'elemento d'arco.

Esempio (la parete sotto un piano). $\gamma$ : semicirconferenza $\underline r(t) = (\cos t, \sin t)$ , $t\in[\pi, 2\pi]$ (la metà inferiore, dove $y \le 0$ ), $f(x,y) = -y \ge 0$ . Qui $|\underline r'| = 1$ e $f(\underline r(t)) = -\sin t$ : $\int_\gamma(-y)\,ds = \int_\pi^{2\pi}(-\sin t)\,dt = [\cos t]_\pi^{2\pi} = 1 - (-1) = 2 .$ È l'area della parete alta $1$ al centro e $0$ agli estremi, che si appoggia sulla semicirconferenza.

Teorema (D). Sia $\tilde{\underline r}(u) = \underline r(\varphi(u))$ , $u\in[c,d]$ , una riparametrizzazione di $\underline r : [a,b]\to\mathbb{R}^m$ ( $\varphi$ biiettiva e $C^1$ ), sia con $\varphi' > 0$ sia con $\varphi' < 0$ (verso opposto). Allora per ogni $f$ continua $\int_{\tilde\gamma}f\,ds = \int_\gamma f\,ds .$

Definizione (massa e baricentro). Per una curva $\gamma$ con densità $\mu \ge 0$ : $M = \int_\gamma\mu\,ds,\qquad x_b = \frac1M\int_\gamma x\,\mu\,ds,\quad y_b = \frac1M\int_\gamma y\,\mu\,ds,\quad z_b = \frac1M\int_\gamma z\,\mu\,ds .$ Se il filo è omogeneo ( $\mu\equiv1$ ) si ha $M = \ell(\gamma)$ e si parla di baricentro geometrico (o centroide).

Esempio (quarto di circonferenza). $\underline r(t) = (R\cos t, R\sin t)$ , $t\in[0,\frac\pi2]$ , $\mu = 1$ : $|\underline r'| = R$ , $M = \frac{\pi R}{2}$ , $x_b = \frac{2}{\pi R}\int_0^{\pi/2}R\cos t\cdot R\,dt = \frac{2R}{\pi}\big[\sin t\big]_0^{\pi/2} = \frac{2R}{\pi},\qquad y_b = \frac{2R}{\pi}$ (per la simmetria rispetto alla bisettrice $y = x$ le due coordinate coincidono). Poiché $2/\pi\approx0.637$ , il baricentro $\big(\frac{2R}\pi,\frac{2R}\pi\big)$ sta a distanza $\frac{2\sqrt2}{\pi}R \approx 0.90R$ dall'origine: dentro la regione racchiusa dall'arco, non sull'arco.

Definizione. Fissato un asse, sia $\delta(x,y,z)$ la distanza del punto dall'asse. Il momento d'inerzia della curva (densità $\mu$ ) rispetto a quell'asse è $I = \int_\gamma\delta^2\,\mu\,ds .$

Esempio. Arco di circonferenza $\underline r(t) = (R\cos t, R\sin t)$ , $t\in[0,\frac\pi2]$ , $\mu = 1$ , rispetto all'asse $y$ : $\delta = |x| = R\cos t$ , $|\underline r'| = R$ , $I = \int_0^{\pi/2}(R\cos t)^2\cdot R\,dt = R^3\int_0^{\pi/2}\cos^2t\,dt = \frac{\pi R^3}{4}.$ (Per l'integrale di $\cos^2$ : per parti si ottiene $J = \int\cos^2 = [\sin t\cos t] + \int\sin^2 t = \frac\pi2 - J$ , quindi $J = \frac\pi4$ .) Il filo ha massa $M = \frac{\pi R}2$ , quindi $I = \frac{R^2}{2}M$ : come se tutta la massa stesse alla distanza $R/\sqrt2$ dall'asse.

2. Funzioni di più variabili: limiti, continuità e topologia

Funzioni di più variabili, limiti e continuità

Definizione (dominio naturale). Se $f$ è data da una formula, il dominio naturale è il più grande insieme dove la formula ha senso: radici di indice pari con radicando $\ge 0$ , logaritmi con argomento $>0$ , denominatori $\ne 0$ , $\arcsin$ e $\arccos$ con argomento in $[-1,1]$ .

Esempio. $f(x,y) = \sqrt{xy}\,\log(x+y-1)$ richiede $xy \ge 0$ e $x+y-1>0$ . La prima condizione descrive il primo e il terzo quadrante, bordi inclusi; la seconda il semipiano aperto sopra la retta $y = 1-x$ . Nel terzo quadrante $x+y\le0$ , quindi la seconda non vale mai: resta $\operatorname{dom}f = \{x\ge0,\ y\ge0,\ x+y>1\}.$ Gli assi non sono esclusi del tutto: per esempio $(2,0)$ è nel dominio ( $xy=0\ge0$ e $2-1>0$ ). Invece il segmento da $(1,0)$ a $(0,1)$ è escluso, perché lì $x+y-1=0$ e il logaritmo vuole un argomento strettamente positivo.

Definizione (grafico, insiemi di livello). Il grafico è $\operatorname{graf}f = \{(\underline x, f(\underline x)) : \underline x\in A\}\subseteq\mathbb{R}^{n+1}$ ; per $n=2$ è una superficie $z = f(x,y)$ . L'insieme di livello $c$ è $L_c = \{\underline x\in A : f(\underline x) = c\}$ .

Esempio 1. $f(x,y) = \sqrt{1-x^2-y^2}$ ha dominio il disco $x^2+y^2\le1$ e valori in $[0,1]$ . Per $c<0$ o $c>1$ , $L_c = \emptyset$ ; per $c = 1$ , $L_1 = \{(0,0)\}$ ; per $0\le c<1$ si eleva al quadrato (lecito, entrambi i membri $\ge0$ ): $x^2+y^2 = 1-c^2$ , circonferenza di raggio $\sqrt{1-c^2}$ (per $c=\frac12$ , raggio $\frac{\sqrt3}2$ ). Il grafico è $z^2 = 1-x^2-y^2$ , $z\ge0$ : la semisfera superiore.

Grafico interattivo: Insiemi di livello di f = √(1 − x² − y²): circonferenze di raggio √(1 − c²) per c = 0, 0.5, 0.8, e il punto (0,0) per c = 1

Definizione (punto di accumulazione). $\underline x_0\in\mathbb{R}^n$ è di accumulazione per $E\subseteq\mathbb{R}^n$ se ogni intorno di $\underline x_0$ contiene un punto di $E$ diverso da $\underline x_0$ . Non è detto che $\underline x_0\in E$ .

Definizione (limite, tre forme equivalenti).

Per successioni (Heine). $\lim_{\underline x\to\underline x_0}f = L$ se per ogni successione $\underline x_k\in X$ , $\underline x_k\ne\underline x_0$ , $\underline x_k\to\underline x_0$ si ha $f(\underline x_k)\to L$ .

Diretta, $L$ finito. $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ \underline x\in X,\ 0<|\underline x - \underline x_0|<\delta\Rightarrow|f(\underline x) - L|<\varepsilon$ .

Diretta, $L = +\infty$ . $\forall K>0\ \exists\delta>0:\ 0<|\underline x - \underline x_0|<\delta\Rightarrow f(\underline x)>K$ (e simile per $-\infty$ ).

Esempio ( $\varepsilon$ - $\delta$ ). $\lim_{\underline x\to\underline 0}|\underline x| = 0$ : dato $\varepsilon$ , basta $\delta=\varepsilon$ perché $|\,|\underline x|-0\,| = |\underline x|<\delta=\varepsilon$ .

Teorema (permanenza del segno). Se $\lim_{\underline x\to\underline x_0}f = L>0$ (anche $+\infty$ ), allora esiste un intorno forato di $\underline x_0$ in cui $f>0$ .

Definizione. Sia $\underline x_0\in X$ di accumulazione per $X$ . $f$ è continua in $\underline x_0$ se $\lim_{\underline x\to\underline x_0}f(\underline x) = f(\underline x_0)$ . In un punto isolato $f$ è continua per definizione. $C(X)$ è l'insieme delle funzioni continue in ogni punto di $X$ .

Esempio. $f(x,y)=\dfrac{e^{x+y}}{\cos x + 2}$ è continua su $\mathbb{R}^2$ : $x+y$ è somma di proiezioni, $e^{x+y}$ è composizione con l'esponenziale; $\cos x+2\ge1>0$ non si annulla mai, quindi il quoziente è continuo ovunque.

Proposizione. Se $\lim_{\underline x\to\underline x_0}f = L$ e $\underline\gamma : I\to X$ è una curva continua con $\underline\gamma(t_0) = \underline x_0$ e $\underline\gamma(t)\ne\underline x_0$ per $t\ne t_0$ , allora $\lim_{t\to t_0}f(\underline\gamma(t)) = L$ .

Esempio (fascio di rette). $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ in $(0,0)$ è del tipo $\frac00$ . Sulle rette $y=mx$ : $f(t,mt)=\dfrac{mt^2}{t^2(1+m^2)} = \dfrac m{1+m^2}$ , che dipende da $m$ ( $\frac12$ per $m=1$ , $-\frac12$ per $m=-1$ , $0$ per $m=0$ ). Il limite non esiste.

Teorema (maggiorazione con funzione radiale). Sia $L\in\mathbb{R}$ e $g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ con $\lim_{\rho\to0^+}g(\rho)=0$ . Se esiste $r>0$ tale che $|f(\underline x) - L|\le g\big(|\underline x - \underline x_0|\big)\quad\text{per ogni }\underline x\in X,\ 0<|\underline x - \underline x_0|<r,$ allora $\lim_{\underline x\to\underline x_0}f(\underline x) = L$ .

Esempio. $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y}{|\underline x|^{1/2}}$ . Sulla parabola $y=x^2$ il numeratore è $0$ : candidato $L=0$ . In polari $\tilde f(\rho,\theta)=\frac{\rho^2\cos^2\theta-\rho\sin\theta}{\rho^{1/2}}=\rho^{1/2}\big(\rho\cos^2\theta-\sin\theta\big),\quad|\tilde f|\le\rho^{1/2}(\rho+1)=:g(\rho)\to0 .$ Il limite vale $0$ .

Topologia di Rn, teorema di Weierstrass e teorema degli zeri

Definizione.

$\underline x$ è interno a $E$ se $\exists r>0:\ B_r(\underline x)\subseteq E$ . L'insieme dei punti interni è l'interno $\mathring E\subseteq E$ .

$\underline x$ è esterno a $E$ se è interno al complementare $E^c=\mathbb{R}^n\setminus E$ : $\exists r:\ B_r(\underline x)\cap E=\emptyset$ .

$\underline x$ è di frontiera se non è né interno né esterno, cioè se ogni intorno contiene sia punti di $E$ sia punti di $E^c$ . L'insieme è $\partial E$ .

La chiusura è $\overline E=E\cup\partial E$ .

Esempio 1. $E=\{(x,y): x\ge0,\ y>0\}$ . Un punto con $x>0,y>0$ ha un disco attorno contenuto in $E$ : interno. Un punto $(0,y_0)$ , $y_0>0$ , ha a sinistra punti con $x<0$ fuori da $E$ : non interno. Quindi $\mathring E=\{x>0,\ y>0\},\quad\partial E=\{(x,0):x\ge0\}\cup\{(0,y):y\ge0\},\quad\overline E=\{x\ge0,\ y\ge0\}.$ Qui $(0,1)\in E\cap\partial E$ e $(1,0)\in\overline E\setminus E$ .

Definizione. $E$ è aperto se $E=\mathring E$ , cioè se ogni suo punto è interno. $E$ è chiuso se $E^c$ è aperto.

Teorema. La palla aperta $B_r(\underline x_0)$ è un insieme aperto; la palla chiusa $\{|\underline y-\underline x_0|\le r\}$ e la sfera $\{|\underline y-\underline x_0|=r\}$ sono chiuse.

Proposizione. Se $f$ è continua su $\mathbb{R}^n$ (o su un aperto), allora per ogni $c$ gli insiemi $\{f<c\}$ e $\{f>c\}$ sono aperti, mentre $\{f\le c\}$ , $\{f\ge c\}$ , $\{f=c\}$ sono chiusi (in $\mathbb{R}^n$ ). In generale la controimmagine di un aperto è aperta e quella di un chiuso è chiusa.

Esempio. $\{0<|\underline x|<R\}=\{|\underline x|>0\}\cap\{|\underline x|<R\}$ è l'intersezione di due aperti: aperto. Non è chiuso (non contiene $\underline 0$ né la sfera di raggio $R$ , che sono di frontiera), è limitato; $\partial E=\{\underline 0\}\cup\{|\underline x|=R\}$ e $\overline E=\{|\underline x|\le R\}$ . Esempio. $\{x^2+y^2<4\}\cap\{y\ge x^2\}$ : aperto $\cap$ chiuso. Non è né aperto né chiuso (sul bordo del disco non c'è la circonferenza ma c'è la parabola).

Grafico interattivo: E = {0 < |x| < 2} nel piano: disco forato, aperto e limitato; frontiera = origine + circonferenza di raggio 2

Teorema (Weierstrass). Se $K\subseteq\mathbb{R}^n$ è compatto (non vuoto) e $f:K\to\mathbb{R}$ è continua, allora $f$ ha massimo e minimo assoluti in $K$ .

Esempio. $f(x,y)=x^2y$ sul disco $x^2+y^2\le1$ : il disco è chiuso (è $\{g\le1\}$ con $g$ continua) e limitato, $f$ è un polinomio. Massimo e minimo esistono.

Corollario. Sia $C\subseteq\mathbb{R}^n$ chiuso, $f:C\to\mathbb{R}$ continua. Se $\displaystyle\lim_{|\underline x|\to\infty,\ \underline x\in C}f(\underline x)=+\infty$ , allora $f$ ha un minimo assoluto in $C$ . Se il limite è $-\infty$ , ha un massimo assoluto.

Esempio. $f(x,y)=x^2+y^2-xy\ge\frac12(x^2+y^2)$ (perché $xy\le\frac12(x^2+y^2)$ ) $\to+\infty$ : ha minimo assoluto su $\mathbb{R}^2$ (è $0$ nell'origine); non ha massimo, essendo illimitata superiormente.

Definizione. $E\subseteq\mathbb{R}^n$ è connesso per archi se per ogni $\underline x,\underline y\in E$ esiste una curva continua $\underline\gamma:[a,b]\to E$ con $\underline\gamma(a)=\underline x$ , $\underline\gamma(b)=\underline y$ (cioè il sostegno sta in $E$ ).

Teorema degli zeri. Sia $E\subseteq\mathbb{R}^n$ connesso, $f:E\to\mathbb{R}$ continua. Se $f(\underline x)>0$ e $f(\underline y)<0$ per due punti di $E$ , esiste $\underline z\in E$ con $f(\underline z)=0$ .

Esempio. $f(x,y)=x^2-y^2-1$ . $Z=\{x^2-y^2=1\}$ è l'iperbole equilatera con vertici $(\pm1,0)$ e asintoti $y=\pm x$ , e divide il piano in tre regioni connesse: a sinistra del ramo sinistro $R_1$ , la fascia centrale $R_2$ , a destra del ramo destro $R_3$ . Punti di prova: $f(-2,0)=3>0$ , $f(0,0)=-1<0$ , $f(2,0)=3>0$ . Quindi $f>0$ in $R_1\cup R_3$ , $f<0$ in $R_2$ .

Grafico interattivo: Segno di f = x² − y² − 1: f > 0 nelle due regioni esterne ai rami dell'iperbole, f < 0 tra i rami (contiene l'origine)

3. Calcolo differenziale per funzioni scalari

Derivate parziali, differenziabilità e piano tangente

Definizione (derivata parziale, gradiente). Sia $f : X\subseteq\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ e $\underline x_0$ interno a $X$ . La derivata parziale rispetto a $x_i$ è $\frac{\partial f}{\partial x_i}(\underline x_0) = f_{x_i}(\underline x_0) = \lim_{h\to0}\frac{f(\underline x_0 + h\,\underline e_i) - f(\underline x_0)}{h},$ se il limite esiste finito. Se esistono tutte le derivate parziali, $f$ è derivabile in $\underline x_0$ e il gradiente è il vettore $\nabla f(\underline x_0) = \big(f_{x_1}(\underline x_0),\dots,f_{x_n}(\underline x_0)\big)$ .

Esempio. $f(x,y)=e^{x^2y}$ : $f_x = 2xy\,e^{x^2y}$ , $f_y = x^2e^{x^2y}$ , quindi $\nabla f(1,1)=(2e,e)$ .

Definizione (differenziabile). $f$ è differenziabile in $\underline x_0$ (interno) se esiste $\underline a\in\mathbb{R}^n$ tale che $f(\underline x_0+\underline h) = f(\underline x_0) + \underline a\cdot\underline h + o(|\underline h|)\quad(\underline h\to\underline 0),$ cioè $\displaystyle\lim_{\underline h\to\underline 0}\frac{f(\underline x_0+\underline h)-f(\underline x_0)-\underline a\cdot\underline h}{|\underline h|}=0$ .

Teorema (D). Se $f$ è differenziabile in $\underline x_0$ allora (1) $f$ è continua in $\underline x_0$ ; (2) esistono tutte le derivate parziali e $\underline a=\nabla f(\underline x_0)$ .

Esempio. $f(x,y)=\sqrt{|x|}\,y$ in $(0,0)$ : $f(x,0)=0$ e $f(0,y)=0$ , quindi $\nabla f(0,0)=(0,0)$ . L'errore relativo è $\dfrac{\sqrt{|x|}\,y}{\sqrt{x^2+y^2}} = \rho^{1/2}\sqrt{|\cos\theta|}\sin\theta$ , in modulo $\le\rho^{1/2}\to0$ : $f$ è differenziabile in $(0,0)$ (anche se non lo è in $(0,y_0)$ , $y_0\ne0$ , dove $f_x$ non esiste).

Definizione (iperpiano tangente). Se $f$ è differenziabile in $\underline x_0$ , l'iperpiano tangente al grafico in $(\underline x_0,f(\underline x_0))$ è $z=f(\underline x_0)+\nabla f(\underline x_0)\cdot(\underline x-\underline x_0).$ Per $n=1$ è la retta tangente; per $n=2$ è il piano tangente $z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0),$ con vettore normale $\underline N=(-f_x(x_0,y_0),\,-f_y(x_0,y_0),\,1)$ (dall'equazione $-f_x\,x - f_y\,y + z = \text{cost}$ ).

Esempio. $f=e^{x^2y}$ in $(1,1)$ , punto del grafico $(1,1,e)$ : $f=e$ , $f_x=2e$ , $f_y=e$ , quindi $z=e+2e(x-1)+e(y-1)=2ex+ey-2e,\qquad\underline N=(-2e,-e,1).$

Teorema del differenziale totale. Se in un intorno di $\underline x_0$ esistono tutte le derivate parziali di $f$ e sono continue in $\underline x_0$ , allora $f$ è differenziabile in $\underline x_0$ .

Definizione ( $C^1$ ). Su un aperto $X$ , $f$ è di classe $C^1(X)$ se è continua, esistono tutte le derivate parziali e sono continue in $X$ . Per il teorema, $f\in C^1(X)\Rightarrow f$ differenziabile in ogni punto di $X$ .

Esempio. $e^{x^2y}$ ha derivate parziali continue su $\mathbb{R}^2$ : è $C^1$ , quindi differenziabile ovunque, e ha piano tangente in ogni punto.

Teorema (derivazione lungo una curva). Se $\underline r:I\to X$ è derivabile in $t$ e $f$ è differenziabile in $\underline r(t)$ , allora $(f\circ\underline r)'(t)=\nabla f(\underline r(t))\cdot\underline r'(t)=\sum_{i=1}^n f_{x_i}(\underline r(t))\,r_i'(t).$

Teorema (funzione di una variabile composta con $g$ ). Se $g:X\to\mathbb{R}$ è differenziabile in $\underline x$ e $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ è derivabile in $g(\underline x)$ , allora $\nabla(\varphi\circ g)(\underline x)=\varphi'(g(\underline x))\,\nabla g(\underline x)$ .

Esempio. $\nabla\big(\log(x^2+y^2)\big)=\dfrac{1}{x^2+y^2}(2x,2y)$ . Esempio. $\underline r(t)=(\cos t,\sin t)$ e $f(x,y)=x^2y$ : $(f\circ\underline r)'(t)=2xy\cdot(-\sin t)+x^2\cos t=-2\cos t\sin^2t+\cos^3t$ .

Derivate direzionali, formula del gradiente e curve di livello

Definizione. Sia $\underline x_0$ interno al dominio di $f$ e $\underline v\in\mathbb{R}^n$ un versore ( $|\underline v|=1$ ). La derivata direzionale di $f$ in $\underline x_0$ lungo $\underline v$ è $D_{\underline v}f(\underline x_0)=\frac{\partial f}{\partial\underline v}(\underline x_0)=\lim_{t\to0}\frac{f(\underline x_0+t\,\underline v)-f(\underline x_0)}{t}=h'(0),\qquad h(t)=f(\underline x_0+t\underline v),$ se il limite esiste finito.

Esempio (dalla definizione). $f(x,y)=e^{x^2y}$ , $\underline v=(a,b)$ con $a^2+b^2=1$ . Con $h(t)=e^{(x_0+ta)^2(y_0+tb)}$ si ha $h'(t)=h(t)\,[2a(x_0+ta)(y_0+tb)+b(x_0+ta)^2]$ , quindi $D_{\underline v}f(x_0,y_0)=e^{x_0^2y_0}\,(2a\,x_0y_0+b\,x_0^2)=a\,f_x+b\,f_y .$ Questa uguaglianza non è un caso.

Teorema (formula del gradiente) (D). Se $f$ è differenziabile in $\underline x_0$ , allora per ogni versore $\underline v$ esiste $D_{\underline v}f(\underline x_0)$ e $D_{\underline v}f(\underline x_0)=\nabla f(\underline x_0)\cdot\underline v .$

Esempio. $f=e^{x^2y}$ in $(1,1)$ , $\nabla f=(2e,e)$ . Nella direzione $\underline v=\big(\frac35,\frac45\big)$ (norma $1$ ): $D_{\underline v}f=\frac{6e}{5}+\frac{4e}{5}=2e$ . Nella direzione $(1,1)$ non normalizzata bisogna prima dividere per $\sqrt2$ : $\underline v=\frac1{\sqrt2}(1,1)$ e $D_{\underline v}f=\frac{3e}{\sqrt2}$ .

Teorema (D). Se $\nabla f(\underline x)\ne\underline 0$ :

la derivata direzionale è massima per $\alpha=0$ , cioè lungo $\underline v_{\max}=\dfrac{\nabla f(\underline x)}{|\nabla f(\underline x)|}$ , e vale $|\nabla f(\underline x)|$ ;

è minima per $\alpha=\pi$ , cioè lungo $\underline v_{\min}=-\dfrac{\nabla f(\underline x)}{|\nabla f(\underline x)|}$ , e vale $-|\nabla f(\underline x)|$ ;

è nulla nelle direzioni ortogonali a $\nabla f(\underline x)$ ( $\alpha=\frac\pi2$ ). Se $\nabla f(\underline x)=\underline 0$ , tutte le derivate direzionali sono nulle.

Esempio (la collina). Un'altura ha quota (in metri) $z=h(x,y)=400-\dfrac{x^2+4y^2}{100}$ , con $x,y$ in metri. In $(10,5)$ : $h=400-\frac{100+100}{100}=398$ , $\nabla h=\big(-\frac{x}{50},-\frac{2y}{25}\big)=(-0.2,-0.4)$ e $|\nabla h|=\sqrt{0.2}\approx0.447$ . La salita più ripida è lungo $\frac{\nabla h}{|\nabla h|}=\big(-\frac1{\sqrt5},-\frac2{\sqrt5}\big)$ (verso la cima, nell'origine), con pendenza $0.447$ m di quota per metro orizzontale (circa $24^\circ$ ); la discesa più ripida è la direzione opposta. Camminando lungo $\underline v=\big(\frac2{\sqrt5},-\frac1{\sqrt5}\big)$ , perpendicolare al gradiente ( $\nabla h\cdot\underline v=\frac{-0.4+0.4}{\sqrt5}=0$ ), si resta, al primo ordine, a quota costante: si segue la curva di livello (la "isoipsa").

Teorema (D). Sia $f$ differenziabile in $(x_0,y_0)$ e $\underline r:I\to\mathbb{R}^2$ una curva regolare con $\underline r(t_0)=(x_0,y_0)$ il cui sostegno sta nell'insieme di livello $L_c=\{f=c\}$ . Allora $\nabla f(x_0,y_0)\cdot\underline r'(t_0)=0$ : il gradiente è ortogonale al vettore tangente alla curva. Se $\nabla f(x_0,y_0)\ne\underline 0$ , la retta tangente alla curva di livello in $(x_0,y_0)$ è $f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)=0 .$

Esempio (ellisse). L'ellisse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ è il livello $1$ di $f=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ , con $\nabla f=\big(\frac{2x}{a^2},\frac{2y}{b^2}\big)$ , mai nullo sull'ellisse. La tangente in $(x_0,y_0)$ è $\frac{2x_0}{a^2}(x-x_0)+\frac{2y_0}{b^2}(y-y_0)=0$ , cioè (dividendo per $2$ e usando $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$ ) $\frac{x_0\,x}{a^2}+\frac{y_0\,y}{b^2}=1 .$ Controllo con la parametrizzazione $(a\cos t,b\sin t)$ di Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali: per $t=\pi/4$ si riottiene $\frac xa+\frac yb=\sqrt2$ .

Derivate seconde, teorema di Schwarz e formula di Taylor del secondo ordine

Teorema (Schwarz). Se $f_{x_i}$ , $f_{x_j}$ e le derivate miste $f_{x_ix_j}$ , $f_{x_jx_i}$ esistono in un intorno di $\underline x_0$ e le due derivate miste sono continue in $\underline x_0$ , allora $f_{x_ix_j}(\underline x_0)=f_{x_jx_i}(\underline x_0)$ . In particolare, se $f\in C^2(A)$ la matrice hessiana è simmetrica in ogni punto.

Definizione (differenziale secondo). Se $f\in C^2(A)$ , il differenziale secondo in $\underline x_0$ è la forma quadratica associata all'hessiana: $d^2f(\underline x_0)(\underline h)=\underline h^TH_f(\underline x_0)\underline h=\sum_{i,j=1}^nf_{x_ix_j}(\underline x_0)h_ih_j .$ Per $n=2$ : $d^2f(x_0,y_0)(h,k)=f_{xx}h^2+2f_{xy}hk+f_{yy}k^2$ .

Esempio. $f=\sin(xy)$ : $\nabla f=(y\cos xy,\,x\cos xy)$ ; $f_{xx}=-y^2\sin xy$ , $f_{xy}=f_{yx}=\cos xy-xy\sin xy$ , $f_{yy}=-x^2\sin xy$ . In $(0,1)$ ( $xy=0$ ): $H_f(0,1)=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ e $d^2f(0,1)(h,k)=2hk$ .

Teorema (Taylor, resto di Peano) (D). Se $f\in C^2(A)$ e $\underline x_0\in A$ , allora per $\underline h\to\underline 0$ $f(\underline x_0+\underline h)=f(\underline x_0)+\nabla f(\underline x_0)\cdot\underline h+\frac12\,\underline h^TH_f(\underline x_0)\,\underline h+o(|\underline h|^2).$

Esempio 1. $f=\sin(xy)$ in $(0,1)$ : $f=0$ , $\nabla f=(1,0)$ , $H_f=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ . Con $h=x$ , $k=y-1$ : $\sin(xy)=0+x+0\cdot k+\tfrac12\,[\,2\,x(y-1)\,]+o(x^2+(y-1)^2)=x+x(y-1)+o(\cdot)=xy+o\big(x^2+(y-1)^2\big),$ cioè il polinomio di Taylor di secondo grado è proprio $xy$ .

Forme quadratiche e criteri di definitezza

Definizione. Sia $M\in\mathbb{R}^{n\times n}$ simmetrica. La forma quadratica associata è $q:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ , $q(\underline h)=\underline h^TM\underline h=\sum_{i,j=1}^nm_{ij}h_ih_j .$

Definizione (segno). La forma $q$ (o la matrice $M$ ) si dice

definita positiva se $q(\underline h)>0$ per ogni $\underline h\ne\underline 0$ ; definita negativa se $q(\underline h)<0$ per ogni $\underline h\ne\underline0$ ;

semidefinita positiva se $q(\underline h)\ge0$ per ogni $\underline h$ ; semidefinita negativa se $q(\underline h)\le0$ per ogni $\underline h$ ;

indefinita se esistono $\underline h^1,\underline h^2$ con $q(\underline h^1)>0>q(\underline h^2)$ .

Grafico interattivo: Livelli q = c delle forme h² − k² (indefinita: iperboli), h² + k²/4 (definita positiva: ellissi) e h² (semidefinita: rette parallele)

Teorema (criterio per $n=2$ ) (D). Sia $M=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}$ e $\det M=ac-b^2$ .

$q$ è definita positiva $\iff\det M>0$ e $a>0$ .

$q$ è definita negativa $\iff\det M>0$ e $a<0$ .

$q$ è indefinita $\iff\det M<0$ .

Se $\det M=0$ , $q$ è semidefinita (positiva se $a>0$ o $c>0$ , negativa se $a<0$ o $c<0$ ; se $a=c=0$ allora $b=0$ e $M=0$ ). Se $a=0$ si può usare $c$ al posto di $a$ (stesso enunciato).

Teorema (segno e autovalori) (D).

$q$ semidefinita positiva $\iff\lambda_i\ge0$ per ogni $i$ ; semidefinita negativa $\iff\lambda_i\le0$ per ogni $i$ .

$q$ definita positiva $\iff\lambda_i>0$ per ogni $i$ ; definita negativa $\iff\lambda_i<0$ per ogni $i$ .

$q$ indefinita $\iff$ esistono un autovalore $>0$ e uno $<0$ .

Corollario (stima). Se $\lambda_{\min}$ e $\lambda_{\max}$ sono il minimo e il massimo autovalore, per ogni $\underline h$ $\lambda_{\min}|\underline h|^2\le q(\underline h)\le\lambda_{\max}|\underline h|^2 .$

Esempio. $q=3h^2+2hk+3k^2$ : $M=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$ , $\det(M-\lambda I)=(3-\lambda)^2-1=0$ , $\lambda=2,4$ ; autovettori $(1,-1)$ e $(1,1)$ . Definita positiva; su $|\underline h|=1$ il minimo di $q$ è $2$ (in $\pm\frac{(1,-1)}{\sqrt2}$ ) e il massimo $4$ (in $\pm\frac{(1,1)}{\sqrt2}$ ).

Criterio di Sylvester ( $n=3$ ).

$M$ è definita positiva $\iff D_1>0$ , $D_2>0$ , $D_3>0$ .

$M$ è definita negativa $\iff D_1<0$ , $D_2>0$ , $D_3<0$ (i segni si alternano).

Se $\det M\ne0$ e i minori non rientrano in nessuno dei due schemi, la forma è indefinita (nessun autovalore è nullo e non hanno tutti lo stesso segno).

Esempio 1. $M=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}$ : $D_1=2>0$ ; $D_2=4-1=3>0$ ; $D_3=2\cdot(4-1)-1\cdot(2-0)=6-2=4>0$ . Definita positiva (gli autovalori sono $2$ , $2\pm\sqrt2$ , tutti $>0$ ). Esempio 2. $M=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ : $D_1=1>0$ , $D_2=1-4=-3<0$ : non definita positiva né negativa; $\det M=-3<0$ . Indefinita (autovalori $3,-1,1$ ). Esempio 3. $M=\begin{pmatrix}-2&1&0\\1&-2&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$ : $D_1=-2<0$ , $D_2=4-1=3>0$ , $D_3=3\cdot(-1)=-3<0$ : definita negativa (autovalori $-1,-1,-3$ ).

4. Ottimizzazione libera e funzioni convesse

Massimi e minimi liberi e natura dei punti critici

Definizione (estremi assoluti). $\mathbf{x}_0$ è un punto di massimo assoluto (o globale) se $f(\mathbf{x}_0) \ge f(\mathbf{x})$ per ogni $\mathbf{x} \in X$ ; di minimo assoluto se $f(\mathbf{x}_0) \le f(\mathbf{x})$ per ogni $\mathbf{x} \in X$ . Il numero $f(\mathbf{x}_0)$ si chiama valore massimo (minimo) e si scrive $\max_X f$ ( $\min_X f$ ).

Definizione (estremi relativi). $\mathbf{x}_0$ è un punto di massimo relativo (o locale) se esiste un intorno sferico $U$ di $\mathbf{x}_0$ tale che $f(\mathbf{x}_0) \ge f(\mathbf{x})$ per ogni $\mathbf{x} \in U \cap X$ ; per il minimo relativo si rovescia la disuguaglianza. L'estremo è forte (o stretto) se la disuguaglianza è stretta per ogni $\mathbf{x} \ne \mathbf{x}_0$ (in $X$ per gli assoluti, in $U \cap X$ per i relativi).

Esempio. $f(x,y) = x^2 + y^2$ ha in $(0,0)$ un minimo assoluto stretto: $f(x,y) > 0 = f(0,0)$ per ogni $(x,y) \ne (0,0)$ . Invece $f(x,y) = \cos x + \cos y$ ha in $(0,0)$ un massimo assoluto (vale $2$ , e $\cos \le 1$ ovunque) ma ha massimi assoluti anche in $(2\pi, 0)$ , $(0, 2\pi)$ , ...: l'estremo è assoluto ma non stretto.

Teorema (Fermat). Sia $A \subseteq \mathbb{R}^n$ aperto, $f : A \to \mathbb{R}$ , e sia $\mathbf{x}_0 \in A$ un punto di massimo o di minimo relativo. Se $f$ è derivabile in $\mathbf{x}_0$ (esistono tutte le derivate parziali), allora $\nabla f(\mathbf{x}_0) = \mathbf{0}, \qquad \text{cioè} \qquad \frac{\partial f}{\partial x_k}(\mathbf{x}_0) = 0 \quad \text{per } k = 1, \dots, n.$

Esempio. $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x$ ha $\nabla f = (2x - 2,\ 2y)$ , che si annulla solo in $(1, 0)$ . Infatti $f(x,y) = (x-1)^2 + y^2 - 1 \ge -1 = f(1,0)$ : lì c'è il minimo assoluto, e vale $-1$ .

Definizione (punto critico). Un punto $\mathbf{x}_0$ in cui $f$ è derivabile e $\nabla f(\mathbf{x}_0) = \mathbf{0}$ si chiama punto critico (o stazionario) di $f$ .

Definizione (punto di sella). Un punto critico $\mathbf{x}_0$ che non è né di massimo né di minimo relativo si chiama punto di sella: in ogni intorno di $\mathbf{x}_0$ la differenza $f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}_0)$ assume sia valori $> 0$ sia valori $< 0$ .

Teorema (condizioni sufficienti del secondo ordine). Sia $A$ aperto, $f \in C^2(A)$ , $\nabla f(\mathbf{x}_0) = \mathbf{0}$ e $H = H_f(\mathbf{x}_0)$ .

Se $H$ è definita positiva ( $q(\mathbf{h}) > 0$ per ogni $\mathbf{h} \ne \mathbf{0}$ ), $\mathbf{x}_0$ è un punto di minimo relativo forte.

Se $H$ è definita negativa, $\mathbf{x}_0$ è un punto di massimo relativo forte.

Se $H$ è indefinita ( $q$ assume valori di entrambi i segni), $\mathbf{x}_0$ è un punto di sella.

Se $H$ è solo semidefinita (o nulla), il criterio non decide.

Esempio. $f(x,y) = x^2 + 3y^2$ ha $\nabla f(0,0) = 0$ e $H = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 6\end{pmatrix}$ , con autovalori $2, 6 > 0$ : definita positiva, quindi minimo relativo forte in $(0,0)$ .

Corollario ( $n = 2$ ). Sia $\nabla f(x_0, y_0) = (0,0)$ e $f \in C^2$ .

$\det H > 0$ e $f_{xx} > 0$ : minimo relativo forte.

$\det H > 0$ e $f_{xx} < 0$ : massimo relativo forte.

$\det H < 0$ : punto di sella.

$\det H = 0$ : il criterio non decide.

Esempio completo. $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ .

Gradiente: $\nabla f = (3x^2 - 3y,\ 3y^2 - 3x)$ . Dal sistema $y = x^2$ e $x = y^2$ si ha $x = x^4$ , cioè $x(x^3 - 1) = 0$ : $x = 0$ oppure $x = 1$ . Punti critici $(0,0)$ e $(1,1)$ .
Hessiana: $H(x,y) = \begin{pmatrix} 6x & -3 \\ -3 & 6y\end{pmatrix}$ .
In $(0,0)$ : $H = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -3 & 0\end{pmatrix}$ , $\det H = -9 < 0$ : sella, con $f(0,0) = 0$ .
In $(1,1)$ : $H = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ -3 & 6\end{pmatrix}$ , $\det H = 27 > 0$ e $f_{xx} = 6 > 0$ : minimo relativo forte, con $f(1,1) = -1$ . (Gli autovalori sono $3$ e $9$ .) Il minimo non è assoluto: $f(x, 0) = x^3 \to -\infty$ per $x \to -\infty$ .

Teorema (Weierstrass generalizzato). Sia $C \subseteq \mathbb{R}^n$ chiuso e illimitato e $f : C \to \mathbb{R}$ continua. Se $\lim_{\substack{\|\mathbf{x}\| \to +\infty \\ \mathbf{x} \in C}} f(\mathbf{x}) = +\infty,$ allora $f$ ammette minimo assoluto in $C$ . Se il limite è $-\infty$ , ammette massimo assoluto.

Esempio. $f(x,y) = x^2 + y^2$ su $\mathbb{R}^2$ : tende a $+\infty$ all'infinito e infatti ha minimo assoluto $0$ ; non ha massimo, perché è illimitata superiormente.

Funzioni convesse di più variabili e minimi globali

Definizione (insieme convesso). $A \subseteq \mathbb{R}^n$ è convesso se per ogni $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in A$ il segmento $[\mathbf{x}, \mathbf{y}]$ è contenuto in $A$ . È strettamente convesso se, per $\mathbf{x} \ne \mathbf{y}$ in $A$ , il segmento aperto (senza estremi) sta nella parte interna di $A$ .

Esempio. Il disco $x^2 + y^2 \le 1$ è convesso; il semidisco $\{x^2 + y^2 \le 1,\ y \ge 0\}$ è convesso ma non strettamente: due punti sul diametro sono uniti da un segmento che sta sul bordo.

Definizione (funzione convessa). Sia $A \subseteq \mathbb{R}^n$ convesso e $f : A \to \mathbb{R}$ . $f$ è convessa se per ogni $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in A$ e ogni $t \in [0,1]$ $f\big((1-t)\mathbf{x} + t\mathbf{y}\big) \le (1-t)\,f(\mathbf{x}) + t\,f(\mathbf{y}).$ È strettamente convessa se per $\mathbf{x} \ne \mathbf{y}$ e $t \in (0,1)$ vale la disuguaglianza stretta. $f$ è concava se $-f$ è convessa (disuguaglianza rovesciata).

Esempio. $f(x) = x^2$ è strettamente convessa: per $x = 0$ , $y = 2$ , $t = \frac12$ si ha $f(1) = 1 < \frac12 f(0) + \frac12 f(2) = 2$ .

Teorema (primo ordine). Sia $A$ aperto e convesso e $f : A \to \mathbb{R}$ differenziabile. Allora $f$ è convessa se e solo se per ogni $\mathbf{x}, \mathbf{x}_0 \in A$ $f(\mathbf{x}) \ge f(\mathbf{x}_0) + \nabla f(\mathbf{x}_0)\cdot(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0).$ Inoltre $f$ è strettamente convessa se e solo se la disuguaglianza è stretta per $\mathbf{x} \ne \mathbf{x}_0$ .

Esempio. $f(x,y) = x^2 + y^2$ in $\mathbf{x}_0 = (1,0)$ : il piano tangente è $z = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1$ , e $x^2 + y^2 - (2x - 1) = (x-1)^2 + y^2 \ge 0$ : il grafico sta sopra.

Teorema (secondo ordine). Sia $A$ aperto e convesso e $f \in C^2(A)$ .

$f$ è convessa in $A$ $\iff$ $H_f(\mathbf{x})$ è semidefinita positiva per ogni $\mathbf{x} \in A$ .

Se $H_f(\mathbf{x})$ è definita positiva per ogni $\mathbf{x} \in A$ , allora $f$ è strettamente convessa. Il viceversa è falso.

Teorema (minimi globali). Sia $A$ aperto e convesso, $f : A \to \mathbb{R}$ convessa e differenziabile, e $\mathbf{x}_0 \in A$ con $\nabla f(\mathbf{x}_0) = \mathbf{0}$ . Allora $\mathbf{x}_0$ è un punto di minimo globale. Se $f$ è strettamente convessa, $\mathbf{x}_0$ è l'unico punto di minimo globale (e un punto critico, se esiste, è unico). Per $f$ concava: massimo globale.

Esempio. $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2z - 5$ . Il gradiente $(2x - 2,\ 2y,\ 2z - 2)$ si annulla in $(1,0,1)$ ; $H = 2I_3$ è definita positiva ovunque. Quindi $(1,0,1)$ è l'unico minimo globale e $\min f = 1 + 0 + 1 - 2 - 2 - 5 = -7$ . Non c'è massimo, perché $f \to +\infty$ lungo ogni retta.

5. Funzioni implicite ed estremi vincolati

Funzioni implicite e teorema di Dini nel piano

Definizione (funzione definita implicitamente). Un intervallo aperto $I$ e una funzione $g : I \to \mathbb{R}$ sono definiti implicitamente dall'equazione $f(x,y) = 0$ se $f(x, g(x)) = 0 \quad \text{per ogni } x \in I.$ Cioè il grafico di $g$ è contenuto in $L_0$ . Analogamente per $x = h(y)$ con $f(h(y), y) = 0$ .

Teorema (Dini, o delle funzioni implicite). Sia $A \subseteq \mathbb{R}^2$ aperto, $f \in C^1(A)$ , $(x_0, y_0) \in A$ con $f(x_0, y_0) = 0 \qquad \text{e} \qquad f_y(x_0, y_0) \ne 0.$ Allora esistono un intervallo aperto $I \ni x_0$ e una unica funzione $g : I \to \mathbb{R}$ (con valori in un opportuno intorno di $y_0$ ) tali che $g(x_0) = y_0$ e $f(x, g(x)) = 0$ per ogni $x \in I$ . Inoltre $g \in C^1(I)$ e $g'(x) = -\frac{f_x(x, g(x))}{f_y(x, g(x))} \qquad (x \in I). \qquad \text{(FDI)}$ Se $f \in C^k(A)$ , allora $g \in C^k(I)$ .

Esempio. La circonferenza $f = x^2 + y^2 - 1$ ha $\nabla f = (2x, 2y)$ , nullo solo nell'origine che non sta sulla curva. Quindi tutti i punti sono non critici. Dove $y \ne 0$ ( $f_y = 2y \ne 0$ ) si esplicita $y = g(x)$ con $g' = -\frac{x}{y}$ ; dove $x \ne 0$ si esplicita $x = h(y)$ con $h' = -\frac{y}{x}$ .

Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di Lagrange

Definizione (estremo vincolato). $P \in \Gamma$ è punto di massimo (minimo) relativo vincolato se esiste un intorno $U$ di $P$ con $f(P) \ge f(Q)$ ( $\le$ ) per ogni $Q \in \Gamma \cap U$ .

Teorema (moltiplicatori di Lagrange, vincolo in $\mathbb{R}^2$ ). Sia $A$ aperto, $f, g \in C^1(A)$ , $\Gamma = \{g = b\}$ . Se $P \in \Gamma$ è un punto di estremo relativo vincolato di $f|_\Gamma$ e $\nabla g(P) \ne \mathbf{0},$ allora esiste $\lambda \in \mathbb{R}$ (il moltiplicatore) tale che $\nabla f(P) = \lambda\,\nabla g(P).$

Grafico interattivo: Vincolo x² + y² = 1 e livelli di f = 2x² + y² − x. Il livello f = 3/4 (verde) tocca la circonferenza in (1/2, ±√3/2): minimi vincolati. Il livello f = 3 (arancio) la tocca in (−1, 0): massimo. Nei punti di tangenza ∇f e ∇g sono paralleli

Definizione (punto critico vincolato). Un punto $P \in \Gamma$ con $\nabla g(P) \ne \mathbf{0}$ per cui esiste $\lambda$ con $\nabla f(P) = \lambda\nabla g(P)$ si dice punto critico vincolato (o stazionario) di $f$ su $\Gamma$ .

Esempio (stesso problema di prima). $f = 2x^2 + y^2 - x$ , $g = x^2 + y^2$ , $b = 1$ . Il sistema: $\begin{cases} 4x - 1 = 2\lambda x \\ 2y = 2\lambda y \\ x^2 + y^2 = 1\end{cases}$ La seconda equazione dà $y(1 - \lambda) = 0$ : o $y = 0$ o $\lambda = 1$ .

$y = 0$ : dal vincolo $x = \pm1$ ; i punti sono $(1,0)$ (con $\lambda = \frac32$ ) e $(-1,0)$ (con $\lambda = \frac52$ ).
$\lambda = 1$ : la prima diventa $4x - 1 = 2x$ , cioè $x = \frac12$ ; dal vincolo $y^2 = \frac34$ , $y = \pm\frac{\sqrt3}2$ . Quattro punti, con $f(1,0) = 1$ , $f(-1,0) = 3$ , $f\left(\frac12, \pm\frac{\sqrt3}2\right) = \frac34$ : stesso risultato del metodo diretto. La circonferenza è compatta, quindi (Weierstrass) massimo e minimo esistono e sono fra questi candidati: $\max = 3$ , $\min = \frac34$ . Il punto $(1,0)$ è un estremo relativo vincolato (massimo locale su $\Gamma$ ) ma non assoluto.

6. Funzioni a valori vettoriali e matrice jacobiana

Funzioni a valori vettoriali, matrice jacobiana e trasformazioni di coordinate

Definizione (limite). Se $\mathbf{x}_0$ è punto di accumulazione di $A$ e $\mathbf{L} \in \mathbb{R}^m$ , $\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0}\mathbf{f}(\mathbf{x}) = \mathbf{L} \iff \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0}\|\mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{L}\| = 0.$

Proposizione (limite per componenti). $\mathbf{f} \to \mathbf{L}$ se e solo se $f_i(\mathbf{x}) \to L_i$ per ogni $i = 1, \dots, m$ . In particolare $\mathbf{f}$ è continua se e solo se lo sono tutte le componenti.

Definizione (differenziabilità). $\mathbf{f} : A \to \mathbb{R}^m$ , $A \subseteq \mathbb{R}^n$ aperto, è differenziabile in $\mathbf{x}_0$ se ogni componente $f_i$ è differenziabile in $\mathbf{x}_0$ , cioè $f_i(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) - f_i(\mathbf{x}_0) = \nabla f_i(\mathbf{x}_0)\cdot\mathbf{h} + o(\|\mathbf{h}\|), \qquad \mathbf{h} \to \mathbf{0}, \quad i = 1, \dots, m.$

Definizione (matrice jacobiana). La matrice jacobiana di $\mathbf{f}$ in $\mathbf{x}_0$ è la matrice $m \times n$ ( $m$ righe, $n$ colonne) $D\mathbf{f}(\mathbf{x}_0) = J_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}_0) = \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\mathbf{x}_0)\right)_{\substack{i = 1,\dots,m \\ j = 1,\dots,n}} = \begin{pmatrix} \nabla f_1(\mathbf{x}_0)^T \\ \vdots \\ \nabla f_m(\mathbf{x}_0)^T\end{pmatrix}.$ La riga $i$ è il gradiente della componente $f_i$ ; la colonna $j$ contiene le derivate di tutte le componenti rispetto a $x_j$ .

Corollario (differenziale totale). Se $A$ è aperto e tutte le componenti sono di classe $C^1(A)$ , allora $\mathbf{f}$ è differenziabile in ogni punto di $A$ (infatti ogni $f_i \in C^1$ è differenziabile, Derivate parziali, differenziabilità e piano tangente).

Esempio. Per $\mathbf{f}(u,v) = (uv,\ u + v,\ u - v)$ : $D\mathbf{f}(u,v) = \begin{pmatrix} v & u \\ 1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix} \quad (3 \times 2), \qquad D\mathbf{f}(1,2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}.$ Vale $\mathbf{f}(1,2) = (2, 3, -1)$ e, per un piccolo spostamento $\mathbf{h} = (0{,}1;\ -0{,}1)$ , l'approssimazione lineare è $(2,3,-1) + D\mathbf{f}(1,2)\mathbf{h} = (2,3,-1) + (0{,}1;\ 0;\ 0{,}2) = (2{,}1;\ 3;\ -0{,}8)$ , e il valore esatto $\mathbf{f}(1{,}1;\ 1{,}9) = (2{,}09;\ 3;\ -0{,}8)$ differisce di $0{,}01$ .

Teorema (regola della catena). Siano $\mathbf{f} : A \subseteq \mathbb{R}^n \to B \subseteq \mathbb{R}^m$ differenziabile in $\mathbf{x}_0$ e $\mathbf{g} : B \to \mathbb{R}^k$ differenziabile in $\mathbf{f}(\mathbf{x}_0)$ . Allora $\mathbf{g}\circ\mathbf{f}$ è differenziabile in $\mathbf{x}_0$ e $D(\mathbf{g}\circ\mathbf{f})(\mathbf{x}_0) = D\mathbf{g}\big(\mathbf{f}(\mathbf{x}_0)\big)\cdot D\mathbf{f}(\mathbf{x}_0).$

Esempio (numerico). Con $\mathbf{f}(u,v) = (uv,\ u + v,\ u - v)$ e $\mathbf{g}(x,y,z) = (x + yz,\ x^2 - z)$ ( $\mathbf{g} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ ), calcoliamo $D(\mathbf{g}\circ\mathbf{f})(1,2)$ . Si ha $\mathbf{f}(1,2) = (2,3,-1)$ , $D\mathbf{g}(x,y,z) = \begin{pmatrix} 1 & z & y \\ 2x & 0 & -1\end{pmatrix}, \qquad D\mathbf{g}(2,3,-1) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & -1\end{pmatrix},$ e quindi $D(\mathbf{g}\circ\mathbf{f})(1,2) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 7 & 5\end{pmatrix}.$ (Controllo: $\mathbf{g}\circ\mathbf{f} = (uv + (u+v)(u-v),\ u^2v^2 - u + v)$ e le sue derivate in $(1,2)$ sono: $\partial_u(uv + u^2 - v^2) = v + 2u = 4$ , $\partial_v(uv + u^2 - v^2) = u - 2v = -3$ , $\partial_u(u^2v^2 - u + v) = 2uv^2 - 1 = 7$ , $\partial_v(u^2v^2 - u + v) = 2u^2v + 1 = 5$ ✓.)

7. Integrali doppi

Integrali doppi, domini semplici e formule di riduzione

Definizione (integrale doppio su un rettangolo). $f$ è integrabile (secondo Riemann) su $R$ se $\lim_{n\to\infty}S_n$ esiste finito e non dipende dalla scelta dei punti $P_{hk}$ . In tal caso $\iint_R f(x,y)\,dx\,dy = \lim_{n\to\infty}S_n.$

Esempio (funzione costante). Se $f \equiv k$ , ogni $S_n = k\sum|I_{hk}| = k\,(b-a)(d-c)$ , quindi $\iint_R k\,dx\,dy = k\,|R|$ : il volume di un parallelepipedo è area di base per altezza.

Teorema (integrabilità). Se $f$ è continua su un rettangolo chiuso $R$ , allora $f$ è integrabile su $R$ .

Teorema (Fubini sui rettangoli). Se $f \in C(R)$ , $R = [a,b]\times[c,d]$ , $\iint_R f\,dx\,dy = \int_c^d\left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dy = \int_a^b\left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)dx.$

Esempio. $\displaystyle I = \iint_{[0,1]\times[0,2]}\frac{1}{1+x+y}\,dx\,dy$ . La funzione non è definita sulla retta $x+y = -1$ , che non incontra il rettangolo (lì $1+x+y \ge 1$ ): è continua su $R$ . Si integra prima in $y$ : $\int_0^2\frac{dy}{1+x+y} = \Big[\ln(1+x+y)\Big]_{y=0}^{y=2} = \ln(3+x) - \ln(1+x).$ Poi, per parti ( $\int\ln u\,dx = x\ln u - \int\frac{x}{u}dx$ con $u = 3 + x$ o $u = 1 + x$ ) e usando $\frac{x}{3+x} = 1 - \frac{3}{3+x}$ , $\frac{x}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x}$ : $I = \int_0^1[\ln(3+x) - \ln(1+x)]\,dx = 3\ln\frac43 \approx 0{,}863.$ (Nell'altro ordine si ottiene lo stesso risultato.)

Definizione. $f$ è integrabile su $\Omega$ se $\tilde f$ è integrabile su $R$ , e si pone $\displaystyle\iint_\Omega f = \iint_R\tilde f$ .

Definizione (dominio $y$ -semplice, o normale rispetto all'asse $x$ ). Esistono $[a,b]$ e $g_1, g_2\in C[a,b]$ con $g_1\le g_2$ tali che $\Omega = \{(x,y) : a\le x\le b,\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\}.$ Dominio $x$ -semplice (normale rispetto all'asse $y$ ): $\Omega = \{(x,y) : c\le y\le d,\ h_1(y)\le x\le h_2(y)\}$ con $h_1\le h_2$ continue. Dominio regolare: unione finita di domini semplici.

Teorema (integrabilità). Se $\Omega$ è un dominio regolare e $f \in C(\Omega)$ , allora $f$ è integrabile su $\Omega$ .

Teorema (formule di riduzione). Sia $f\in C(\Omega)$ .

Se $\Omega = \{a\le x\le b,\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\}$ è $y$ -semplice: $\iint_\Omega f\,dx\,dy = \int_a^b\left(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\right)dx.$

Se $\Omega = \{c\le y\le d,\ h_1(y)\le x\le h_2(y)\}$ è $x$ -semplice: $\iint_\Omega f\,dx\,dy = \int_c^d\left(\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)\,dx\right)dy.$

Definizione (area). Un insieme limitato $\Omega$ è misurabile (secondo Peano-Jordan) se la funzione costante $1$ è integrabile su $\Omega$ , e la sua area (misura bidimensionale) è $|\Omega| = \iint_\Omega 1\,dx\,dy.$

Teorema. Se $\Omega$ è misurabile, $f$ è limitata su $\Omega$ e continua tranne che su un insieme di area nulla, allora $f$ è integrabile.

Esempio 1. $f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ per $(x,y)\ne(0,0)$ , $f(0,0) = 0$ , sul disco unitario. L'unico punto di discontinuità è l'origine (area nulla). Inoltre $f$ è limitata: da $(|x|-|y|)^2\ge0$ si ha $x^2+y^2\ge2|xy|$ e $|f|\le\frac12$ . Quindi è integrabile.

Definizione (media integrale). Se $|\Omega|\ne0$ , la media integrale di $f$ su $\Omega$ è $m = \frac{1}{|\Omega|}\iint_\Omega f$ .

Teorema (della media integrale). Se $\Omega$ è un dominio regolare connesso e $f\in C(\Omega)$ , esiste $(x_0,y_0)\in\Omega$ con $f(x_0,y_0) = \frac{1}{|\Omega|}\iint_\Omega f\,dx\,dy.$

Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussiana

Definizione (diffeomorfismo). $T : D'\to D$ è un diffeomorfismo (globale) se è biiettiva, di classe $C^1$ e la sua inversa è di classe $C^1$ .

Teorema (cambiamento di variabili). Sia $D\subseteq\mathbb{R}^2$ un dominio regolare, $T : D'\to D$ , $T(u,v) = (x(u,v), y(u,v))$ un diffeomorfismo e $f\in C(D)$ . Allora $\iint_Df(x,y)\,dx\,dy = \iint_{D'}f\big(x(u,v),y(u,v)\big)\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|du\,dv,\qquad \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| = |\det DT(u,v)|.$

Esempio (lineare). Area dell'ellisse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le1$ . Con $x = au$ , $y = bv$ la matrice è $\operatorname{diag}(a,b)$ , $\det = ab$ , e l'ellisse corrisponde al disco $u^2+v^2\le1$ di area $\pi$ . Quindi $|E| = ab\cdot\pi = \pi ab$ .

Proposizione. Sia $D$ misurabile e simmetrico rispetto all'asse $y$ (se $(x,y)\in D$ allora $(-x,y)\in D$ ) e $f$ integrabile su $D$ .

Se $f$ è dispari in $x$ , cioè $f(-x,y) = -f(x,y)$ : $\iint_Df = 0$ .

Se $f$ è pari in $x$ : $\iint_Df = 2\iint_{D\cap\{x\ge0\}}f$ .

Definizione (successione invadente). Una successione di insiemi $D_j$ invade $\mathbb{R}^2$ se ogni $D_j$ è un dominio regolare, $D_j\subseteq D_{j+1}$ , e $\bigcup_jD_j = \mathbb{R}^2$ . Esempi: i dischi $\overline{B}_j(\mathbf{0})$ e i quadrati $[-j,j]^2$ .

Definizione. $\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^2}f\,dx\,dy := \lim_{j\to\infty}\iint_{D_j}f\,dx\,dy.$

Teorema. Se $f\ge0$ è continua, il valore del limite non dipende dalla successione invadente.

Esempio (potenze di $\rho$ ). Sia $f(x,y) = \frac{1}{(x^2+y^2)^\alpha}$ .

Vicino all'origine: $\iint_{\varepsilon\le\rho\le1}f = 2\pi\int_\varepsilon^1\rho^{1-2\alpha}d\rho$ . Per $\varepsilon\to0$ il limite è finito se e solo se $1-2\alpha>-1$ , cioè $\alpha<1$ (per $\alpha=1$ si ha $2\pi\ln\frac1\varepsilon\to\infty$ ).
All'infinito: $\iint_{1\le\rho\le R}f = 2\pi\int_1^R\rho^{1-2\alpha}d\rho$ ha limite finito per $R\to\infty$ se e solo se $1-2\alpha<-1$ , cioè $\alpha>1$ . Quindi nessun $\alpha$ rende $f$ integrabile sia vicino all'origine sia all'infinito, ma $\alpha<1$ lo è vicino a $0$ e $\alpha>1$ vicino a $\infty$ .

Teorema (integrale di Gauss). $\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-\frac{x^2+y^2}2}\,dx\,dy = 2\pi$ e di conseguenza $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}2}\,dx = \sqrt{2\pi}$ .

Esempio (con un'ellisse). $\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+4y^2)}dx\,dy$ . Con $x=u$ , $y=v/2$ (determinante $\frac12$ ): $\frac12\iint e^{-(u^2+v^2)}du\,dv = \frac12\left(\int e^{-t^2}dt\right)^2 = \frac12\pi = \frac\pi2$ .

8. Integrali tripli e solidi di rotazione

Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazione

Definizione (dominio $z$ -semplice). $E = \{(x,y,z) : (x,y)\in D,\ h_1(x,y)\le z\le h_2(x,y)\}$ , con $D\subset\mathbb{R}^2$ dominio regolare (la proiezione di $E$ sul piano $xy$ ) e $h_1\le h_2$ continue su $D$ .

Teorema (integrazione per fili). Se $f\in C(E)$ e $E$ è $z$ -semplice, $\iiint_Ef\,dx\,dy\,dz = \iint_D\left(\int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)}f(x,y,z)\,dz\right)dx\,dy.$

Definizione (dominio stratificato rispetto a $z$ ). $E = \{(x,y,z) : a\le z\le b,\ (x,y)\in E_z\}$ , dove $E_z\subset\mathbb{R}^2$ è la sezione (strato) di $E$ a quota $z$ , un dominio regolare.

Teorema (integrazione per strati). Se $f\in C(E)$ , $\iiint_Ef\,dx\,dy\,dz = \int_a^b\left(\iint_{E_z}f(x,y,z)\,dx\,dy\right)dz.$

Teorema. Se $T : E'\to E$ , $(u,v,w)\mapsto(x,y,z)$ , è un diffeomorfismo tra domini regolari di $\mathbb{R}^3$ e $f\in C(E)$ , $\iiint_Ef\,dx\,dy\,dz = \iiint_{E'}f(T(u,v,w))\left|\det DT(u,v,w)\right|du\,dv\,dw.$

Esempio (ellissoide). L'ellissoide $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le1$ è l'immagine della palla unitaria con $x=au$ , $y=bv$ , $z=cw$ (determinante $abc$ ): $|E| = abc\cdot\frac43\pi = \frac43\pi abc$ .

Teorema (Pappo-Guldino, volume). $\displaystyle|R(A)|_3 = \bar\theta\,x_B\,|A|_2,$ cioè il volume del solido è l'area di $A$ per la lunghezza dell'arco percorso dal baricentro $(x_B,z_B)$ di $A$ ( $\bar\theta x_B$ , ossia $2\pi x_B$ per una rotazione completa).

Esempio (toro). Il disco di raggio $r$ con centro a distanza $R>r$ dall'asse, ruotato di $2\pi$ : $|A|=\pi r^2$ , $x_B = R$ (centro del disco): $V = \pi r^2\cdot2\pi R = 2\pi^2r^2R$ .

9. Campi vettoriali, lavoro e forme differenziali

Campi vettoriali, lavoro e forme differenziali

Definizione (campo vettoriale). Sia $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ un aperto, con $n=2$ o $n=3$ . Un campo vettoriale è una funzione $\mathbf{F}:\Omega\to\mathbb{R}^n$ , cioè una regola che a ogni punto $P\in\Omega$ associa un vettore $\mathbf{F}(P)$ "applicato" in $P$ . In componenti $\mathbf{F}=(F_1,\dots,F_n)$ , dove ogni $F_i:\Omega\to\mathbb{R}$ è una funzione scalare. Si dice di classe $C^1$ se lo sono tutte le componenti.

Esempio. $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ in $\mathbb{R}^2$ : nel punto $(1,0)$ vale $(0,1)$ , in $(0,1)$ vale $(-1,0)$ , in $(2,0)$ vale $(0,2)$ . È il campo "di rotazione" attorno all'origine.

Grafico interattivo: Campo di rotazione F = (-y, x): i vettori (disegnati in scala 0,3) sono perpendicolari al raggio e più lunghi lontano dall'origine

Definizione (forma differenziale lineare). Una forma differenziale lineare (o 1-forma) su $\Omega$ è una funzione che a ogni punto associa un covettore: $\omega=F_1\,dx+F_2\,dy+F_3\,dz$ , dove $dx,dy,dz$ sono i covettori costanti della base duale, $dx=(1,0,0)$ , $dy=(0,1,0)$ , $dz=(0,0,1)$ .

Esempio. $\omega=3xyz\,dx+xy^2\,dy+e^z\sin x\,dz$ corrisponde al campo $\mathbf{F}=(3xyz,\ xy^2,\ e^z\sin x)$ ; applicata al campo $\mathbf{G}=(2z,\ e^xy,\ x\log y)$ dà $\omega(\mathbf{G})=6xyz^2+xe^xy^3+xe^z\sin x\,\log y$ .

Definizione (lavoro). Sia $\mathbf{F}:\Omega\to\mathbb{R}^n$ un campo continuo e $\gamma$ una curva regolare a tratti con parametrizzazione $\mathbf{r}:[a,b]\to\Omega$ , $t\mapsto\mathbf{r}(t)$ . Il lavoro di $\mathbf{F}$ lungo $\gamma$ (integrale curvilineo di seconda specie, integrale di $\omega$ su $\gamma$ ) è $L=\int_\gamma\omega=\int_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt .$ Per una curva regolare a tratti si somma sui pezzi. Se $\gamma$ è chiusa il lavoro si chiama anche circuitazione e si scrive $\oint_\gamma$ .

Esempio. $\mathbf{F}=(2xy,\ x^2)$ lungo $\mathbf{r}(t)=(t,t^2)$ , $t\in[0,1]$ . Si ha $\mathbf{r}'=(1,2t)$ , $\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(2t^3,\ t^2)$ , quindi $\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}'=2t^3+2t^3=4t^3$ e $L=\int_0^14t^3\,dt=1$ .

Teorema (D, comportamento rispetto al cambio di parametro). Sia $\mathbf{r}:[a,b]\to\Omega$ una parametrizzazione regolare e $\varphi:[c,d]\to[a,b]$ di classe $C^1$ con $\varphi'\ne0$ , biunivoca; sia $\tilde{\mathbf{r}}=\mathbf{r}\circ\varphi$ . Se $\varphi'>0$ allora $\int_{\tilde\gamma}\omega=\int_\gamma\omega$ ; se $\varphi'<0$ allora $\int_{\tilde\gamma}\omega=-\int_\gamma\omega$ .

Campi conservativi, irrotazionali e insiemi semplicemente connessi

Definizione (campo conservativo, forma esatta). Sia $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ aperto e $\mathbf{F}\in C^1(\Omega;\mathbb{R}^n)$ . $\mathbf{F}$ si dice conservativo in $\Omega$ se esiste una funzione scalare $U:\Omega\to\mathbb{R}$ tale che $\nabla U=\mathbf{F}\quad\text{in }\Omega,\qquad\text{cioè }\ \frac{\partial U}{\partial x_i}=F_i\ \ \forall i .$ $U$ si chiama potenziale di $\mathbf{F}$ . Nel linguaggio delle forme, $\omega=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ si dice esatta e $U$ è una primitiva di $\omega$ : $dU=\omega$ . Poiché $\mathbf{F}=\nabla U$ è $C^1$ , $U$ è di classe $C^2$ .

Esempio. $U=x^2y$ ha $\nabla U=(2xy,\ x^2)$ , quindi $\mathbf{F}=(2xy,x^2)$ è conservativo in $\mathbb{R}^2$ . Anche $U=xy$ per $(y,x)$ , e $U=\tfrac12(x^2+y^2)$ per il campo radiale $(x,y)$ .

Teorema (D, teorema fondamentale del calcolo per i campi). Se $\mathbf{F}=\nabla U$ in $\Omega$ e $\gamma\subset\Omega$ è una curva regolare a tratti con punto iniziale $P_1=\mathbf{r}(a)$ e punto finale $P_2=\mathbf{r}(b)$ , allora $\int_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=U(P_2)-U(P_1).$

Esempio. $U=x^2y$ , da $(0,0)$ a $(1,2)$ : lavoro $=U(1,2)-U(0,0)=2$ , qualunque sia il cammino. Controllo sul segmento $(t,2t)$ : $\mathbf{F}=(4t^2,t^2)$ , $\mathbf{r}'=(1,2)$ , integrando $6t^2$ , integrale $2$ .

Teorema (D, caratterizzazione dei campi conservativi). Sia $\Omega$ aperto e connesso, $\mathbf{F}\in C^1(\Omega;\mathbb{R}^n)$ . Sono equivalenti: (a) per ogni coppia di curve regolari a tratti $\gamma_1,\gamma_2\subset\Omega$ con gli stessi estremi, $\int_{\gamma_1}\omega=\int_{\gamma_2}\omega$ (indipendenza dal cammino); (b) $\oint_\gamma\omega=0$ per ogni curva chiusa regolare a tratti $\gamma\subset\Omega$ ; (c) $\mathbf{F}$ è conservativo in $\Omega$ .

Definizione (rotore, campo irrotazionale). Per $\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)\in C^1(\Omega;\mathbb{R}^3)$ il rotore è $\operatorname{rot}\mathbf{F}=\nabla\wedge\mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\ \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\ \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right),$ cioè il determinante formale con righe $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3)$ , $(\partial_x,\partial_y,\partial_z)$ , $(F_1,F_2,F_3)$ (Prodotto vettoriale e prodotto misto). $\mathbf{F}$ è irrotazionale se $\operatorname{rot}\mathbf{F}=\mathbf{0}$ in $\Omega$ ; la forma $\omega$ è allora chiusa. Nel piano $\mathbf{F}=(F_1,F_2)$ si vede $\mathbf{F}$ come $(F_1,F_2,0)$ indipendente da $z$ e rimane solo la terza componente: $\operatorname{rot}\mathbf{F}=\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\quad(\text{lo scalare }\operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot\mathbf{e}_3).$

Esempio. $\mathbf{F}=(y+z,\ x+z,\ x+y)$ : le derivate incrociate sono tutte uguali a $1$ , quindi $\operatorname{rot}\mathbf{F}=\mathbf{0}$ (verificato con sympy).

Proposizione (D, condizione necessaria). Se $\mathbf{F}\in C^1$ è conservativo, allora è irrotazionale (ogni forma esatta è chiusa).

Definizione. Un aperto $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ è semplicemente connesso se è connesso (per archi) e ogni curva chiusa semplice contenuta in $\Omega$ si può deformare con continuità, restando in $\Omega$ , fino a ridursi a un punto. In pratica nel piano: connesso e senza buchi.

Grafico interattivo: Un disco è semplicemente connesso; la corona circolare no: la circonferenza di raggio 1,5 non si contrae a un punto senza attraversare il buco

Teorema (irrotazionale + semplicemente connesso $\Rightarrow$ conservativo). Se $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ è aperto semplicemente connesso e $\mathbf{F}\in C^1(\Omega;\mathbb{R}^n)$ è irrotazionale, allora $\mathbf{F}$ è conservativo in $\Omega$ (ogni forma chiusa è esatta). (Dimostrazione non richiesta al corso; nel piano si deduce dal teorema di Stokes, v. Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel piano.)

Corollario (conservatività locale). Se $\mathbf{F}$ è $C^1$ e irrotazionale in un aperto qualsiasi, ogni punto ha un intorno sferico $B$ in cui $\mathbf{F}$ ha un potenziale: la palla è convessa, quindi semplicemente connessa.

10. Formule di Gauss-Green nel piano

Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel piano

Definizione (orientamento positivo). Si dice che $\partial D$ è orientato positivamente, e si scrive $\partial^+D$ , se è percorso in modo che il dominio resti alla sinistra di chi cammina. Equivalentemente: il versore normale $\mathbf{n}$ ottenuto ruotando il versore tangente $\mathbf{T}$ di $\pi/2$ in senso orario punta verso l'esterno di $D$ . Se la curva ha parametrizzazione $(x(t),y(t))$ , la normale è $\mathbf{n}=\frac{(y'(t),\,-x'(t))}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}} .$

Esempio. Sulla circonferenza antioraria $(\cos t,\sin t)$ : $\mathbf{T}=(-\sin t,\cos t)$ e $\mathbf{n}=(\cos t,\sin t)$ , che punta all'esterno del disco. Dunque per un dominio con un solo bordo (curva chiusa semplice) l'orientamento positivo è quello antiorario.

Grafico interattivo: Corona circolare: bordo esterno antiorario, bordo interno orario (la corona resta a sinistra)

Teorema (D, formule di Gauss-Green). Sia $D$ un dominio del piano con bordo regolare a tratti orientato positivamente e $f\in C^1(D)$ (cioè $C^1$ in un aperto che contiene $D$ ).

Se $D$ è $y$ -semplice, cioè $D=\{a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)\}$ con $\varphi_1,\varphi_2\in C^1([a,b])$ , allora $\iint_D\frac{\partial f}{\partial y}\,dx\,dy=-\oint_{\partial^+D}f\,dx. \tag{1}$

Se $D$ è $x$ -semplice, cioè $D=\{c\le y\le d,\ \psi_1(y)\le x\le\psi_2(y)\}$ , allora $\iint_D\frac{\partial f}{\partial x}\,dx\,dy=\oint_{\partial^+D}f\,dy. \tag{2}$

Esempio. $D=[0,1]^2$ , $f=y^2$ : $\iint_D2y\,dx\,dy=1$ . Il bordo antiorario è formato dai quattro lati; $\oint f\,dx$ è non nulla solo sul lato superiore ( $y=1$ , percorso da $x=1$ a $x=0$ , quindi $\int_1^0 1\,dx=-1$ ) e il lato inferiore ( $y=0$ , dà $0$ ). Quindi $-\oint f\,dx=-(-1)=1$ .

Corollario (area con un integrale di linea). Se $D$ ha bordo orientato positivamente, $|D|=\iint_D dx\,dy=-\oint_{\partial^+D}y\,dx=\oint_{\partial^+D}x\,dy=\frac12\oint_{\partial^+D}(x\,dy-y\,dx).$

Esempio. Triangolo $(0,0),(2,0),(1,1)$ : $\tfrac12\bigl[(0\cdot0-2\cdot0)+(2\cdot1-1\cdot0)+(1\cdot0-0\cdot1)\bigr]=1$ (base $2$ , altezza $1$ , area $1$ ).

Grafico interattivo: Regione D sotto un arco di cicloide: |D| = 3π

Teorema (D, formula di Stokes nel piano, o del rotore nel piano). Sia $D$ un dominio con bordo regolare a pezzi orientato positivamente e $\mathbf{F}=(F_1,F_2)\in C^1$ in un aperto che contiene $D$ . Allora $\iint_D\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)dx\,dy=\oint_{\partial^+D}F_1\,dx+F_2\,dy .$ Il membro di sinistra è $\iint_D\operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot\mathbf{e}_3\,dx\,dy$ , quello di destra è la circuitazione $\oint_{\partial^+D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{T}\,ds$ .

Esempio. $\mathbf{F}=(-y,x)$ sul disco unitario: $\partial_xF_2-\partial_yF_1=1-(-1)=2$ , quindi la circuitazione antioraria è $2\cdot\text{area}=2\pi$ . Calcolando direttamente sulla circonferenza $(\cos t,\sin t)$ si ha $\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}'=\sin^2t+\cos^2t=1$ e $\oint=\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi$ : lo stesso valore.

Proposizione (D, invarianza della circuitazione). Siano $\gamma_1,\gamma_2$ due curve chiuse semplici regolari a tratti, con $\gamma_2$ contenuta nella regione interna di $\gamma_1$ , entrambe percorse in senso antiorario. Sia $\mathbf{F}\in C^1$ irrotazionale in un aperto che contiene la regione $D$ compresa tra le due. Allora $\oint_{\gamma_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\oint_{\gamma_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ .

11. Superfici e integrali di superficie

Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficie

Definizione (superficie parametrica regolare semplice). Sia $D\subset\mathbb{R}^2$ la chiusura di un aperto connesso e $\mathbf{r}:D\to\mathbb{R}^3$ , $\mathbf{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ continua. La coppia $(S,\mathbf{r})$ con $S=\mathbf{r}(D)$ è una superficie regolare semplice se, indicato con $\mathring D$ l'interno di $D$ : (i) $\mathbf{r}$ è iniettiva e di classe $C^1$ in $\mathring D$ ; (ii) la matrice jacobiana $J\mathbf{r}(u,v)$ (matrice $3\times2$ ) ha rango massimo $2$ in ogni punto di $\mathring D$ . $S$ è il sostegno, $\mathbf{r}$ la parametrizzazione.

Definizione (piano tangente, normale). Nel punto $\mathbf{x}_0=\mathbf{r}(u_0,v_0)$ , con $(u_0,v_0)$ interno, il piano tangente è il piano per $\mathbf{x}_0$ generato da $\mathbf{r}_u$ e $\mathbf{r}_v$ . Il vettore $\mathbf{N}=\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v$ è il vettore normale e $\mathbf{n}=\mathbf{N}/\|\mathbf{N}\|$ il versore normale. L'equazione del piano tangente è $(\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v)(u_0,v_0)\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)=0 ,$ cioè $a_0(x-x_0)+b_0(y-y_0)+c_0(z-z_0)=0$ con $(a_0,b_0,c_0)=\mathbf{N}(u_0,v_0)$ .

Definizione (area, integrale di superficie). Sia $(S,\mathbf{r})$ una superficie regolare con $D$ limitato e misurabile. L'area è $A(S)=\iint_D\|\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v\|\,du\,dv=\iint_D\sqrt{\left(\tfrac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}\right)^2+\left(\tfrac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}\right)^2+\left(\tfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right)^2}\,du\,dv .$ Per $f:S\to\mathbb{R}$ continua l'integrale di $f$ su $S$ (integrale di superficie di prima specie) è $\iint_Sf\,d\sigma=\iint_Df(\mathbf{r}(u,v))\,\|\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v\|\,du\,dv ,$ dove $d\sigma=\|\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v\|\,du\,dv$ è l'elemento d'area; in particolare $A(S)=\iint_Sd\sigma$ .

Esempio. Sfera, porzione compresa fra i paralleli $\varphi_1<\varphi<\varphi_2$ e i meridiani $\theta_1<\theta<\theta_2$ : $A=\int_{\theta_1}^{\theta_2}d\theta\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}R^2\sin\varphi\,d\varphi=R^2(\theta_2-\theta_1)(\cos\varphi_1-\cos\varphi_2).$ Per $\varphi\in[0,\pi]$ , $\theta\in[0,2\pi]$ si ritrova $4\pi R^2$ ; una calotta attorno al polo nord con colatitudine massima $\bar\varphi$ ha area $2\pi R^2(1-\cos\bar\varphi)$ .

Teorema (D, secondo teorema di Pappo-Guldino). L'area della superficie di rotazione generata da $\gamma$ è la lunghezza di $\gamma$ per la lunghezza dell'arco di circonferenza percorso dal baricentro (centroide) di $\gamma$ : $A=\bar\theta\int_\gamma x\,ds=\bar\theta\,x_B\,\ell(\gamma),$ dove $x_B$ è l'ascissa del baricentro della curva e $\ell(\gamma)$ la sua lunghezza. In particolare, per una rotazione completa, $A=2\pi\int_\gamma x\,ds$ .

Esempio (toro). Il toro si ottiene ruotando di $2\pi$ attorno all'asse $z$ la circonferenza di centro $(R,0)$ e raggio $r<R$ nel piano $xz$ . Il baricentro della circonferenza ha ascissa $R$ e la lunghezza è $2\pi r$ , quindi $A=2\pi R\cdot2\pi r=4\pi^2Rr$ . (Il primo teorema di Guldino, sui volumi, dà per il solido racchiuso $2\pi R\cdot\pi r^2=2\pi^2Rr^2$ ; v. Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazione.)

12. Flusso, divergenza e rotore

Flusso, teorema della divergenza e teorema del rotore

Definizione (flusso). Sia $(S,\mathbf{r})$ una superficie regolare con versore normale $\mathbf{n}=\dfrac{\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v}{\|\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v\|}$ e $\mathbf{F}:S\to\mathbb{R}^3$ un campo continuo. Il flusso di $\mathbf{F}$ attraverso $S$ (nel verso di $\mathbf{n}$ ) è $\Phi=\iint_S\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,d\sigma=\iint_D\mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v))\cdot(\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v)(u,v)\,du\,dv .$ Il secondo membro segue dal primo perché $\mathbf{n}\,d\sigma=\dfrac{\mathbf{N}}{\|\mathbf{N}\|}\|\mathbf{N}\|\,du\,dv=\mathbf{N}\,du\,dv$ : il fattore $\|\mathbf{N}\|$ si semplifica e non servono radici.

Esempio. $\mathbf{F}=(0,0,z)$ attraverso il grafico $z=1-x^2-y^2$ su $x^2+y^2\le1$ , normale verso l'alto: $\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}=1-x^2-y^2$ e $\Phi=\iint_D(1-\rho^2)\rho\,d\rho\,d\theta=\tfrac\pi2$ .

Definizione. Un dominio regolare di $\mathbb{R}^3$ è la chiusura $\Omega$ di un aperto limitato la cui frontiera $\partial\Omega$ è il sostegno di una superficie regolare (o regolare a pezzi: per esempio i solidi delimitati da un numero finito di grafici, il cubo, il cilindro con le basi). Una superficie con sostegno $\partial\Omega$ si dice chiusa. La normale è uscente (si scrive $\mathbf{n}_e$ ) se $P+t\mathbf{n}(P)\notin\Omega$ per $t>0$ piccolo, entrante se $P+t\mathbf{n}(P)\in\mathring\Omega$ .

Esempio (campo elettrostatico). $\mathbf{E}=kq\dfrac{\mathbf{r}}{\|\mathbf{r}\|^3}$ sulla sfera di raggio $R$ : $\mathbf{n}_e=\mathbf{r}/R$ e $\mathbf{E}\cdot\mathbf{n}_e=\dfrac{kq}{R^2}$ (costante). Quindi $\Phi=\dfrac{kq}{R^2}\cdot4\pi R^2=4\pi kq$ , indipendente da $R$ e proporzionale alla carica: è il teorema di Gauss dell'elettrostatica.

Definizione (divergenza). Per $\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)\in C^1$ , $\operatorname{div}\mathbf{F}=\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}\quad(\text{nel piano: }\partial_xF_1+\partial_yF_2).$

Esempio. $\operatorname{div}(x,y,z^2)=1+1+2z$ . $\operatorname{div}(x,0,y)=1$ .

Teorema (della divergenza, o di Gauss; D per domini semplici rispetto a tutti gli assi). Sia $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ un dominio regolare (o con frontiera regolare a pezzi), $\mathbf{n}_e$ la normale uscente su $\partial\Omega$ e $\mathbf{F}\in C^1$ in un aperto che contiene $\Omega$ . Allora $\iiint_\Omega\operatorname{div}\mathbf{F}\,dx\,dy\,dz=\iint_{\partial\Omega}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}_e\,d\sigma .$ Se si usa la normale entrante $\mathbf{n}_i=-\mathbf{n}_e$ vale $\iiint_\Omega\operatorname{div}\mathbf{F}=-\iint_{\partial\Omega}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}_i\,d\sigma$ .

Esempio (la sfera di prima). $\mathbf{F}=(x,0,y)$ , $\operatorname{div}\mathbf{F}=1$ : $\Phi=\operatorname{vol}(B_R)=\tfrac43\pi R^3$ , in un passaggio.

Teorema (D, divergenza nel piano). Sia $D\subset\mathbb{R}^2$ un dominio con frontiera regolare a pezzi, $\mathbf{n}_e$ la normale esterna a $\partial D$ , $\mathbf{F}\in C^1$ . Allora $\displaystyle\iint_D\operatorname{div}\mathbf{F}\,dx\,dy=\oint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}_e\,ds$ .

Esempio. $\mathbf{F}=(xy,x^2)$ uscente dal bordo del quadrato $[-\tfrac12,\tfrac12]^2$ : $\operatorname{div}\mathbf{F}=y$ , e $\iint y\,dx\,dy=0$ per simmetria; il calcolo lato per lato dà lo stesso.

Definizione (superficie con bordo). Sia $D\subset\mathbb{R}^2$ la chiusura di un aperto connesso, $A\supset D$ un aperto e $\mathbf{r}:A\to\mathbb{R}^3$ di classe $C^1$ , iniettiva in $D$ con $J\mathbf{r}$ di rango $2$ in ogni punto di $D$ . $S=\mathbf{r}(D)$ è una superficie regolare con bordo, e $\mathbf{r}(\partial D)$ è il bordo. Esempi: un grafico $z=f(x,y)$ su $D$ ha come bordo il grafico di $f$ ristretto a $\partial D$ ; la semisfera ha come bordo l'equatore; una sfera intera non è una superficie con bordo.

Teorema (del rotore, o di Stokes). Sia $(S,\mathbf{r})$ una superficie regolare con bordo e $\mathbf{F}\in C^1$ in un aperto che contiene $S$ . Allora $\iint_S\operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,d\sigma=\oint_{\partial^+S}F_1\,dx+F_2\,dy+F_3\,dz=\oint_{\partial^+S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{T}\,ds .$ Cioè: il flusso del rotore attraverso $S$ è uguale alla circuitazione di $\mathbf{F}$ lungo il bordo orientato positivamente.

Esempio (campo $V=(-y,x,ye^{z^2})$ sulla semisfera). Sia $S$ la semisfera unitaria $z\ge0$ con normale uscente (verso l'alto). Il bordo orientato positivamente è l'equatore $(\cos t,\sin t,0)$ antiorario, su cui $V=(-\sin t,\cos t,\sin t)$ e $\mathbf{r}'=(-\sin t,\cos t,0)$ , $V\cdot\mathbf{r}'=1$ . Quindi $\iint_S\operatorname{rot}V\cdot\mathbf{n}\,d\sigma=\oint V\cdot d\mathbf{r}=2\pi$ . Calcolando direttamente, $\operatorname{rot}V=(e^{z^2},0,2)$ , $\operatorname{rot}V\cdot\mathbf{n}=xe^{z^2}+2z$ e $\iint_S2z\,d\sigma=2\pi$ (il termine in $x$ ha integrale nullo per simmetria): stesso risultato.

Teorema (D, rotore per superfici chiuse). Se $S=\partial\Omega$ è una superficie chiusa regolare a pezzi e $\mathbf{F}\in C^2$ in un aperto che contiene $\Omega$ , allora $\iint_S\operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,d\sigma=0$ : il flusso del rotore attraverso una superficie chiusa è nullo.

Definizione. Un campo $\mathbf{G}\in C^1$ in un aperto $E\subseteq\mathbb{R}^3$ si dice solenoidale se $\operatorname{div}\mathbf{G}=0$ in $E$ . Un campo $\mathbf{F}$ con $\mathbf{G}=\operatorname{rot}\mathbf{F}$ si dice potenziale vettore di $\mathbf{G}$ .

13. Equazioni differenziali ordinarie: il problema di Cauchy

Problema di Cauchy per sistemi di equazioni differenziali

Definizione (sistema in forma normale). Sia $D\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n$ aperto e $\mathbf{f}:D\to\mathbb{R}^n$ un campo. Il sistema di $n$ equazioni del primo ordine in forma normale è $\mathbf{y}'(t)=\mathbf{f}(t,\mathbf{y}(t)),\qquad\text{cioè}\qquad\begin{cases}y_1'=f_1(t,y_1,\dots,y_n)\\\ \vdots\\y_n'=f_n(t,y_1,\dots,y_n)\end{cases}$ Una soluzione è una coppia $(I,\mathbf{y})$ : $I\subseteq\mathbb{R}$ intervallo, $\mathbf{y}:I\to\mathbb{R}^n$ derivabile, con $(t,\mathbf{y}(t))\in D$ e $\mathbf{y}'(t)=\mathbf{f}(t,\mathbf{y}(t))$ per ogni $t\in I$ . L'integrale generale è l'insieme di tutte le soluzioni.

Definizione (problema di Cauchy). Fissato $(t_0,\mathbf{y}_0)\in D$ , il problema di Cauchy (o ai valori iniziali) è $\begin{cases}\mathbf{y}'(t)=\mathbf{f}(t,\mathbf{y}(t))\\ \mathbf{y}(t_0)=\mathbf{y}_0 .\end{cases}$ Una soluzione è una soluzione $(I,\mathbf{y})$ del sistema con $t_0\in I$ e $\mathbf{y}(t_0)=\mathbf{y}_0$ .

Esempio. $y'=y$ , $y(0)=3$ : la soluzione è $y=3e^t$ su $\mathbb{R}$ (con la costante $c=3$ scelta dal dato iniziale). Per $n=1$ il sistema è un'equazione scalare, e si ritrova l'impostazione di Analisi 1.

Teorema (di Peano, esistenza locale). Se $\mathbf{f}:D\to\mathbb{R}^n$ è continua e $(t_0,\mathbf{y}_0)\in D$ , esiste $\delta>0$ e almeno una soluzione del problema di Cauchy definita su $(t_0-\delta,t_0+\delta)$ .

Teorema (di Cauchy, esistenza e unicità locale). Sia $D\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n$ aperto, $(t_0,\mathbf{y}_0)\in D$ , $\mathbf{f}:D\to\mathbb{R}^n$ continua e tale che tutte le derivate parziali $\dfrac{\partial f_i}{\partial y_k}$ ( $i,k=1,\dots,n$ ) esistano e siano continue in $D$ (cioè $\mathbf{f}$ è $C^1$ nelle variabili di stato). Allora esiste $\delta>0$ tale che il problema di Cauchy ha una e una sola soluzione definita su $(t_0-\delta,t_0+\delta)$ .

Teorema (esistenza e unicità globale). Sia $S=[a,b]\times\mathbb{R}^n$ e $\mathbf{f}:S\to\mathbb{R}^n$ continua, con le derivate $\partial f_i/\partial y_k$ continue (o localmente lipschitziana in $\mathbf{y}$ ). Se esistono $H,K\ge0$ tali che $\|\mathbf{f}(t,\mathbf{y})\|\le H+K\|\mathbf{y}\|\qquad\forall(t,\mathbf{y})\in S ,$ allora per ogni $(t_0,\mathbf{y}_0)\in S$ il problema di Cauchy ha una e una sola soluzione definita in tutto $[a,b]$ .

14. Sistemi lineari e stabilità degli equilibri

Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti

Definizione. Un sistema lineare del primo ordine è $\mathbf{y}'(t)=A(t)\mathbf{y}(t)+\mathbf{g}(t),\tag{S}$ con $A(t)=(a_{ij}(t))$ matrice $n\times n$ a coefficienti continui su un intervallo $I$ (anche illimitato) e $\mathbf{g}\in C(I;\mathbb{R}^n)$ termine noto. Si dice omogeneo se $\mathbf{g}\equiv\mathbf{0}$ .

Teorema (D, risolubilità del problema di Cauchy). Per ogni $t_0\in I$ e $\mathbf{y}_0\in\mathbb{R}^n$ il problema $\mathbf{y}'=A\mathbf{y}+\mathbf{g}$ , $\mathbf{y}(t_0)=\mathbf{y}_0$ ha una e una sola soluzione, definita in tutto $I$ .

Corollario (D, equazioni scalari del secondo ordine). Se $b,c,d\in C(I)$ , per ogni $t_0\in I$ e $y_0,v_0\in\mathbb{R}$ il problema $y''+b(t)y'+c(t)y=d(t)$ , $y(t_0)=y_0$ , $y'(t_0)=v_0$ ha un'unica soluzione definita su tutto $I$ .

Proposizione (D, principio di sovrapposizione per l'omogeneo). Se $\mathbf{y}_1,\dots,\mathbf{y}_m$ risolvono $\mathbf{y}'=A\mathbf{y}$ , allora anche ogni combinazione $\mathbf{v}=\sum_i\alpha_i\mathbf{y}_i$ la risolve: le soluzioni formano un sottospazio vettoriale di $V$ .

Teorema (D, struttura dell'integrale generale dell'omogeneo). L'insieme delle soluzioni di $\mathbf{y}'=A(t)\mathbf{y}$ è uno spazio vettoriale di dimensione $n$ : esistono $n$ soluzioni linearmente indipendenti $\mathbf{y}_1,\dots,\mathbf{y}_n$ e ogni soluzione è $\sum\alpha_i\mathbf{y}_i$ con $\alpha_i\in\mathbb{R}$ .

Esempio ( $n=1$ ). $y'=a(t)y$ : lo spazio è di dimensione $1$ e l'integrale generale è $y=k\exp\left(\int_{t_0}^ta(s)\,ds\right)$ .

Proposizione (D, sovrapposizione per il non omogeneo). Se $\tilde{\mathbf{y}}$ è una soluzione particolare di $\mathbf{y}'=A\mathbf{y}+\mathbf{g}$ , l'integrale generale è $\mathbf{y}=\mathbf{z}+\tilde{\mathbf{y}}$ , con $\mathbf{z}$ che descrive l'integrale generale dell'omogeneo associato $\mathbf{z}'=A\mathbf{z}$ .

Teorema (D, integrale generale). Siano $\lambda_{1,2}$ le radici di $\lambda^2+b\lambda+c=0$ .

Se $b^2>4c$ (radici reali distinte): $y=\alpha e^{\lambda_1t}+\beta e^{\lambda_2t}$ .

Se $b^2=4c$ (radice doppia $\lambda=-b/2$ ): $y=(\alpha+\beta t)e^{\lambda t}$ .

Se $b^2<4c$ (radici complesse $\mu\pm i\omega$ , $\mu=-b/2$ , $\omega=\sqrt{4c-b^2}/2$ ): $y=e^{\mu t}(\alpha\cos\omega t+\beta\sin\omega t)$ .

Esempio. $y''-y'-12y=0$ : radici $\frac{1\pm7}2=4,-3$ , $y=\alpha e^{4t}+\beta e^{-3t}$ . $y''+4y'+5y=0$ : radici $-2\pm i$ , $y=e^{-2t}(\alpha\cos t+\beta\sin t)$ .

Stabilità degli equilibri dei sistemi autonomi 2x2

Definizione. Un sistema si dice autonomo se il campo non dipende dal tempo: $\mathbf{y}'=\mathbf{f}(\mathbf{y})$ . In dimensione $2$ : $\begin{cases}x'=f(x,y)\\ y'=g(x,y)\end{cases}\qquad f,g\in C^1(D),\ D\subseteq\mathbb{R}^2\text{ aperto}.$

Proposizione (D, invarianza per traslazioni temporali). Se $\mathbf{r}(t)$ risolve $\mathbf{y}'=\mathbf{f}(\mathbf{y})$ su $(a,b)$ , allora per ogni $\tau\in\mathbb{R}$ anche $\mathbf{s}(t)=\mathbf{r}(t+\tau)$ è soluzione, su $(a-\tau,b-\tau)$ ; ha la stessa orbita.

Proposizione (D, le orbite non si intersecano). Se due orbite hanno un punto in comune, coincidono.

Definizione. $P$ è un punto di equilibrio (o stato stazionario) se $\mathbf{f}(P)=\mathbf{0}$ .

Esempio. Per $\begin{cases}x'=-2x-\frac23y\\y'=3x+y\end{cases}$ gli equilibri risolvono $3x+y=0$ (la seconda equazione è anche la prima, a meno di un fattore): un'intera retta.

Definizione (stabilità secondo Lyapunov).

$P$ è stabile se $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$ tale che $\|\mathbf{y}_0-P\|<\delta$ implica che $\boldsymbol\varphi(t,\mathbf{y}_0)$ esiste per ogni $t\ge0$ e $\|\boldsymbol\varphi(t,\mathbf{y}_0)-P\|<\varepsilon$ per ogni $t\ge0$ (le soluzioni che partono vicino restano vicine per sempre).

$P$ è asintoticamente stabile (attrattore) se è stabile e inoltre esiste $\delta_1>0$ tale che $\|\mathbf{y}_0-P\|<\delta_1\Rightarrow\lim_{t\to+\infty}\boldsymbol\varphi(t,\mathbf{y}_0)=P$ . Se vale per ogni dato iniziale è un attrattore globale.

$P$ è instabile se non è stabile.

Teorema (classificazione, caso $\det A\ne0$ ). Siano $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{C}$ gli autovalori di $A$ . L'origine è

asintoticamente stabile se e solo se $\operatorname{Re}\lambda_1<0$ e $\operatorname{Re}\lambda_2<0$ ;

stabile (non asintoticamente) se e solo se $\operatorname{Re}\lambda_1,\operatorname{Re}\lambda_2\le0$ e almeno uno vale $0$ (in tal caso gli autovalori sono $\pm i\omega$ );

instabile se e solo se almeno un autovalore ha $\operatorname{Re}\lambda>0$ .

Proposizione (D). Per $A$ reale $2\times2$ : l'origine è asintoticamente stabile se e solo se $\tau<0$ e $d>0$ .

Esempio. $A=\begin{pmatrix}-2&\alpha\\3&1\end{pmatrix}$ : $\tau=-1<0$ sempre, $d=-2-3\alpha>0\iff\alpha<-\tfrac23$ . Per $\alpha=-\tfrac23$ è $d=0$ e c'è una retta di equilibri: non asintoticamente stabile. Quindi l'origine è asintoticamente stabile se e solo se $\alpha<-\tfrac23$ (Esercizio - stabilità e problema di Cauchy al variare di un parametro (ricevimento, appello 8 luglio 2025)).