Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazione

Gli integrali tripli sono l'analogo nello spazio degli integrali doppi: calcolano volumi, masse e baricentri di solidi. Si riducono a integrali semplici e doppi (per fili e per strati) e, per i solidi con simmetria, si semplificano molto con coordinate cilindriche, sferiche o con il teorema di Pappo-Guldino. Sono gli esercizi più frequenti nei temi d'esame. Prerequisiti: Integrali doppi, domini semplici e formule di riduzioneL'integrale doppio ∬_R f su un rettangolo è il limite delle somme di Cauchy-Riemann Σ |I_hk| f(P_hk); per f ≥ 0 è il volume del cilindroide. Le funzioni continue sono integrabili. Formule di riduzione (Fubini): su R = [a,b]×[c,d] ∬ = ∫_c^d(∫_a^b f dx)dy = ∫_a^b(∫c^d f dy)dx; per f = g(x)h(y) il prodotto di due integrali. Su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)} (D): ∬ = ∫a^b(∫{g₁}^{g₂} f dy)dx, simmetricamente per i domini x-semplici; domini regolari = unioni finite di semplici, f continua è integrabile. Area |Ω| = ∬ 1; insiemi di area nulla (punti, segmenti, grafici di funzioni continue); f limitata con discontinuità su area nulla è integrabile. Proprietà: linearità, monotonia, additività; teorema della media integrale (D). Baricentro e momenti d'inerzia di una lamina.Integrali doppi, domini semplici e formule di riduzione →, Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussianaCambiando coordinate (x,y) = T(u,v), con T diffeomorfismo C¹ tra D' e D, ∬D f(x,y)dxdy = ∬{D'} f(T(u,v)) |det DT(u,v)| dudv: il fattore |det DT| è la dilatazione locale delle aree (per le trasformazioni lineari è |det M|, dimostrato col prodotto vettoriale). Polari: x = x₀ + ρcosθ, y = y₀ + ρsinθ, dxdy = ρ dρdθ; area di un settore di corona ½(R₂² − R₁²)Δθ; disco x² + y² ≤ 2ax: ρ ≤ 2a cosθ. Coordinate ellittiche x = aρcosθ, y = bρsinθ, dxdy = abρ dρdθ (area dell'ellisse πab). Simmetrie: D simmetrico rispetto all'asse y, f dispari in x ⇒ ∬ = 0 (D), f pari ⇒ ∬ = 2∬{x≥0}. Integrali generalizzati di f ≥ 0 continua su R²: limite su una successione invadente, indipendente dalla successione; gaussiana (D): ∬ e^{−(x²+y²)/2} = 2π, quindi ∫_R e^{−x²/2}dx = √(2π).Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussiana →, Funzioni a valori vettoriali, matrice jacobiana e trasformazioni di coordinateUna funzione f : A ⊆ Rⁿ → Rᵐ ha m componenti scalari f₁,…,f_m; il limite si fa componente per componente. È differenziabile in x₀ se f(x₀+h) − f(x₀) = Df(x₀)h + o(‖h‖), dove la matrice jacobiana Df(x₀) (m righe, n colonne) ha elemento (i,j) = ∂f_i/∂x_j: le righe sono i gradienti delle componenti. Se le componenti sono C¹ la f è differenziabile. Casi particolari: m = 1 (riga = gradiente), n = 1 (colonna = vettore tangente), f affine (Df = A). Regola della catena: D(g∘f)(x₀) = Dg(f(x₀))·Df(x₀). Trasformazioni di coordinate: polari (det = ρ), cilindriche (det = ρ), sferiche (det = ρ² sin φ); |det Df| è il fattore di variazione di aree o volumi.Funzioni a valori vettoriali, matrice jacobiana e trasformazioni di coordinate →. Per le superfici nello spazio: Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficieUna superficie regolare è l'immagine di r(u,v) di classe C¹ iniettiva con r_u ∧ r_v ≠ 0; r_u, r_v sono i vettori tangenti alle linee coordinate, N = r_u ∧ r_v la normale, e il piano tangente è N·(x − x₀) = 0. Area = ∬ ‖r_u ∧ r_v‖ du dv; integrale di superficie ∬ f dσ = ∬ f(r)‖r_u ∧ r_v‖ du dv. Per il grafico z = f(x,y): dσ = √(1+‖∇f‖²) dx dy. Baricentro con la densità; teorema di Pappo-Guldino: area di rotazione = 2π ∫ x ds (D).Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficie →.

1. Definizione e significato

Sia $P = [a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times[a_3,b_3]$ un parallelepipedo e $f : P\to\mathbb{R}$ limitata. Si divide ciascun intervallo in $n$ parti uguali, ottenendo $n^3$ parallelepipedini $P_{ijk}$ di volume $|P_{ijk}|$; in ciascuno si sceglie un punto $Q_{ijk}$ e si forma la somma di Cauchy-Riemann $S_n = \sum|P_{ijk}|\,f(Q_{ijk})$. Se $\lim S_n$ esiste finito e non dipende dalla scelta dei punti, $f$ è integrabile e $$\iiint_Pf\,dx\,dy\,dz = \lim_{n\to\infty}S_n.$$ Per un insieme limitato $E$ si estende $f$ a zero fuori da $E$ su un parallelepipedo che lo contiene (come per le regioni piane). Le funzioni continue su domini regolari (semplici o unioni di semplici, definiti come sotto) sono integrabili.

Significato.

• $\iiint_E1 = |E|_3$ è il volume di $E$.
• Se $\mu(x,y,z)\ge0$ è la densità di massa, $M = \iiint_E\mu$ è la massa.
• Baricentro: $x_B = \frac1M\iiint_Ex\mu$, $y_B = \frac1M\iiint_Ey\mu$, $z_B = \frac1M\iiint_Ez\mu$ (per $\mu\equiv1$, dividendo per il volume).
• Momento d'inerzia rispetto a un asse $r$: $I_r = \iiint_E\delta(x,y,z)^2\mu$, con $\delta$ la distanza dall'asse (rispetto all'asse $z$: $\delta^2 = x^2+y^2$).

2. Formule di riduzione

2.1 Per fili

Definizione (dominio $z$-semplice). $E = \{(x,y,z) : (x,y)\in D,\ h_1(x,y)\le z\le h_2(x,y)\}$, con $D\subset\mathbb{R}^2$ dominio regolare (la proiezione di $E$ sul piano $xy$) e $h_1\le h_2$ continue su $D$.

Teorema (integrazione per fili). Se $f\in C(E)$ e $E$ è $z$-semplice, $$\iiint_Ef\,dx\,dy\,dz = \iint_D\left(\int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)}f(x,y,z)\,dz\right)dx\,dy.$$

L'idea: per ogni punto $(x,y)$ di $D$ si percorre il "filo" verticale che va da $h_1$ a $h_2$ (integrale in $z$) e poi si somma sui fili (integrale doppio). Analogo per i domini $x$-semplici e $y$-semplici (fili paralleli agli altri assi).

2.2 Per strati

Definizione (dominio stratificato rispetto a $z$). $E = \{(x,y,z) : a\le z\le b,\ (x,y)\in E_z\}$, dove $E_z\subset\mathbb{R}^2$ è la sezione (strato) di $E$ a quota $z$, un dominio regolare.

Teorema (integrazione per strati). Se $f\in C(E)$, $$\iiint_Ef\,dx\,dy\,dz = \int_a^b\left(\iint_{E_z}f(x,y,z)\,dx\,dy\right)dz.$$

In particolare, per $f\equiv1$: $|E|_3 = \int_a^b|E_z|_2\,dz$ (il volume è l'integrale delle aree delle sezioni, principio di Cavalieri). Se $f$ dipende solo da $z$, $\iiint_Ef = \int_a^bf(z)\,|E_z|_2\,dz$.

2.3 Quale scegliere

• Fili quando la proiezione $D$ sul piano è semplice e il solido è limitato sopra e sotto da due superfici (cilindroidi).
• Strati quando le sezioni sono figure note (cerchi, corone, rettangoli) di cui si sa l'area: tipico dei solidi di rotazione e per le funzioni che dipendono da una sola coordinata.

Esempio (paraboloide). $E = \{x^2+y^2\le k^2,\ x^2+y^2\le z\le k^2\}$ (la coppa sotto il piano $z=k^2$, sopra il paraboloide $z=x^2+y^2$).

• Strati: a quota $z\in[0,k^2]$ la sezione è il disco $x^2+y^2\le z$ di area $\pi z$: $|E| = \int_0^{k^2}\pi z\,dz = \frac{\pi k^4}2$.
• Fili: proiezione $D = \{x^2+y^2\le k^2\}$, per ogni $(x,y)$ la quota va da $x^2+y^2$ a $k^2$: $|E| = \iint_D(k^2-x^2-y^2)dx\,dy = 2\pi\int_0^k(k^2-\rho^2)\rho\,d\rho = \frac{\pi k^4}2$. ✓
• Baricentro (per simmetria $x_B=y_B=0$): $\iiint z = \int_0^{k^2}z\cdot\pi z\,dz = \frac{\pi k^6}3$, quindi $z_B = \frac{\pi k^6/3}{\pi k^4/2} = \frac{2k^2}3$.

3. Cambiamento di variabili

Teorema. Se $T : E'\to E$, $(u,v,w)\mapsto(x,y,z)$, è un diffeomorfismo tra domini regolari di $\mathbb{R}^3$ e $f\in C(E)$, $$\iiint_Ef\,dx\,dy\,dz = \iiint_{E'}f(T(u,v,w))\left|\det DT(u,v,w)\right|du\,dv\,dw.$$

Valgono le stesse osservazioni del caso piano (la biiettività può mancare su insiemi di volume nullo). Per una trasformazione lineare $T=M\mathbf{u}$ il fattore è $|\det M|$.

Esempio (ellissoide). L'ellissoide $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le1$ è l'immagine della palla unitaria con $x=au$, $y=bv$, $z=cw$ (determinante $abc$): $|E| = abc\cdot\frac43\pi = \frac43\pi abc$.

4. Coordinate cilindriche

$$\begin{cases}x = \rho\cos\theta\\ y = \rho\sin\theta\\ z = z\end{cases}\qquad\rho\ge0,\ \theta\in[0,2\pi),\ z\in\mathbb{R},\qquad \det DT = \rho.$$ $$\iiint_Ef\,dx\,dy\,dz = \iiint_{E'}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z)\,\rho\,d\rho\,d\theta\,dz.$$ Sono le polari nel piano $xy$ con la quota invariata. Si usano per solidi con simmetria attorno all'asse $z$: cilindri, coni, paraboloidi, sfere con asse $z$, intersezioni di questi.

Esempio (volume sotto un paraboloide, in cilindriche). $E = \{x^2+y^2\le z\le k^2\}$: $0\le\theta\le2\pi$, $0\le\rho\le k$, $\rho^2\le z\le k^2$: $|E| = \int_0^{2\pi}\int_0^k\int_{\rho^2}^{k^2}\rho\,dz\,d\rho\,d\theta = 2\pi\int_0^k(k^2-\rho^2)\rho\,d\rho = \frac{\pi k^4}2$.

Esempio (cilindro tagliato da un piano inclinato). Il solido compreso fra il piano $z=0$, il piano $z = h+\alpha x$ (con $h>\alpha R>0$, così la quota resta positiva) e il cilindro $x^2+y^2\le R^2$. Per ogni $(x,y)$ del disco la quota va da $0$ a $h+\alpha\rho\cos\theta$: $$V = \int_0^{2\pi}\int_0^R(h+\alpha\rho\cos\theta)\rho\,d\rho\,d\theta = \pi R^2h,$$ perché il termine in $\cos\theta$ ha integrale nullo su $[0,2\pi]$ (come se il piano fosse orizzontale a quota $h$). Per il baricentro, $y_B=0$ per simmetria e $$\iiint x = \iint_Dx\,(h+\alpha x)\,dx\,dy = \alpha\iint_Dx^2\,dx\,dy = \alpha\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta\int_0^R\rho^3d\rho = \alpha\cdot\pi\cdot\frac{R^4}4,$$ (il termine $h\iint x$ è nullo per simmetria), quindi $x_B = \frac{\alpha\pi R^4/4}{\pi R^2h} = \frac{\alpha R^2}{4h}$: il baricentro è spostato verso il lato più alto.

5. Coordinate sferiche

$$\begin{cases}x = \rho\sin\varphi\cos\theta\\ y = \rho\sin\varphi\sin\theta\\ z = \rho\cos\varphi\end{cases}\qquad\rho\ge0,\ \varphi\in[0,\pi],\ \theta\in[0,2\pi),\qquad\det DT = \rho^2\sin\varphi.$$ $\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ è la distanza dall'origine; $\varphi$ è l'angolo con il semiasse $z$ positivo (colatitudine: $\varphi=0$ al polo nord, $\varphi=\frac\pi2$ sul piano $xy$, $\varphi=\pi$ al polo sud); $\theta$ è la longitudine. Dimostrazione del determinante nella nota sulla jacobiana. $$\iiint_Ef\,dx\,dy\,dz = \iiint_{E'}f(\ldots)\,\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.$$ Si usano per palle e parti di palla (spicchi, calotte), coni con vertice nell'origine, corone sferiche, integrande che dipendono da $x^2+y^2+z^2$.

Traduzioni utili.

• Palla $x^2+y^2+z^2\le R^2$: $0\le\rho\le R$ (volume $\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi\sin\varphi\,d\varphi\int_0^R\rho^2d\rho = 2\pi\cdot2\cdot\frac{R^3}3 = \frac43\pi R^3$).
• Cono $z\ge\sqrt{x^2+y^2}\cdot\cot\alpha$, cioè con semi-apertura $\alpha$ attorno all'asse $z$: $0\le\varphi\le\alpha$.
• Sfera passante per l'origine $x^2+y^2+z^2\le2az$ (centro $(0,0,a)$, raggio $a$): $\rho^2\le2a\rho\cos\varphi$, cioè $0\le\rho\le2a\cos\varphi$, con $\varphi\in[0,\frac\pi2]$.

Esempio (cono e sfera). Il solido $E = \{x^2+y^2<z^2\}\cap\{x^2+y^2+z^2<2az\}$ (cono di semi-apertura $45^\circ$ dentro la sfera di centro $(0,0,a)$): $0\le\varphi\le\frac\pi4$, $0\le\rho\le2a\cos\varphi$: $$|E| = \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi/4}\sin\varphi\int_0^{2a\cos\varphi}\rho^2d\rho\,d\varphi = 2\pi\cdot\frac{8a^3}3\int_0^{\pi/4}\cos^3\varphi\sin\varphi\,d\varphi = \frac{16\pi a^3}3\cdot\frac{1-\cos^4\frac\pi4}{4} = \frac{16\pi a^3}3\cdot\frac3{16} = \pi a^3.$$ Il calcolo è ripreso con quattro metodi in Esercizio - Cono e sfera, volume con quattro metodi (esercizio 32).

Esempio (integrale su una corona sferica). $\iiint_{1\le\|\mathbf{x}\|\le2}\frac{dx\,dy\,dz}{\|\mathbf{x}\|^\alpha} = 4\pi\int_1^2\rho^{2-\alpha}d\rho$, che vale $4\pi\frac{2^{3-\alpha}-1}{3-\alpha}$ se $\alpha\ne3$ e $4\pi\ln2$ se $\alpha=3$ ($\int_0^\pi\sin\varphi\,d\varphi\cdot2\pi = 4\pi$ dalle variabili angolari).

6. Solidi di rotazione e teorema di Pappo-Guldino

Sia $A$ un insieme piano misurabile e limitato contenuto in un semipiano $S$ delimitato da una retta $r$ (l'asse). Ruotando $A$ attorno a $r$ di un angolo $\bar\theta\in(0,2\pi]$ si ottiene il solido di rotazione $R(A)$. Scegliamo $r$ = asse $z$ e $S = \{(x,0,z) : x\ge0\}$: allora in coordinate cilindriche $R(A) = \{(\rho,\theta,z) : (\rho,z)\in A,\ 0\le\theta\le\bar\theta\}$.

Teorema (Pappo-Guldino, volume). $\displaystyle|R(A)|_3 = \bar\theta\,x_B\,|A|_2,$ cioè il volume del solido è l'area di $A$ per la lunghezza dell'arco percorso dal baricentro $(x_B,z_B)$ di $A$ ($\bar\theta x_B$, ossia $2\pi x_B$ per una rotazione completa).

Dimostrazione (D). In cilindriche con jacobiano $\rho$, integrando prima in $\theta$ (nulla dipende da $\theta$): $$|R(A)|_3 = \int_0^{\bar\theta}\left(\iint_A\rho\,d\rho\,dz\right)d\theta = \bar\theta\iint_A\rho\,d\rho\,dz.$$ Nel semipiano $S$, $\rho$ coincide con la coordinata $x$ dei punti di $A$, quindi $\iint_A\rho\,d\rho\,dz = \iint_Ax\,dx\,dz = x_B|A|_2$ (definizione di baricentro). Perciò $|R(A)|_3 = \bar\theta x_B|A|_2$. $\blacksquare$

(Stessa dimostrazione con asse $x$ o $y$.) Il secondo teorema di Pappo-Guldino dà l'area della superficie di rotazione di una curva: area = lunghezza della curva per l'arco percorso dal baricentro della curva (Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficieUna superficie regolare è l'immagine di r(u,v) di classe C¹ iniettiva con r_u ∧ r_v ≠ 0; r_u, r_v sono i vettori tangenti alle linee coordinate, N = r_u ∧ r_v la normale, e il piano tangente è N·(x − x₀) = 0. Area = ∬ ‖r_u ∧ r_v‖ du dv; integrale di superficie ∬ f dσ = ∬ f(r)‖r_u ∧ r_v‖ du dv. Per il grafico z = f(x,y): dσ = √(1+‖∇f‖²) dx dy. Baricentro con la densità; teorema di Pappo-Guldino: area di rotazione = 2π ∫ x ds (D).Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficie →).

Esempio (toro). Il disco di raggio $r$ con centro a distanza $R>r$ dall'asse, ruotato di $2\pi$: $|A|=\pi r^2$, $x_B = R$ (centro del disco): $V = \pi r^2\cdot2\pi R = 2\pi^2r^2R$.

Esempio (paraboloide). $A = \{0\le x\le k,\ x^2\le z\le k^2\}$: $\iint_Ax\,dx\,dz = \int_0^kx(k^2-x^2)dx = \frac{k^4}4$, quindi $V = 2\pi\cdot\frac{k^4}4 = \frac{\pi k^4}2$ ✓ (stesso valore trovato per fili e per strati).

Volume di un solido di rotazione per strati. Se $A$ è il sottografico $\{0\le z\le f(x)\}$ ruotato attorno all'asse $x$, ogni sezione ortogonale all'asse è un disco di raggio $f(x)$: $V = \pi\int_a^bf(x)^2dx$. Se la regione è compresa fra due curve la sezione è una corona e si sottraggono i quadrati dei raggi (vedi l'esercizio sul cono e l'iperboloide).

7. Come si imposta un integrale triplo

1. Disegnare (o descrivere con le sezioni) il solido: riconoscere le superfici (piani, cilindri, coni, sfere, paraboloidi, Coniche e quadricheUna conica è l'insieme dei punti del piano che annullano un polinomio di grado 2 in x, y. Con una traslazione (che elimina i termini di primo grado) e una rotazione data dal teorema spettrale (che elimina il termine xy) diventa una forma canonica: ellisse, iperbole o parabola, oppure un caso degenere. Il tipo si legge dai determinanti della matrice 3×3 completa e della parte quadratica 2×2. Circonferenze e sfere; cenni alle quadriche.Coniche e quadriche →) e le loro intersezioni (si risolvono i sistemi).
2. Cercare l'asse di simmetria: cilindriche attorno a quell'asse (anche se non è $z$: si rinominano le variabili), sferiche se c'è una sfera o un cono con vertice al centro.
3. Scrivere le limitazioni (con tutte le disuguaglianze) e il jacobiano.
4. Controllare le simmetrie per annullare integrali (coordinate nulle del baricentro).
5. Quando si può, verificare con un secondo metodo (strati, Guldino): il risultato deve coincidere.

8. Errori da evitare

• Dimenticare $\rho$ (cilindriche) o $\rho^2\sin\varphi$ (sferiche).
• Scambiare $\varphi$ (colatitudine) con la latitudine.
• Scrivere male l'intervallo di $\varphi$ per un cono (semi-apertura, non apertura).
• Usare Guldino con $A$ che attraversa l'asse di rotazione: $A$ deve stare tutto da una parte dell'asse.
• Calcolare $x_B$ in Guldino come coordinata nello spazio e non nel semipiano $(\rho,z)$ di $A$.

Esercizi svolti: Esercizio - Cono e sfera, volume con quattro metodi (esercizio 32), Esercizio - Integrale di z su un solido fra paraboloide e sfera (esercizio 41), Esercizio - Solido di rotazione fra cono e iperboloide, volume e baricentro (appello 5 settembre 2023), Esercizio - Cilindro con cavità sferica, volume e integrale triplo (appello 3 settembre 2024), Esercizio - Cilindroide a base triangolare e integrale triplo con singolarità (appello 9 luglio 2024).

Domande d'esame

1. Enunciare le formule di riduzione per fili e per strati per un integrale triplo. Traccia. Dominio $z$-semplice con proiezione $D$ e $h_1\le z\le h_2$: $\iint_D(\int_{h_1}^{h_2}f\,dz)$; dominio stratificato con sezioni $E_z$: $\int_a^b(\iint_{E_z}f)dz$.
2. Definire le coordinate cilindriche e sferiche e dire il fattore da inserire nell'integrale. Traccia. $\rho$ e $\rho^2\sin\varphi$ ($\varphi$ colatitudine), dalle jacobiane.
3. Enunciare e dimostrare il teorema di Pappo-Guldino per il volume dei solidi di rotazione. Traccia. Coordinate cilindriche, $\iint_A\rho\,d\rho\,dz = x_B|A|$ (dimostrazione del paragrafo 6).