Esercizio - derivabilità e differenziabilità nell'origine con parametro (esercizi 2025-26)

Teoria: Derivate parziali, differenziabilità e piano tangenteLa derivata parziale f_{x_i}(x0) è la derivata di t ↦ f(x0 + t e_i); il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. In più variabili l'esistenza delle derivate parziali NON implica la continuità. f è differenziabile in x0 se f(x0 + h) = f(x0) + a·h + o(|h|); allora f è continua, ha gradiente e a = ∇f(x0) (D). Il grafico ha piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) e normale (−f_x, −f_y, 1). Teorema del differenziale totale: se le derivate parziali esistono vicino a x0 e sono continue in x0, f è differenziabile; C^1 ⇒ differenziabile ⇒ derivabile e continua, ma i viceversa sono falsi. Regole: Leibniz, catena (f∘r)' = ∇f(r)·r'.Derivate parziali, differenziabilità e piano tangente →, Funzioni di più variabili, limiti e continuitàUna funzione scalare di n variabili f : A ⊆ R^n → R ha dominio naturale (dove la formula ha senso), grafico (superficie in R^{n+1}) e insiemi di livello {f = c}. Il limite in x0 (punto di accumulazione) si definisce con ε-δ o con le successioni (Heine); per negare l'esistenza si confrontano restrizioni a curve diverse (rette, parabole), per dimostrarla si maggiora |f − L| con g(ρ) → 0 indipendente da θ (coordinate polari) o si usano i due carabinieri. f è continua in x0 se lim = f(x0). I limiti iterati non bastano.Funzioni di più variabili, limiti e continuità →.

Testo.

1. $f(x,y)=x\log(x^2+y^2)$ per $(x,y)\ne(0,0)$, $f(0,0)=0$. Trovare gli insiemi in cui $f$ è: (i) continua; (ii) dotata di $f_x$; (iii) dotata di $f_y$; (iv) differenziabile.
2. Per $\alpha>0$, $f_\alpha(x,y)=\dfrac{|xy|^\alpha}{x^2+y^2}$ per $(x,y)\ne(0,0)$, $f_\alpha(0,0)=0$. (i) Per quali $\alpha$ è continua in $(0,0)$? (ii) Per quali è differenziabile in $(0,0)$? (iii) Derivate parziali nei punti degli assi.
3. Per $\alpha\in\mathbb{R}$, $f(x,y)=|x|^\alpha\sin y$ se $x\ne0$, $f(x,y)=0$ se $x=0$. Per quali $\alpha$ è: (i) continua in $(0,0)$; (ii) dotata di derivate parziali in $(0,0)$; (iii) differenziabile in $(0,0)$?

(Fonte: esercizi 5, 6, 8 della raccolta del corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD, 2025-26. Risultato 3: (i) $\alpha\ge0$, (ii) $\forall\alpha$, (iii) $\alpha>0$.)

Strategia comune

Nell'origine non valgono le regole di derivazione: le derivate parziali si calcolano con il rapporto incrementale. Se esistono, si studia l'errore relativo $E(\underline h)=\dfrac{f(\underline h)-f(\underline 0)-\nabla f(\underline 0)\cdot\underline h}{|\underline h|}$: $f$ è differenziabile in $\underline 0$ se e solo se $E\to0$.

Parte 1: $x\log(x^2+y^2)$

(i) Continuità. Fuori dall'origine $f$ è composta di continue. In $(0,0)$, in polari, $\tilde f=\rho\cos\theta\cdot\log\rho^2$, $|\tilde f|\le2\rho|\log\rho|\to0$: $f$ è continua in tutto $\mathbb{R}^2$.

(ii)–(iii) Derivate parziali. Fuori dall'origine $$f_x=\log(x^2+y^2)+\frac{2x^2}{x^2+y^2},\qquad f_y=\frac{2xy}{x^2+y^2}.$$ Nell'origine: $f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\dfrac{h\log h^2-0}{h}=\lim_{h\to0}\log h^2=-\infty$, non esiste; $f_y(0,0)=\lim\dfrac{f(0,h)-0}{h}=0$ perché $f(0,y)=0$, esiste. Quindi $f_x$ esiste in $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$, $f_y$ esiste in tutto $\mathbb{R}^2$.

(iv) Differenziabilità. Fuori dall'origine le derivate parziali sono continue: $f$ è $C^1$, quindi differenziabile. Nell'origine $f_x$ non esiste: non è differenziabile. Insieme di differenziabilità: $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$.

Parte 2: $\dfrac{|xy|^\alpha}{x^2+y^2}$

In polari $\tilde f=\rho^{2\alpha-2}|\cos\theta\sin\theta|^\alpha$.

(i) Continuità: (come nell'esercizio sulla continuità con parametro) $\alpha>1$.

(ii) Differenziabilità. Sugli assi $f=0$, quindi $\nabla f(0,0)=(0,0)$ (per ogni $\alpha>0$). L'errore relativo è $$E=\frac{f}{\rho}=\rho^{2\alpha-3}|\cos\theta\sin\theta|^\alpha .$$

• Se $2\alpha-3>0$, cioè $\alpha>\frac32$: $|E|\le\rho^{2\alpha-3}\to0$ uniformemente: differenziabile.
• Se $\alpha=\frac32$: $E=|\cos\theta\sin\theta|^{3/2}$ è indipendente da $\rho$ e sulla bisettrice vale $2^{-3/2}\approx0.354\ne0$: non differenziabile (tra l'altro $f$ è continua, essendo $\alpha>1$).
• Se $\alpha<\frac32$: sulla bisettrice ($\theta=\frac\pi4$, $|\cos\theta\sin\theta|=\frac12$) $E=2^{-\alpha}\rho^{2\alpha-3}$ ha esponente negativo e diverge: non differenziabile (per $1<\alpha<\frac32$ la funzione è continua ma non differenziabile).

Risposta (ii): differenziabile in $(0,0)$ se e solo se $\alpha>\frac32$.

(iii) Derivate parziali sugli assi. Su un punto $(x_0,0)$ con $x_0\ne0$: $f(x,0)=0$ per ogni $x$, quindi $f_x(x_0,0)=0$. Per $f_y$: $$\frac{f(x_0,h)-f(x_0,0)}{h}=\frac{|x_0|^\alpha|h|^\alpha}{h\,(x_0^2+h^2)}\sim\frac{|x_0|^{\alpha-2}\,|h|^\alpha}{h}.$$

• se $\alpha>1$: $\frac{|h|^\alpha}{h}\to0$, quindi $f_y(x_0,0)=0$;
• se $\alpha=1$: $\frac{|h|}{h}=\pm1$, limiti destro e sinistro diversi: non esiste;
• se $\alpha<1$: $\frac{|h|^\alpha}{h}\to\pm\infty$: non esiste.

Quindi sull'asse $x$ (fuori dall'origine) $f_y$ esiste solo per $\alpha>1$ e vale $0$. Analogamente sull'asse $y$ per $f_x$. Nell'origine $f_x=f_y=0$ per ogni $\alpha>0$.

Parte 3: $|x|^\alpha\sin y$

(i) Continuità in $(0,0)$. Per $\alpha\ge0$: $|f|\le|x|^\alpha$, che $\to0$ se $\alpha>0$; per $\alpha=0$ è $f=\sin y\to0$ (per $x\ne0$) e $f=0$ per $x=0$: ok. Quindi continua per $\alpha\ge0$. Per $\alpha<0$ si sceglie $y=|x|^{-\alpha/2}\to0$: $f\sim|x|^{\alpha}\,|x|^{-\alpha/2}=|x|^{\alpha/2}\to+\infty$: non continua. Risposta: $\alpha\ge0$.

(ii) Derivate parziali in $(0,0)$. $f(x,0)=|x|^\alpha\cdot0=0$ e $f(0,y)=0$ per ogni $\alpha$: $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$, per ogni $\alpha\in\mathbb{R}$.

(iii) Differenziabilità. Poiché $\nabla f(0,0)=(0,0)$, $E=\dfrac{|x|^\alpha\sin y}{\sqrt{x^2+y^2}}$. Per $\alpha>0$: $|\sin y|\le|y|\le\rho$ e $|x|^\alpha\le\rho^\alpha$, quindi $|E|\le\rho^\alpha\to0$: differenziabile. Per $\alpha=0$: $E=\frac{\sin y}{\rho}$, che sulla bisettrice vale $\frac{\sin(\rho/\sqrt2)}{\rho}\to\frac{1}{\sqrt2}\ne0$: non differenziabile. Per $\alpha<0$ non è nemmeno continua. Risposta: $\alpha>0$.

Errori tipici. Derivare con le formule dentro il punto singolare; dichiarare "differenziabile perché continua e con derivate parziali" (non basta); dimenticare i casi di frontiera $\alpha=\frac32$ e $\alpha=0$.