Esercizio - esistenza di massimo e minimo con Weierstrass (lezione 13)

Teoria: Topologia di Rn, teorema di Weierstrass e teorema degli zeriDato E ⊆ R^n, ogni punto è interno, esterno o di frontiera (partizione). E è aperto se E = interno, chiuso se il complementare è aperto (equivalentemente contiene la frontiera, o contiene i limiti delle sue successioni). Palle aperte e insiemi {f<c} con f continua sono aperti; {f≤c}, {f=c} chiusi. Compatto = chiuso e limitato. Weierstrass: f continua su un compatto ha massimo e minimo; vale anche su un chiuso illimitato se f→+∞ (minimo) o f→−∞ (massimo) all'infinito. Connesso per archi + f continua con segni opposti ⇒ f si annulla (teorema degli zeri).Topologia di Rn, teorema di Weierstrass e teorema degli zeri →.

Testo. Dire, giustificando con il teorema di Weierstrass (o con il suo corollario sugli insiemi illimitati), se le seguenti funzioni hanno massimo e minimo assoluti sull'insieme indicato; dove è facile, trovarli. (a) $f(x,y)=x^2y$ su $K=\{x^2+y^2\le1\}$; (b) $f(x,y)=x^2+y^2-xy$ su $\mathbb{R}^2$; (c) $f(x,y)=x\,e^{-x^2-y^2}$ su $\mathbb{R}^2$; (d) $f(x,y)=x$ su $D=\{x^2+y^2<1\}$.

(Fonte: corollario di Weierstrass per insiemi illimitati della lezione 13 del corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD; gli esempi sono costruiti per queste note.)

Soluzione

(a) $K$ è il disco chiuso: chiuso (è $\{g\le1\}$, $g=x^2+y^2$ continua) e limitato (contenuto in $B_2(\underline 0)$). $f$ è un polinomio, continuo. Per Weierstrass esistono massimo e minimo. Si trovano: l'insieme dei punti critici interni dà $f_x=2xy=0$, $f_y=x^2=0$, quindi $x=0$, dove $f=0$; sul bordo $x=\cos t$, $y=\sin t$: $f=\cos^2t\sin t=(1-\sin^2t)\sin t$, con $s=\sin t\in[-1,1]$: $h(s)=s-s^3$, $h'(s)=1-3s^2=0$ per $s=\pm\frac1{\sqrt3}$, $h=\pm\frac{2}{3\sqrt3}$. Quindi $\max_K f=\frac{2}{3\sqrt3}\approx0.385$ e $\min_K f=-\frac{2}{3\sqrt3}$ (il metodo completo è nella parte B: Massimi e minimi liberi e natura dei punti criticiEstremo assoluto = vale in tutto il dominio, relativo = vale in un intorno; "libero" = il dominio è aperto. Fermat (D): in un punto interno di estremo locale dove f è derivabile, ∇f = 0 (punto critico); non basta (x³, −y³, sella x² − y²). Taylor al secondo ordine (D): con f in C² e ∇f(P) = 0, l'Hessiana definita positiva dà minimo locale stretto, definita negativa massimo locale stretto, indefinita sella; per n = 2: det H > 0 e f_xx > 0 minimo, det H > 0 e f_xx < 0 massimo, det H < 0 sella, det H = 0 non decide (x⁴ + y⁴, −x⁴ − y⁴, x⁴ − y⁴). Estremi globali: Weierstrass in un chiuso illimitato se f → +∞ (o −∞) all'infinito (D), da verificare in coordinate polari con una stima che non dipende dall'angolo.Massimi e minimi liberi e natura dei punti critici →).

(b) Il dominio $\mathbb{R}^2$ è chiuso e illimitato. Da $xy\le\frac12(x^2+y^2)$ segue $f\ge\frac12(x^2+y^2)\to+\infty$ per $|\underline x|\to\infty$. Per il corollario ($f$ continua, chiuso, $f\to+\infty$) esiste il minimo assoluto: è $f(0,0)=0$ (perché $f\ge\frac12|\underline x|^2\ge0$). Il massimo non esiste: $f(x,0)=x^2$ è illimitata superiormente.

(c) $f(x,y)=x\,e^{-(x^2+y^2)}$. All'infinito: $|f|\le|\underline x|\,e^{-|\underline x|^2}\to0$ (l'esponenziale batte il fattore lineare). Quindi $f\to0$ per $|\underline x|\to\infty$, un limite finito. Inoltre $f$ assume valori positivi (es. $f(1,0)=e^{-1}>0$) e negativi ($f(-1,0)<0$). Esistenza del massimo: fissato $\underline x_1=(1,0)$ e $M=f(\underline x_1)=e^{-1}>0$, per il limite $0$ esiste $R\ge1$ con $f<M$ per $|\underline x|>R$ (qui basta $|f|<M$ fuori). Quindi il massimo di $f$ su $\mathbb{R}^2$, se c'è, sta nel disco compatto $\overline B_R$: lì Weierstrass lo garantisce, e fuori $f<M\le\max$. Lo stesso per il minimo ($\underline x_1=(-1,0)$). I punti critici: $f_x=e^{-r^2}(1-2x^2)=0\Rightarrow x=\pm\frac1{\sqrt2}$, $f_y=-2xy\,e^{-r^2}=0\Rightarrow y=0$ (con $x\ne0$). Dunque $$\max f=f\big(\tfrac1{\sqrt2},0\big)=\tfrac{1}{\sqrt{2e}}\approx0.429,\qquad\min f=f\big(-\tfrac1{\sqrt2},0\big)=-\tfrac1{\sqrt{2e}} .$$

(d) $D$ è un disco aperto: è limitato ma non chiuso, quindi Weierstrass non si applica, e infatti la tesi fallisce: $f(x,y)=x$ ha $\sup_Df=1$ e $\inf_Df=-1$ ma non li assume (richiederebbe $(\pm1,0)\notin D$). Non esistono né massimo né minimo.

Errori tipici. Applicare Weierstrass a insiemi non chiusi o non limitati (d); in (b) cercare un massimo che non c'è; in (c) dire "esistono perché $f\to0$" senza osservare che $f$ prende anche valori $\ne0$ di segno opposto: una funzione sempre positiva con limite $0$ all'infinito (per esempio $e^{-x^2-y^2}$) ha massimo ma non ha minimo.