Esercizio - circuitazione lungo una circonferenza nello spazio (foglio 6, esercizio 10)

Teoria: Campi vettoriali, lavoro e forme differenzialiUn campo vettoriale assegna un vettore a ogni punto; la forma differenziale ω = F₁dx + F₂dy + F₃dz è lo stesso oggetto scritto come "covettore". Il lavoro (integrale curvilineo di seconda specie) è ∫ F(r(t))·r'(t) dt: è lineare, additivo sul cammino, cambia segno se si inverte il verso e non cambia se si riparametrizza con lo stesso verso. Si lega all'integrale di prima specie con ∫ F·T ds.Campi vettoriali, lavoro e forme differenziali →; il secondo metodo usa il teorema del rotore (Flusso, teorema della divergenza e teorema del rotoreIl flusso di F attraverso una superficie orientata è ∬ F·n dσ = ∬ F(r)·(r_u ∧ r_v) du dv (grafico: ∬ F·(−f_x,−f_y,1) dx dy). Teorema della divergenza: per un solido Ω il flusso uscente da ∂Ω è ∭ div F; nel piano ∬ div F = ∮ F·n ds. Teorema del rotore (Stokes): ∬ rot F·n dσ = ∮ F·T ds sul bordo orientato; su una superficie chiusa il flusso del rotore è 0. Da div rot F = 0 vengono i campi solenoidali e il potenziale vettore.Flusso, teorema della divergenza e teorema del rotore →).

Testo

Calcolare la circuitazione del campo $\mathbf{F}(x,y,z)=(xy,\ x^2,\ yz)$ lungo la curva di $\mathbb{R}^3$ data dalla circonferenza di raggio $2$ centrata nell'origine, nel piano $z=0$ (orientata in senso antiorario visto dall'alto).

Soluzione

La circuitazione è il lavoro $\oint_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ su una curva chiusa. La curva sta nello spazio ma è piana, quindi ha una parametrizzazione con terza componente costante.

Metodo 1: calcolo diretto

Parametrizzazione. $\mathbf{r}(t)=(2\cos t,\ 2\sin t,\ 0)$, $t\in[0,2\pi]$; la velocità è $\mathbf{r}'(t)=(-2\sin t,\ 2\cos t,\ 0)$.

Il campo sulla curva. Con $x=2\cos t$, $y=2\sin t$, $z=0$: $$\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\bigl(4\cos t\sin t,\ 4\cos^2t,\ 0\bigr).$$ La terza componente è nulla perché $yz=0$ (e comunque $dz=0$ lungo la curva).

Prodotto scalare. $$\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}'=4\cos t\sin t\,(-2\sin t)+4\cos^2t\,(2\cos t)=-8\cos t\sin^2t+8\cos^3t .$$

Integrale.

• $\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos t\sin^2t\,dt=\left[\frac{\sin^3t}{3}\right]_0^{2\pi}=0$ (primitiva immediata: $\sin^2t$ per la derivata di $\sin t$);
• $\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos^3t\,dt=\int_0^{2\pi}(1-\sin^2t)\cos t\,dt=\left[\sin t-\frac{\sin^3t}{3}\right]_0^{2\pi}=0$.

Quindi la circuitazione è $0$.

Metodo 2: teorema del rotore

Il disco $D=\{x^2+y^2\le4,\ z=0\}$ ha come bordo orientato positivamente la circonferenza, se si sceglie la normale $\mathbf{n}=\mathbf{e}_3$. Il teorema di Stokes dà $\oint_{\partial^+D}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_D\operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot\mathbf{e}_3\,dx\,dy$, e per questo basta la terza componente del rotore: $$\operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot\mathbf{e}_3=\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}=2x-x=x .$$ (Il rotore completo è $(z,0,x)$.) Allora $$\oint=\iint_{x^2+y^2\le4}x\,dx\,dy=0$$ perché l'integranda è dispari in $x$ e il disco è simmetrico rispetto all'asse $y$.

Risultato. La circuitazione vale $0$ con entrambi i metodi.