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Note per Studenti Esercizio - Lagrange su una circonferenza e sul disco (appello 8 luglio 2025)

Esercizio - Lagrange su una circonferenza e sul disco (appello 8 luglio 2025)

Esame
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Teoria: Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di LagrangeEstremi vincolati = estremi di f ristretta a una curva g(x,y) = b o a un insieme chiuso K. Metodo diretto: si parametrizza il vincolo, r(t) = (x(t), y(t)), e si studia φ(t) = f(r(t)) con l'Analisi 1 (non dimenticare gli estremi dell'intervallo). Moltiplicatori di Lagrange (D): se P è estremo locale di f|Γ e ∇g(P) ≠ 0 allora ∇f(P) = λ∇g(P); equivale a ∇L = 0 per L = f + λ(b − g). Procedura: punti singolari del vincolo (∇g = 0), punti critici vincolati, confronto dei valori (Weierstrass se Γ è compatto). Estremi assoluti su un insieme chiuso K: interno (∇f = 0), frontiera (Lagrange o parametrizzazione, più i vertici), confronto; se K è illimitato si usa la coercività della funzione all'infinito.Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di Lagrange →. Fonte: corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD, terzo appello 2025.

Testo

Sia f(x,y)=3y+2((x−1)2+y2)f(x,y) = 3y + 2\big((x-1)^2 + y^2\big).

  • (a) Trovare i punti critici di ff vincolati alla circonferenza x2+y2=4x^2 + y^2 = 4.
  • (b) Trovare massimo e minimo assoluti di ff sul disco compatto D={x2+y2≤4}D = \{x^2 + y^2 \le 4\}.

Soluzione

Sviluppando, f(x,y)=2x2+2y2−4x+3y+2f(x,y) = 2x^2 + 2y^2 - 4x + 3y + 2.

(a) Punti critici vincolati

Vincolo. g(x,y)=x2+y2−4=0g(x,y) = x^2 + y^2 - 4 = 0, ∇g=(2x,2y)\nabla g = (2x, 2y), nullo solo in (0,0)(0,0), che non sta sulla circonferenza (g(0,0)=−4g(0,0) = -4): vincolo regolare.

Lagrange. ∇f=(4x−4, 4y+3)\nabla f = (4x - 4,\ 4y + 3). Il parallelismo con ∇g=(2x,2y)\nabla g = (2x, 2y) è fxgy−fygx=(4x−4)(2y)−(4y+3)(2x)=8xy−8y−8xy−6x=−8y−6x=0,f_x g_y - f_y g_x = (4x - 4)(2y) - (4y + 3)(2x) = 8xy - 8y - 8xy - 6x = -8y - 6x = 0, quindi y=−34xy = -\frac34 x (la retta per l'origine con direzione (4,−3)(4,-3)). Sostituendo nel vincolo: x2+916x2=4  ⟹  2516x2=4  ⟹  x2=6425  ⟹  x=±85.x^2 + \frac{9}{16}x^2 = 4 \implies \frac{25}{16}x^2 = 4 \implies x^2 = \frac{64}{25} \implies x = \pm\frac85. Punti: P1=(85,−65)P_1 = \left(\frac85, -\frac65\right) e P2=(−85,65)P_2 = \left(-\frac85, \frac65\right). Valori: f(P1)=3(−65)+2(925+3625)=−185+185=0,f(P_1) = 3\left(-\frac65\right) + 2\left(\frac{9}{25} + \frac{36}{25}\right) = -\frac{18}5 + \frac{18}5 = 0, f(P2)=185+2(16925+3625)=185+825=20.f(P_2) = \frac{18}5 + 2\left(\frac{169}{25} + \frac{36}{25}\right) = \frac{18}5 + \frac{82}5 = 20.

Altro modo (senza Lagrange). Sulla circonferenza x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 si ha f=2⋅4−4x+3y+2=10−4x+3yf = 2\cdot 4 - 4x + 3y + 2 = 10 - 4x + 3y. Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, ∣−4x+3y∣≤16+9x2+y2=5⋅2=10|-4x + 3y| \le \sqrt{16 + 9}\sqrt{x^2 + y^2} = 5\cdot2 = 10, con uguaglianza quando (x,y)(x,y) è parallelo a (−4,3)(-4,3). Quindi f∣Γ∈[0,20]f|_\Gamma \in [0, 20], con 2020 in 2⋅(−4,3)5=(−85,65)2\cdot\frac{(-4,3)}5 = \left(-\frac85, \frac65\right) e 00 nel punto opposto ✓.

(b) Estremi assoluti su DD

DD è compatto e ff continua: esistono massimo e minimo.

  • Frontiera: candidati P1,P2P_1, P_2 con valori 00 e 2020 (e sulla frontiera ff varia in [0,20][0,20]).
  • Interno: ∇f=(4x−4,4y+3)=0\nabla f = (4x - 4, 4y + 3) = \mathbf{0} in (1,−34)\left(1, -\frac34\right); è interno perché 1+916<41 + \frac9{16} < 4. Valore: f=3(−34)+2⋅916=−94+98=−98f = 3\left(-\frac34\right) + 2\cdot\frac9{16} = -\frac94 + \frac98 = -\frac98.

Confronto di 2020, 00, −98-\frac98: max⁡Df=20  in (−85,65),min⁡Df=−98  in (1,−34).\max_D f = 20 \ \text{ in } \left(-\tfrac85, \tfrac65\right), \qquad \min_D f = -\tfrac98 \ \text{ in } \left(1, -\tfrac34\right). (Coerente col fatto che f=2[(x−1)2+(y+34)2]−98f = 2\big[(x-1)^2 + (y + \frac34)^2\big] - \frac98 è un paraboloide di vertice (1,−34)\left(1, -\frac34\right).)

Grafico interattivo: Disco x² + y² ≤ 4 con i punti di massimo (−8/5, 6/5), valore 20, e di minimo (1, −3/4), valore −9/8, e il punto di minimo sulla circonferenza (8/5, −6/5), valore 0

Errori tipici

  • Dimenticare di confrontare con il punto critico interno (1,−34)\left(1, -\frac34\right): il minimo su DD non è quello della frontiera.
  • Non verificare che il punto critico libero stia davvero dentro il disco.

Versione ripasso

Testo. f=3y+2((x−1)2+y2)f = 3y + 2((x-1)^2 + y^2); (a) punti critici su x2+y2=4x^2 + y^2 = 4; (b) estremi su x2+y2≤4x^2 + y^2 \le 4.

(a) ∇g=(2x,2y)≠0\nabla g = (2x, 2y) \ne 0 sul vincolo. ∇f=(4x−4,4y+3)\nabla f = (4x - 4, 4y + 3). Parallelismo: −8y−6x=0-8y - 6x = 0, y=−34xy = -\frac34x; vincolo: x=±85x = \pm\frac85. P1=(85,−65)P_1 = \left(\frac85, -\frac65\right), f=0f = 0; P2=(−85,65)P_2 = \left(-\frac85, \frac65\right), f=20f = 20. Altro modo: f∣Γ=10−4x+3y∈[0,20]f|_\Gamma = 10 - 4x + 3y \in [0, 20] (Cauchy-Schwarz).

(b) Interno: ∇f=0\nabla f = 0 in (1,−34)\left(1, -\frac34\right) (interno), f=−98f = -\frac98. max⁡=20\max = 20 in P2P_2, min⁡=−98\min = -\frac98 in (1,−34)\left(1, -\frac34\right).

Errori: dimenticare il punto critico interno; non verificare che sia interno.

Passaggi. (4x−4)(2y)−(4y+3)(2x)=−8y−6x(4x - 4)(2y) - (4y + 3)(2x) = -8y - 6x. 2516x2=4⇒x2=6425\frac{25}{16}x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = \frac{64}{25}. f(P1)=−185+2⋅4525=0f(P_1) = -\frac{18}5 + 2\cdot\frac{45}{25} = 0; f(P2)=185+2⋅20525=20f(P_2) = \frac{18}5 + 2\cdot\frac{205}{25} = 20. Interno: f(1,−34)=−94+98=−98f(1, -\frac34) = -\frac94 + \frac98 = -\frac98, 1+916<41 + \frac9{16} < 4.

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