Esercizio - direzione di massima crescita, piano tangente e insiemi di livello (foglio 2)

Teoria: Derivate direzionali, formula del gradiente e curve di livelloLa derivata direzionale D_v f(x0) = lim [f(x0 + t v) − f(x0)]/t (v versore) è la pendenza di f lungo la retta per x0 con direzione v. Se f è differenziabile in x0 vale la formula del gradiente D_v f = ∇f(x0)·v (D); l'esistenza di tutte le D_v non basta (anche a f discontinua). Quindi la massima crescita è nella direzione di ∇f, con pendenza |∇f| (D), la minima in −∇f, e D_v f = 0 per v ⊥ ∇f. Il gradiente è ortogonale alle curve di livello (D): la tangente alla curva di livello in (x0,y0) è f_x(x−x0) + f_y(y−y0) = 0, a patto che ∇f ≠ 0.Derivate direzionali, formula del gradiente e curve di livello →, Derivate parziali, differenziabilità e piano tangenteLa derivata parziale f_{x_i}(x0) è la derivata di t ↦ f(x0 + t e_i); il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. In più variabili l'esistenza delle derivate parziali NON implica la continuità. f è differenziabile in x0 se f(x0 + h) = f(x0) + a·h + o(|h|); allora f è continua, ha gradiente e a = ∇f(x0) (D). Il grafico ha piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) e normale (−f_x, −f_y, 1). Teorema del differenziale totale: se le derivate parziali esistono vicino a x0 e sono continue in x0, f è differenziabile; C^1 ⇒ differenziabile ⇒ derivabile e continua, ma i viceversa sono falsi. Regole: Leibniz, catena (f∘r)' = ∇f(r)·r'.Derivate parziali, differenziabilità e piano tangente →.

Testo.

1. Sia $f(x,y)=e^{x^2}(\alpha x-y^3)$. (a) Trovare, se esiste, $\alpha$ tale che la direzione di massima crescita di $f$ in $(0,1)$ sia lungo la tangente alla parabola $y=(x+1)^2$ nel verso negativo dell'asse $x$. (b) Trovare $\alpha$ tale che il piano tangente in $(0,1,f(0,1))$ sia perpendicolare alla retta $\dfrac x2=\dfrac y3=z$.
2. Descrivere gli insiemi di livello di $g(x,y)=e^{-(x+y^2)}$ e dire se il grafico di $h(x)=\sqrt x$ ($x\ge0$) è contenuto in qualche insieme di livello di $g$.
3. Sia $f(x,y)=x^2+y^2-2x$ e $\gamma(t)=(1+\cos t,\sin t)$. Trovare un insieme di livello di $f$ che contiene il sostegno di $\gamma$.

(Fonte: esercizi 6, 7, 8 del foglio 2, corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD.)

Soluzione della parte 1

$f_x=e^{x^2}[2x(\alpha x-y^3)+\alpha]$, $f_y=-3y^2e^{x^2}$; in $(0,1)$: $f=-1$, $f_x=\alpha$, $f_y=-3$, quindi $\nabla f(0,1)=(\alpha,-3)$.

(a) La tangente alla parabola in $x=0$ ha pendenza $y'(0)=2(0+1)=2$, direzione $(1,2)$ nel verso delle $x$ crescenti; nel verso negativo delle $x$ è $\underline w=(-1,-2)$. La direzione di massima crescita è quella di $\nabla f$ (stesso verso): serve $\nabla f(0,1)=c\,\underline w$ con $c>0$: $$(\alpha,-3)=c(-1,-2)\ \Rightarrow\ c=\tfrac32>0,\quad\alpha=-c=-\tfrac32 .$$ Il segno di $c$ è essenziale: con $\alpha=\frac32$ si avrebbe $c=-\frac32<0$ e il gradiente punterebbe nel verso opposto, quello della massima decrescita. Risposta: $\alpha=-\frac32$.

(b) Il piano tangente in $(0,1,-1)$ è $z+1=\alpha x-3(y-1)$, cioè $\alpha x-3y-z+2=0$, con normale $\underline n=(\alpha,-3,-1)$. La retta $\frac x2=\frac y3=z=s$ è $(2s,3s,s)$, di direzione $(2,3,1)$. Il piano è perpendicolare alla retta se il normale è parallelo alla direzione: $(\alpha,-3,-1)=k(2,3,1)$. Dalle ultime due componenti $k=-1$ (concordi), poi $\alpha=2k=-2$. Risposta: $\alpha=-2$.

Soluzione della parte 2

Livelli. $g=e^{-(x+y^2)}>0$, quindi $L_c=\emptyset$ per $c\le0$. Per $c>0$, passando ai logaritmi, $-(x+y^2)=\ln c$, cioè $$x=-y^2-\ln c ,$$ una parabola con asse l'asse $x$, concavità verso sinistra e vertice in $(-\ln c,0)$. Al crescere di $c$ il vertice si sposta a sinistra ($c=1$: vertice nell'origine; $c=e$: vertice in $(-1,0)$; $c=e^{-1}$: vertice in $(1,0)$).

Il grafico di $h$ in un livello? Su $(x,\sqrt x)$: $g(x,\sqrt x)=e^{-(x+x)}=e^{-2x}$, che non è costante ($g(0,0)=1$, $g(1,1)=e^{-2}$). Quindi il grafico di $h$ non sta in alcun insieme di livello (taglia le parabole di livello in punti diversi: $g$ decresce lungo $h$).

Soluzione della parte 3

Si valuta $f$ lungo la curva: $$f(\gamma(t))=(1+\cos t)^2+\sin^2t-2(1+\cos t)=1+2\cos t+\cos^2t+\sin^2t-2-2\cos t=0 .$$ È identicamente $0$: il sostegno sta nell'insieme di livello $L_0=\{x^2+y^2-2x=0\}=\{(x-1)^2+y^2=1\}$, la circonferenza di centro $(1,0)$ e raggio $1$ (il sostegno è tutta la circonferenza, percorsa una volta per $t\in[0,2\pi]$). Conferma: il gradiente $\nabla f=(2x-2,2y)=2(x-1,y)$ è parallelo al raggio, ortogonale alla circonferenza.

Errori tipici. In 1(a) ignorare il verso (il gradiente deve avere il verso richiesto, quindi $c>0$); in 1(b) confondere perpendicolare con parallelo; in 2 dimenticare che $L_c=\emptyset$ per $c\le0$.