Campi vettoriali, lavoro e forme differenziali

Prerequisiti: Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettorialiUna curva è una funzione continua r : [a,b] → R^m; il sostegno è la sua immagine. Limiti, continuità e derivate si fanno componente per componente. La curva è regolare se r è C^1 e r'(t) ≠ 0 ovunque: allora r'(t) è il vettore tangente e la retta tangente è r(t0) + λ r'(t0). Esempi: circonferenza, segmento, grafico (t, f(t)), curve polari (f(θ)cosθ, f(θ)sinθ) regolari se f' ≠ 0 dove f = 0, elica, cuspide (t²,t³). L'integrale di r si fa per componenti; vale ∫ r' = r(b) − r(a) e ‖∫ r‖ ≤ ∫ ‖r‖.Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali → (curva, vettore tangente $\mathbf{r}'(t)$), Integrali curvilinei di prima specie, baricentri e momenti d'inerziaL'integrale curvilineo di prima specie di f lungo una curva C^1 è ∫_γ f ds = ∫_a^b f(r(t)) |r'(t)| dt, dove ds = |r'(t)|dt è l'elemento d'arco. Con f = 1 dà la lunghezza; con f ≥ 0 l'area di una parete verticale alta f lungo la curva; con f = densità la massa. Non dipende dalla parametrizzazione né dal verso di percorrenza (D). Baricentro x_b = (1/M)∫ x μ ds; momento d'inerzia I = ∫ δ² μ ds con δ distanza dall'asse.Integrali curvilinei di prima specie, baricentri e momenti d'inerzia → (integrale rispetto alla lunghezza d'arco), Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →, Integrazione per sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione → (serve nella dimostrazione sul cambio di parametro).

Campo vettoriale

Definizione (campo vettoriale). Sia $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ un aperto, con $n=2$ o $n=3$. Un campo vettoriale è una funzione $\mathbf{F}:\Omega\to\mathbb{R}^n$, cioè una regola che a ogni punto $P\in\Omega$ associa un vettore $\mathbf{F}(P)$ "applicato" in $P$. In componenti $\mathbf{F}=(F_1,\dots,F_n)$, dove ogni $F_i:\Omega\to\mathbb{R}$ è una funzione scalare. Si dice di classe $C^1$ se lo sono tutte le componenti.

Esempio. $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$ in $\mathbb{R}^2$: nel punto $(1,0)$ vale $(0,1)$, in $(0,1)$ vale $(-1,0)$, in $(2,0)$ vale $(0,2)$. È il campo "di rotazione" attorno all'origine.

Un campo vettoriale è la struttura matematica di una forza (la forza gravitazionale, quella elettrica, la forza di una molla) oppure di una velocità (la velocità di un fluido in ogni punto). Esempi che ritornano spesso:

• campo costante $\mathbf{F}=(a,b,c)$: la gravità vicino al suolo è $(0,0,-mg)$;
• campo radiale $\mathbf{F}(x,y)=(x,y)$: ogni vettore punta via dall'origine ed è lungo quanto la distanza dall'origine;
• campo di rotazione (o "vortice lineare") $\mathbf{F}(x,y)=(-y,x)$: ogni vettore è perpendicolare al raggio vettore, perché $(-y,x)\cdot(x,y)=0$;
• campo centrale $\mathbf{F}(\mathbf{x})=g(\|\mathbf{x}\|)\,\mathbf{x}$: parallelo al raggio vettore; vi rientrano la gravitazione e l'elettrostatica, $\mathbf{F}=-\dfrac{k}{\|\mathbf{x}\|^3}\,\mathbf{x}$ in $\mathbb{R}^3\setminus\{\mathbf{0}\}$, il cui modulo vale $k/\|\mathbf{x}\|^2$.

Forma differenziale: lo stesso oggetto, scritto come "covettore"

Nell'algebra lineare (Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →) un vettore di $\mathbb{R}^3$ è una colonna $V=(V_1,V_2,V_3)^T$. Un covettore è una riga $L=(L_1,L_2,L_3)$: agisce su un vettore moltiplicando riga per colonna, $L(V)=L_1V_1+L_2V_2+L_3V_3$, e il risultato è un numero.

Definizione (forma differenziale lineare). Una forma differenziale lineare (o 1-forma) su $\Omega$ è una funzione che a ogni punto associa un covettore: $\omega=F_1\,dx+F_2\,dy+F_3\,dz$, dove $dx,dy,dz$ sono i covettori costanti della base duale, $dx=(1,0,0)$, $dy=(0,1,0)$, $dz=(0,0,1)$.

La forma $\omega$ e il campo $\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)$ hanno gli stessi coefficienti: sono lo stesso oggetto visto come riga o come colonna. Il passaggio da una all'altra è lecito perché in $\mathbb{R}^n$ c'è il prodotto scalare standard (su spazi curvi le due cose sono davvero diverse). Valutare $\omega$ su un campo di velocità dà $\omega(\mathbf{v})=F_1v_1+F_2v_2+F_3v_3=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}$.

Esempio. $\omega=3xyz\,dx+xy^2\,dy+e^z\sin x\,dz$ corrisponde al campo $\mathbf{F}=(3xyz,\ xy^2,\ e^z\sin x)$; applicata al campo $\mathbf{G}=(2z,\ e^xy,\ x\log y)$ dà $\omega(\mathbf{G})=6xyz^2+xe^xy^3+xe^z\sin x\,\log y$.

Dizionario (lo useremo nella nota Campi conservativi, irrotazionali e insiemi semplicemente connessiF è conservativo se F = ∇U (U potenziale, forma ω esatta): allora il lavoro da P₁ a P₂ vale U(P₂) − U(P₁), non dipende dal cammino ed è nullo sulle curve chiuse, e queste tre proprietà sono equivalenti. Condizione necessaria: rotore nullo (campo irrotazionale, forma chiusa), che non basta (vortice nel piano bucato: circuitazione 2π). Basta se il dominio è semplicemente connesso (senza buchi). Il potenziale si costruisce integrando una componente e imponendo le altre.Campi conservativi, irrotazionali e insiemi semplicemente connessi →):

Il lavoro: integrale curvilineo di seconda specie

Se una forza costante $\mathbf{F}$ sposta un corpo lungo un segmento $\Delta\mathbf{r}$, il lavoro è $\mathbf{F}\cdot\Delta\mathbf{r}$: conta solo la componente della forza nella direzione dello spostamento. Se la forza cambia da punto a punto e il cammino è curvo, si spezza il cammino in tratti piccolissimi $d\mathbf{r}$, in ciascuno la forza è quasi costante, e si somma: è un integrale.

Definizione (lavoro). Sia $\mathbf{F}:\Omega\to\mathbb{R}^n$ un campo continuo e $\gamma$ una curva regolare a tratti con parametrizzazione $\mathbf{r}:[a,b]\to\Omega$, $t\mapsto\mathbf{r}(t)$. Il lavoro di $\mathbf{F}$ lungo $\gamma$ (integrale curvilineo di seconda specie, integrale di $\omega$ su $\gamma$) è $$L=\int_\gamma\omega=\int_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt .$$ Per una curva regolare a tratti si somma sui pezzi. Se $\gamma$ è chiusa il lavoro si chiama anche circuitazione e si scrive $\oint_\gamma$.

Che cosa si fa in pratica, in quattro passi:

1. si parametrizza la curva, $x=x(t),\ y=y(t)$, e si fissano gli estremi $[a,b]$ nel verso richiesto;
2. si calcola la velocità $\mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t))$;
3. si sostituisce $x(t),y(t)$ nelle componenti del campo, ottenendo $\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))$ in funzione di $t$;
4. si fa il prodotto scalare $F_1x'+F_2y'$ e si integra in $t$.

Nel linguaggio delle forme è lo stesso: si sostituisce $dx=x'(t)\,dt$, $dy=y'(t)\,dt$ in $F_1\,dx+F_2\,dy$.

Esempio. $\mathbf{F}=(2xy,\ x^2)$ lungo $\mathbf{r}(t)=(t,t^2)$, $t\in[0,1]$. Si ha $\mathbf{r}'=(1,2t)$, $\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(2t^3,\ t^2)$, quindi $\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}'=2t^3+2t^3=4t^3$ e $L=\int_0^14t^3\,dt=1$.

Legame con l'integrale di prima specie

Se $\mathbf{T}=\mathbf{r}'/\|\mathbf{r}'\|$ è il versore tangente, allora $\mathbf{r}'(t)\,dt=\mathbf{T}\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt=\mathbf{T}\,ds$, dove $ds=\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt$ è l'elemento di lunghezza. Perciò $$\int_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_\gamma\mathbf{F}\cdot\mathbf{T}\,ds:$$ il lavoro è l'integrale di prima specie della componente tangenziale del campo. Ne segue la stima $\left|\int_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\right|\le\max_\gamma\|\mathbf{F}\|\cdot\ell(\gamma)$, perché $|\mathbf{F}\cdot\mathbf{T}|\le\|\mathbf{F}\|$ (Cauchy-Schwarz, $\|\mathbf{T}\|=1$).

Esempio. $\mathbf{F}=(1,0)$ lungo la semicirconferenza $(\cos t,\sin t)$, $t\in[0,\pi]$, da $(1,0)$ a $(-1,0)$: $\int_0^\pi(1,0)\cdot(-\sin t,\cos t)\,dt=\int_0^\pi-\sin t\,dt=-2$. È la componente $x$ dello spostamento: $-1-1=-2$.

Proprietà

1. Linearità. $\int_\gamma(\alpha\mathbf{F}+\beta\mathbf{G})\cdot d\mathbf{r}=\alpha\int_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}+\beta\int_\gamma\mathbf{G}\cdot d\mathbf{r}$ (viene dalla linearità del prodotto scalare e dell'integrale).
2. Additività sul cammino. Se $\gamma=\gamma_1\cup\gamma_2$ e il punto finale di $\gamma_1$ è il punto iniziale di $\gamma_2$, allora $\int_\gamma=\int_{\gamma_1}+\int_{\gamma_2}$. Per questo basta saper integrare sui segmenti per trattare le spezzate.
3. Inversione del verso. Se $-\gamma$ è la stessa curva percorsa all'indietro, $\int_{-\gamma}\omega=-\int_\gamma\omega$.
4. Cambio di parametrizzazione concorde. Due parametrizzazioni che percorrono la curva nello stesso verso danno lo stesso lavoro.

Teorema (D, comportamento rispetto al cambio di parametro). Sia $\mathbf{r}:[a,b]\to\Omega$ una parametrizzazione regolare e $\varphi:[c,d]\to[a,b]$ di classe $C^1$ con $\varphi'\ne0$, biunivoca; sia $\tilde{\mathbf{r}}=\mathbf{r}\circ\varphi$. Se $\varphi'>0$ allora $\int_{\tilde\gamma}\omega=\int_\gamma\omega$; se $\varphi'<0$ allora $\int_{\tilde\gamma}\omega=-\int_\gamma\omega$.

Dimostrazione. Per la regola della catena $\tilde{\mathbf{r}}'(\tau)=\mathbf{r}'(\varphi(\tau))\,\varphi'(\tau)$. Quindi $$\int_{\tilde\gamma}\omega=\int_c^d\mathbf{F}(\mathbf{r}(\varphi(\tau)))\cdot\mathbf{r}'(\varphi(\tau))\,\varphi'(\tau)\,d\tau .$$ Si pone $u=\varphi(\tau)$, $du=\varphi'(\tau)\,d\tau$ (Integrazione per sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione →). I nuovi estremi sono $\varphi(c)$ e $\varphi(d)$.

• Se $\varphi'>0$, $\varphi$ è crescente: $\varphi(c)=a$, $\varphi(d)=b$ e l'integrale diventa $\int_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(u))\cdot\mathbf{r}'(u)\,du=\int_\gamma\omega$.
• Se $\varphi'<0$, $\varphi$ è decrescente: $\varphi(c)=b$, $\varphi(d)=a$ e l'integrale diventa $\int_b^a\mathbf{F}(\mathbf{r}(u))\cdot\mathbf{r}'(u)\,du=-\int_a^b\dots=-\int_\gamma\omega$. $\blacksquare$

Questo è il motivo per cui si parla di "lavoro lungo la curva orientata": conta il sostegno e il verso di percorrenza, non la velocità con cui lo si percorre. Differenza con la prima specie: l'integrale $\int_\gamma f\,ds$ è sempre indipendente dal verso, mentre qui il verso fa cambiare segno.

Il lavoro dipende, in generale, dal cammino

Esempio. Campo di rotazione $\mathbf{F}=(-y,x)$, punto iniziale $(1,0)$ e punto finale $(-1,0)$, tre cammini:

• semicirconferenza superiore $(\cos t,\sin t)$, $t\in[0,\pi]$: $\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}'=\sin^2t+\cos^2t=1$, lavoro $\pi$;
• segmento sull'asse $x$, $(1-2t,0)$, $t\in[0,1]$: lì $y=0$ e $dy=0$, quindi $\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-y\,dx+x\,dy=0$, lavoro $0$;
• semicirconferenza inferiore $(\cos t,-\sin t)$, $t\in[0,\pi]$: lavoro $-\pi$.

Tre cammini con gli stessi estremi, tre risultati diversi. Capire quando il lavoro non dipende dal cammino è il tema della nota Campi conservativi, irrotazionali e insiemi semplicemente connessiF è conservativo se F = ∇U (U potenziale, forma ω esatta): allora il lavoro da P₁ a P₂ vale U(P₂) − U(P₁), non dipende dal cammino ed è nullo sulle curve chiuse, e queste tre proprietà sono equivalenti. Condizione necessaria: rotore nullo (campo irrotazionale, forma chiusa), che non basta (vortice nel piano bucato: circuitazione 2π). Basta se il dominio è semplicemente connesso (senza buchi). Il potenziale si costruisce integrando una componente e imponendo le altre.Campi conservativi, irrotazionali e insiemi semplicemente connessi →.

Errori comuni

• Dimenticare di calcolare $\mathbf{r}'(t)$ e integrare solo $\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))$: l'integrando è il prodotto scalare con la velocità.
• Non rispettare il verso: se il testo dice "da $A$ a $B$" o "in senso antiorario", la parametrizzazione deve partire da $A$ o girare in senso antiorario; altrimenti il segno è sbagliato.
• Usare $\|\mathbf{r}'\|$ (cioè $ds$) al posto di $\mathbf{r}'$: quello è l'integrale di prima specie.
• Su una curva chiusa scambiare "circuitazione nulla" con "campo nullo": la circuitazione di $(-y,x)$ sulla circonferenza unitaria è $2\pi$, non $0$.

Domande d'esame

1. Definire il lavoro di un campo lungo una curva regolare a tratti e dimostrare che non dipende dalla parametrizzazione scelta, a parità di verso. Traccia: definizione $\int_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt$; si pone $\tilde{\mathbf{r}}=\mathbf{r}\circ\varphi$, regola della catena, sostituzione $u=\varphi(\tau)$; il segno dipende da $\varphi'$.
2. Come si lega l'integrale curvilineo di seconda specie a quello di prima specie? Che cosa succede invertendo il verso? Traccia: $\mathbf{r}'\,dt=\mathbf{T}\,ds$, quindi $\int\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int\mathbf{F}\cdot\mathbf{T}\,ds$; l'integrale cambia segno perché $\mathbf{T}$ cambia segno, mentre $ds$ no.
3. Che cos'è una forma differenziale lineare e come si associa a un campo? Traccia: covettore in ogni punto, stessi coefficienti $F_i$, $\int_\gamma\omega$ è il lavoro di $\mathbf{F}$.

Esercizi svolti: Esercizio - lavoro di una forma differenziale lungo un arco di circonferenza (Esercizi 2025-26, n. 45), Esercizio - circuitazione lungo una circonferenza nello spazio (foglio 6, esercizio 10), Esercizio - lavoro lungo un arco di parabola e area della superficie di rotazione (appello 9 febbraio 2026).