Esercizio - campo con funzione incognita e potenziale su R2 (appello 7 settembre 2026)

Teoria: Campi conservativi, irrotazionali e insiemi semplicemente connessiF è conservativo se F = ∇U (U potenziale, forma ω esatta): allora il lavoro da P₁ a P₂ vale U(P₂) − U(P₁), non dipende dal cammino ed è nullo sulle curve chiuse, e queste tre proprietà sono equivalenti. Condizione necessaria: rotore nullo (campo irrotazionale, forma chiusa), che non basta (vortice nel piano bucato: circuitazione 2π). Basta se il dominio è semplicemente connesso (senza buchi). Il potenziale si costruisce integrando una componente e imponendo le altre.Campi conservativi, irrotazionali e insiemi semplicemente connessi →.

Testo

Si consideri il campo vettoriale $$\mathbf{F}(x,y)=\bigl(y\sin x+xy\cos x+e^y,\ \ g(x)+xe^y\bigr),$$ con $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ di classe $C^1$. (a) Determinare $g$ tale che $\mathbf{F}$ sia conservativo e $g(0)=0$. (b) Per tale $g$ calcolare tutti i potenziali di $\mathbf{F}$. (c) Per tale $g$ calcolare $\int_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$, dove $\gamma$ è il segmento da $(1,0)$ a $\left(\frac\pi2,1\right)$.

Soluzione

(a) La funzione $g$

Il dominio è $\mathbb{R}^2$, convesso, quindi semplicemente connesso; $\mathbf{F}$ è $C^1$ perché $g\in C^1$. Allora $\mathbf{F}$ è conservativo se e solo se $\partial_yF_1=\partial_xF_2$. $$\partial_yF_1=\sin x+x\cos x+e^y,\qquad\partial_xF_2=g'(x)+e^y .$$ Uguagliando, i termini con $e^y$ si cancellano: $g'(x)=\sin x+x\cos x$. Si riconosce la derivata del prodotto $x\sin x$ (infatti $(x\sin x)'=\sin x+x\cos x$), quindi $g(x)=x\sin x+c$. La condizione $g(0)=0$ dà $c=0$: $$g(x)=x\sin x .$$

(b) Tutti i potenziali

Con questa $g$ si cerca $U$ tale che $U_x=y\sin x+xy\cos x+e^y$ e $U_y=x\sin x+xe^y$. Conviene integrare la seconda (più semplice) in $y$: $$U=\int(x\sin x+xe^y)\,dy=xy\sin x+xe^y+h(x),$$ con $h$ funzione della sola $x$ (costante rispetto a $y$). Si deriva in $x$: $$U_x=y\sin x+xy\cos x+e^y+h'(x),$$ e il confronto con $F_1$ dà $h'(x)=0$, $h=C$. Quindi $$U(x,y)=xy\sin x+xe^y+C,\qquad C\in\mathbb{R}.$$

(c) Il lavoro

Il segmento va da $A=(1,0)$ a $B=\left(\frac\pi2,1\right)$ e il campo è conservativo, quindi il lavoro è $U(B)-U(A)$:

• $U\left(\frac\pi2,1\right)=\frac\pi2\cdot1\cdot\sin\frac\pi2+\frac\pi2e=\frac\pi2(1+e)$;
• $U(1,0)=0+1\cdot e^0=1$.

$$\int_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\frac\pi2(1+e)-1\approx4{,}8321 .$$

Controlli. Rotore nullo con $g=x\sin x$, $\nabla U=\mathbf{F}$ e il valore numerico sono stati verificati con sympy.