Esercizio - flusso del rotore attraverso una semisfera e un grafico (foglio 6, esercizi 16 e 17)

Teoria: Flusso, teorema della divergenza e teorema del rotoreIl flusso di F attraverso una superficie orientata è ∬ F·n dσ = ∬ F(r)·(r_u ∧ r_v) du dv (grafico: ∬ F·(−f_x,−f_y,1) dx dy). Teorema della divergenza: per un solido Ω il flusso uscente da ∂Ω è ∭ div F; nel piano ∬ div F = ∮ F·n ds. Teorema del rotore (Stokes): ∬ rot F·n dσ = ∮ F·T ds sul bordo orientato; su una superficie chiusa il flusso del rotore è 0. Da div rot F = 0 vengono i campi solenoidali e il potenziale vettore.Flusso, teorema della divergenza e teorema del rotore →.

Testo

(16) Calcolare il flusso del rotore di $V(x,y,z)=(-y,\,x,\,ye^{z^2})$ attraverso la semisfera unitaria $z\ge0$, orientata con la normale verso l'alto, sia col teorema del rotore sia direttamente. (17) Calcolare il flusso del rotore di $V(x,y,z)=(-y^2,\,x,\,z)$ attraverso la parte del grafico di $z=2-y(x^2+y^2)^4$ contenuta nel cilindro $\{x^2+y^2\le1\}$, con normale verso l'alto.

Soluzione

(16) La semisfera

Con Stokes. Il bordo è l'equatore $\{x^2+y^2=1,\ z=0\}$; con la normale verso l'alto è percorso in senso antiorario: $\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,0)$, $\mathbf{r}'=(-\sin t,\cos t,0)$. Su di esso $e^{z^2}=1$, quindi $V=(-\sin t,\cos t,\sin t)$ e $V\cdot\mathbf{r}'=\sin^2t+\cos^2t=1$: $$\iint_S\operatorname{rot}V\cdot\mathbf{n}\,d\sigma=\oint V\cdot d\mathbf{r}=\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi .$$ Direttamente. $\operatorname{rot}V=(\partial_y(ye^{z^2})-\partial_z(x),\ \partial_z(-y)-\partial_x(ye^{z^2}),\ \partial_xx-\partial_y(-y))=(e^{z^2},0,2)$. Sulla sfera unitaria la normale uscente è $\mathbf{n}=(x,y,z)$ e $$\operatorname{rot}V\cdot\mathbf{n}=xe^{z^2}+2z .$$ Il termine $xe^{z^2}$ è dispari in $x$ e la semisfera è simmetrica per $x\to-x$: integrale $0$. Resta $\iint_S2z\,d\sigma$; in sferiche $z=\cos\varphi$, $d\sigma=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta$, $\varphi\in[0,\frac\pi2]$: $$\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi/2}2\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta=2\pi\bigl[\sin^2\varphi\bigr]_0^{\pi/2}=2\pi .$$ Stesso risultato: $2\pi$.

(17) Il grafico con bordo sul cilindro

Metodo diretto. Il rotore di $V=(-y^2,x,z)$ ha componenti $\partial_yz-\partial_zx=0$, $\partial_z(-y^2)-\partial_xz=0$, $\partial_xx-\partial_y(-y^2)=1+2y$, cioè $\operatorname{rot}V=(0,0,1+2y)$. Per un grafico con normale verso l'alto $\mathbf{N}=(-g_x,-g_y,1)$, e il prodotto scalare con un vettore $(0,0,w)$ è $w\cdot1$: le derivate della complicata $g$ non compaiono, $$\operatorname{rot}V\cdot\mathbf{N}=1+2y,\qquad\Phi=\iint_{x^2+y^2\le1}(1+2y)\,dx\,dy=\pi+0=\pi,$$ perché $\iint y=0$ per simmetria.

Con Stokes. Sul cilindro $(x^2+y^2)^4=1$, il bordo ha quota $z=2-y$: $\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,2-\sin t)$, antiorario, $\mathbf{r}'=(-\sin t,\cos t,-\cos t)$ e $V=(-\sin^2t,\cos t,2-\sin t)$. Il prodotto scalare è $\sin^3t+\cos^2t-(2-\sin t)\cos t=\sin^3t+\cos^2t-2\cos t+\sin t\cos t$, con integrali su $[0,2\pi]$ pari rispettivamente a $0,\pi,0,0$: totale $\pi$.

Risultati. (16) $2\pi$; (17) $\pi$. In (17) il flusso dipende solo dal bordo, quindi equivale a quello del rotore attraverso il disco $\{x^2+y^2\le1\}$ nel piano $z=2-y$ o anche attraverso qualunque altra superficie con lo stesso bordo.