Esercizio - segno di forme quadratiche in due variabili con parametro (lezione 12)

Teoria: Forme quadratiche e criteri di definitezzaUna forma quadratica q(h) = h^T M h (M simmetrica) è definita positiva se q>0 per h ≠ 0, semidefinita positiva se q ≥ 0, definita/semidefinita negativa con segni opposti, indefinita se cambia segno. In due variabili, con M = [[a,b],[b,c]]: definita positiva ⇔ det M > 0 e a > 0, definita negativa ⇔ det M > 0 e a < 0, indefinita ⇔ det M < 0 (D, completando il quadrato). In generale: segno degli autovalori di M (D, teorema spettrale): tutti > 0 definita positiva, tutti < 0 definita negativa, di segno diverso indefinita; inoltre q(h) ≥ λ_min |h|². Per n = 3 si usano i minori principali di Sylvester. È lo strumento per classificare i punti critici.Forme quadratiche e criteri di definitezza →.

Testo.

1. Studiare il segno di $q(h,k)=2h^2-6hk+5k^2$, completando il quadrato.
2. Al variare di $\alpha\in\mathbb{R}$, studiare il segno di $q_\alpha(h,k)=h^2+2\alpha\,hk+4k^2$.
3. Al variare di $\beta\in\mathbb{R}$, studiare il segno di $p_\beta(h,k)=\beta h^2+4hk+\beta k^2$ (con il criterio di Sylvester e con gli autovalori).

(Fonte: esempi sul segno delle forme quadratiche della lezione 12 del corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD; i testi sono costruiti per queste note.)

Soluzione della parte 1

La matrice è $M=\begin{pmatrix}2&-3\\-3&5\end{pmatrix}$ (il termine misto $-6hk=2\cdot(-3)hk$). Il criterio per $n=2$: $a=2>0$, $\det M=10-9=1>0$, quindi definita positiva. Per vedere perché, si completa il quadrato: $$q=2\Big(h^2-3hk\Big)+5k^2=2\Big(h-\tfrac32k\Big)^2-\tfrac92k^2+5k^2=2\Big(h-\tfrac32k\Big)^2+\tfrac12k^2 .$$ Somma di due quadrati con coefficienti positivi che si annulla solo se $k=0$ e poi $h=\frac32k=0$. Gli autovalori sono $\frac{7\pm3\sqrt5}{2}\approx6.854,\ 0.146$: entrambi positivi, ma uno è molto piccolo (la forma è "quasi piatta" nella direzione dell'autovettore relativo, cioè lungo $h\approx\frac32k$).

Soluzione della parte 2

$M_\alpha=\begin{pmatrix}1&\alpha\\\alpha&4\end{pmatrix}$, $a=1>0$, $\det M_\alpha=4-\alpha^2$. Completando il quadrato: $q_\alpha=(h+\alpha k)^2+(4-\alpha^2)k^2$.

• $|\alpha|<2$: $\det>0$, $a>0$: definita positiva.
• $\alpha=\pm2$: $\det=0$, $q_{\pm2}=(h\pm2k)^2\ge0$, nulla sulla retta $h=\mp2k$: semidefinita positiva non definita.
• $|\alpha|>2$: $\det<0$: indefinita. (Per esempio $\alpha=3$: $q_3(1,0)=1>0$, $q_3(-3,1)=9-18+4=-5<0$.)

Soluzione della parte 3

$M_\beta=\begin{pmatrix}\beta&2\\2&\beta\end{pmatrix}$, $\det M_\beta=\beta^2-4$. Gli autovalori: $\det(M_\beta-\lambda I)=(\beta-\lambda)^2-4=0\Rightarrow\lambda=\beta\pm2$ (autovettori $(1,1)$ e $(1,-1)$). Quindi:

Verifica per $\beta=0$: $p_0=4hk$, indefinita (cambia segno tra primo e secondo quadrante) ✓, coerente con $\det=-4<0$.

Errori tipici. Leggere la matrice con il termine misto non diviso per $2$ (per $p_\beta$ l'elemento fuori diagonale è $2$, non $4$); dire "definita positiva" per $\det\ge0$; nel caso $\det=0$ dimenticare di precisare il segno (semidefinita) guardando $a$ o $c$.