Problema di Cauchy per sistemi di equazioni differenziali

Prerequisiti: Equazioni differenziali - introduzione e problema di CauchyUn'equazione differenziale ordinaria di ordine n ha come incognita una funzione y(t) e lega y⁽ⁿ⁾ a t, y, y', …, y⁽ⁿ⁻¹⁾. L'integrale generale è l'insieme delle soluzioni, definite su un intervallo; di solito sono infinite e dipendono da n costanti. Il problema di Cauchy aggiunge n condizioni iniziali in un istante t0 (y(t0), …, y⁽ⁿ⁻¹⁾(t0)) e sotto opportune ipotesi ha una sola soluzione. y⁽ⁿ⁾ = f(t) si risolve integrando n volte.Equazioni differenziali - introduzione e problema di Cauchy →, Equazioni differenziali a variabili separabiliy' = a(t) b(y) con a continua su I e b continua su J. Gli zeri ȳ di b danno le soluzioni costanti y = ȳ (integrali singolari). Le altre si trovano dividendo per b(y) e integrando: ∫dy/b(y) = ∫a(t)dt + c, poi si ricava y. Se b è C¹ la soluzione del problema di Cauchy è unica, ma può esistere solo su un intervallo più piccolo di I; se b è solo continua può non essere unica (y' = ∛y).Equazioni differenziali a variabili separabili →, Equazioni differenziali lineari del primo ordiney' + a(t)y = b(t) con a, b continue su un intervallo I. Le soluzioni sono definite su tutto I e il problema di Cauchy ha una sola soluzione. Integrale generale: y = e^(−A(t))[c + ∫e^(A(t)) b(t) dt], con A primitiva di a; per l'omogenea (b = 0) y = c e^(−A(t)). Soluzione del problema con y(t0) = x0: stessa formula con A(t) = ∫ da t0 a t di a(s) ds e integrale da t0 a t. Si dimostra moltiplicando per e^(A(t)).Equazioni differenziali lineari del primo ordine →, Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneoPer y'' + a1 y' + a0 y = 0 con a0, a1 costanti si cercano soluzioni e^(λt): funzionano se λ è radice del polinomio caratteristico p(λ) = λ² + a1 λ + a0. Δ > 0 (radici λ1 ≠ λ2): y = c1 e^(λ1 t) + c2 e^(λ2 t). Δ = 0 (radice doppia λ): y = (c1 + c2 t) e^(λt). Δ < 0 (radici α ± iω): y = e^(αt)(c1 cos ωt + c2 sin ωt). Lo stesso metodo vale per ogni ordine.Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo → (Analisi 1); Funzioni a valori vettoriali, matrice jacobiana e trasformazioni di coordinateUna funzione f : A ⊆ Rⁿ → Rᵐ ha m componenti scalari f₁,…,f_m; il limite si fa componente per componente. È differenziabile in x₀ se f(x₀+h) − f(x₀) = Df(x₀)h + o(‖h‖), dove la matrice jacobiana Df(x₀) (m righe, n colonne) ha elemento (i,j) = ∂f_i/∂x_j: le righe sono i gradienti delle componenti. Se le componenti sono C¹ la f è differenziabile. Casi particolari: m = 1 (riga = gradiente), n = 1 (colonna = vettore tangente), f affine (Df = A). Regola della catena: D(g∘f)(x₀) = Dg(f(x₀))·Df(x₀). Trasformazioni di coordinate: polari (det = ρ), cilindriche (det = ρ), sferiche (det = ρ² sin φ); |det Df| è il fattore di variazione di aree o volumi.Funzioni a valori vettoriali, matrice jacobiana e trasformazioni di coordinate → per le derivate parziali di $\mathbf{f}$. Per un'esposizione parallela v. Esistenza e unicità per il problema di CauchyProblema di Cauchy: y' = f(t, y), y(t0) = y0. Peano: f continua ⇒ esiste almeno una soluzione locale (non unica: y' = √|y|, y(0) = 0). Cauchy-Lipschitz: f continua e lipschitziana in y (basta f e ∂f/∂y continue) ⇒ soluzione unica in un intorno di t0. La soluzione può esplodere in tempo finito (y' = y², y' = 1 + y²); se f è lipschitziana in y su tutta la striscia [a, b] × R la soluzione esiste su tutto [a, b]. Un'equazione di ordine n si riduce a un sistema del primo ordine.Esistenza e unicità per il problema di Cauchy →.

Sistemi del primo ordine in forma normale

Un'equazione differenziale ordinaria lega una funzione incognita $y(t)$ alle sue derivate; quando le incognite sono più di una (le coordinate di un punto che si muove, le popolazioni di specie che interagiscono) si ha un sistema.

Definizione (sistema in forma normale). Sia $D\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n$ aperto e $\mathbf{f}:D\to\mathbb{R}^n$ un campo. Il sistema di $n$ equazioni del primo ordine in forma normale è $$\mathbf{y}'(t)=\mathbf{f}(t,\mathbf{y}(t)),\qquad\text{cioè}\qquad\begin{cases}y_1'=f_1(t,y_1,\dots,y_n)\\\ \vdots\\y_n'=f_n(t,y_1,\dots,y_n)\end{cases}$$ Una soluzione è una coppia $(I,\mathbf{y})$: $I\subseteq\mathbb{R}$ intervallo, $\mathbf{y}:I\to\mathbb{R}^n$ derivabile, con $(t,\mathbf{y}(t))\in D$ e $\mathbf{y}'(t)=\mathbf{f}(t,\mathbf{y}(t))$ per ogni $t\in I$. L'integrale generale è l'insieme di tutte le soluzioni.

Il campo $\mathbf{f}$ dice, in ogni punto $(t,\mathbf{y})$, qual è la velocità che la soluzione deve avere in quel punto: risolvere l'equazione significa trovare una curva $t\mapsto\mathbf{y}(t)$ che "segue" il campo.

Definizione (problema di Cauchy). Fissato $(t_0,\mathbf{y}_0)\in D$, il problema di Cauchy (o ai valori iniziali) è $$\begin{cases}\mathbf{y}'(t)=\mathbf{f}(t,\mathbf{y}(t))\\ \mathbf{y}(t_0)=\mathbf{y}_0 .\end{cases}$$ Una soluzione è una soluzione $(I,\mathbf{y})$ del sistema con $t_0\in I$ e $\mathbf{y}(t_0)=\mathbf{y}_0$.

Esempio. $y'=y$, $y(0)=3$: la soluzione è $y=3e^t$ su $\mathbb{R}$ (con la costante $c=3$ scelta dal dato iniziale). Per $n=1$ il sistema è un'equazione scalare, e si ritrova l'impostazione di Analisi 1.

Riduzione delle equazioni di ordine superiore

Ogni equazione di ordine $n$ in forma normale è equivalente a un sistema del primo ordine. Per il secondo ordine, $y''=g(t,y,y')$: si introduce la velocità $v=y'$; allora $$\begin{cases}y'=v\\ v'=g(t,y,v)\end{cases}$$ è un sistema nel vettore $(y,v)$, e il dato iniziale $y(t_0)=y_0$, $v(t_0)=v_0$ corrisponde esattamente alle due condizioni $y(t_0)=y_0$, $y'(t_0)=v_0$ del problema di Cauchy del secondo ordine. Se $(y,v)$ risolve il sistema, la prima componente $y$ è due volte derivabile e risolve l'equazione.

Esempio (oscillatore con attrito). $y''=-ky-hy'$ ($k>0$ costante elastica, $h\ge0$ attrito) diventa $\begin{cases}y'=v\\ v'=-ky-hv\end{cases}$.

Esempio (seconda legge di Newton). $m\ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F}(t,\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}})$ con $\mathbf{r}\in\mathbb{R}^3$ è un'equazione di secondo ordine in $\mathbb{R}^3$; con $\mathbf{v}=\dot{\mathbf{r}}$ è un sistema di $6$ equazioni del primo ordine ($n=6$). In generale un'equazione scalare $y^{(n)}=g(t,y,\dots,y^{(n-1)})$ si trasforma con il vettore $(y_1,\dots,y_n)=(y,y',\dots,y^{(n-1)})$ nel sistema $y_1'=y_2,\ y_2'=y_3,\dots,\ y_n'=g(t,y_1,\dots,y_n)$.

Esempio (modello epidemico SIR). Suscettibili $S$, infetti $I$, guariti $R$ con $S'=-\beta SI$, $I'=\beta SI-\gamma I$, $R'=\gamma I$: un sistema non lineare di $3$ equazioni del primo ordine; le soluzioni non si scrivono in forma chiusa, ma i teoremi che seguono garantiscono che per ogni dato iniziale c'è una evoluzione unica.

Esistenza locale: il teorema di Peano

Teorema (di Peano, esistenza locale). Se $\mathbf{f}:D\to\mathbb{R}^n$ è continua e $(t_0,\mathbf{y}_0)\in D$, esiste $\delta>0$ e almeno una soluzione del problema di Cauchy definita su $(t_0-\delta,t_0+\delta)$.

(La dimostrazione è omessa nel corso: si fa con il metodo delle spezzate di Eulero e il teorema di Ascoli-Arzelà.) Restano due domande: la soluzione è unica? e su quale intervallo esiste?

L'unicità può cadere

Esempio. $y'=y^{2/3}$, $y(0)=0$. Il campo $f(y)=y^{2/3}$ è continuo, ma il problema ha infinite soluzioni. Una è $y\equiv0$ (soluzione di equilibrio: $0'=0=0^{2/3}$). Un'altra si trova separando le variabili per $y\ne0$: $y^{-2/3}\,dy=dt$, $3y^{1/3}=t+c$, $y=\left(\frac{t+c}3\right)^3$; con $c=0$ si ha $y=\dfrac{t^3}{27}$, e infatti $y'=\dfrac{t^2}9=\left(\dfrac{t^3}{27}\right)^{2/3}$ (verificato con sympy). Più in generale per ogni $a\ge0$ la funzione $$y_a(t)=\begin{cases}0,&t\le a\\ \left(\dfrac{t-a}3\right)^3,&t>a\end{cases}$$ è una soluzione di classe $C^1$ dello stesso problema: la soluzione può "restare ferma in $0$ quanto vuole" e poi partire.

Esistenza e unicità locale: il teorema di Cauchy

Teorema (di Cauchy, esistenza e unicità locale). Sia $D\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n$ aperto, $(t_0,\mathbf{y}_0)\in D$, $\mathbf{f}:D\to\mathbb{R}^n$ continua e tale che tutte le derivate parziali $\dfrac{\partial f_i}{\partial y_k}$ ($i,k=1,\dots,n$) esistano e siano continue in $D$ (cioè $\mathbf{f}$ è $C^1$ nelle variabili di stato). Allora esiste $\delta>0$ tale che il problema di Cauchy ha una e una sola soluzione definita su $(t_0-\delta,t_0+\delta)$.

(Dimostrazione omessa: si basa sul teorema delle contrazioni applicato all'operatore integrale $\mathbf{y}\mapsto\mathbf{y}_0+\int_{t_0}^t\mathbf{f}(s,\mathbf{y}(s))\,ds$.)

Variante con la lipschitzianità. L'ipotesi sulle derivate si può indebolire chiedendo che $\mathbf{f}$ sia localmente lipschitziana rispetto a $\mathbf{y}$: per ogni compatto $K\subset D$ esiste $L_K$ con $\|\mathbf{f}(t,\mathbf{x})-\mathbf{f}(t,\mathbf{z})\|\le L_K\|\mathbf{x}-\mathbf{z}\|$ per ogni $(t,\mathbf{x}),(t,\mathbf{z})\in K$. Se le derivate parziali sono continue, sono limitate sui compatti (Weierstrass) e il teorema del valor medio dà la condizione di Lipschitz. Per esempio $\mathbf{f}(t,y)=|y|+1$ non è derivabile in $y=0$, ma $||y_1|-|y_2||\le|y_1-y_2|$: è lipschitziana con $L=1$, e il teorema vale.

Perché $y'=y^{2/3}$ sfugge. Per $f(y)=y^{2/3}$ si ha $\dfrac{|f(x)-f(0)|}{|x-0|}=\dfrac1{|x|^{1/3}}\to+\infty$ per $x\to0$: nessuna costante di Lipschitz funziona vicino a $y=0$ (la derivata $\frac23y^{-1/3}$ non esiste in $0$). E in effetti proprio da lì partono le soluzioni multiple.

Intervallo massimale ed esplosione

Nelle ipotesi di Cauchy la soluzione locale si può prolungare finché è possibile, fino a un intervallo massimale $I_{\max}=(t_{\min},t_{\max})$ (aperto). Agli estremi la soluzione "esce da ogni compatto" di $D$: si avvicina alla frontiera di $D$ oppure la sua norma diverge a $+\infty$ (esplosione in tempo finito se l'estremo è finito). Una soluzione non può "spegnersi" all'interno del dominio.

Caso importante, la striscia: se $D\supseteq[a,b]\times\mathbb{R}^n$ non c'è frontiera da toccare per $\mathbf{y}$ finito, e quindi per una soluzione con $t_0\in(a,b)$: o esiste in tutto $[a,b]$, oppure $\|\mathbf{y}(t)\|\to+\infty$ per $t\to t_{\min}^+$ o $t\to t_{\max}^-$ interni ad $(a,b)$.

Esempio (esplosione). $y'=y^2$, $y(0)=y_0$. Il campo $f=y^2$ è $C^\infty$, quindi c'è unicità locale. Se $y_0=0$ la soluzione è $y\equiv0$, definita su $\mathbb{R}$. Se $y_0\ne0$, separando le variabili, $-\frac1y=t+c$, e imponendo $y(0)=y_0$, $$y(t)=\frac{y_0}{1-y_0t} .$$ Il denominatore si annulla in $t=1/y_0$. Se $y_0>0$ l'intervallo massimale è $\left(-\infty,\frac1{y_0}\right)$ e $y\to+\infty$ per $t\to\frac1{y_0}^-$; se $y_0<0$ è $\left(\frac1{y_0},+\infty\right)$ e $y\to-\infty$ per $t\to\frac1{y_0}^+$. Per $y_0=1$ l'esplosione avviene a $t=1$. (Analogamente $y'=1+y^2$, $y(0)=0$ ha soluzione $y=\tan t$ su $\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$.)

Esistenza globale

L'esplosione di $y'=y^2$ è dovuta alla crescita troppo rapida del campo: $f(y)=y^2$ cresce più che linearmente. Se la crescita è al più lineare l'esplosione è impossibile.

Teorema (esistenza e unicità globale). Sia $S=[a,b]\times\mathbb{R}^n$ e $\mathbf{f}:S\to\mathbb{R}^n$ continua, con le derivate $\partial f_i/\partial y_k$ continue (o localmente lipschitziana in $\mathbf{y}$). Se esistono $H,K\ge0$ tali che $$\|\mathbf{f}(t,\mathbf{y})\|\le H+K\|\mathbf{y}\|\qquad\forall(t,\mathbf{y})\in S ,$$ allora per ogni $(t_0,\mathbf{y}_0)\in S$ il problema di Cauchy ha una e una sola soluzione definita in tutto $[a,b]$.

(La dimostrazione, omessa, usa la disuguaglianza di Grönwall. Il caso lineare è nella nota Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costantiUn sistema lineare y' = A(t)y + g(t) con coefficienti continui ha, per ogni dato iniziale, una e una sola soluzione, definita su tutto l'intervallo (D). Le soluzioni del sistema omogeneo formano uno spazio vettoriale di dimensione n (D); quelle del sistema completo sono una soluzione particolare più l'integrale omogeneo (D). Per y'' + by' + cy = 0 si cercano e^(λt): tre casi (D). Un sistema 2×2 a coefficienti costanti si riduce a u'' − (tr A)u' + (det A)u = g, risolta con il metodo di somiglianza.Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti →.) Criteri sufficienti: $\mathbf{f}$ limitata ($H=M$, $K=0$); oppure derivate parziali in $\mathbf{y}$ limitate su $S$ (con il valor medio, $\|\mathbf{f}(t,\mathbf{y})\|\le\|\mathbf{f}(t,\mathbf{0})\|+n K'\|\mathbf{y}\|$). Per $y'=y^2$ la condizione fallisce, perché $y^2/(H+K|y|)\to\infty$.

Un esempio completo: $y'=|y|+1$, $y(0)=0$

• Esistenza e unicità locali: $f=|y|+1$ è lipschitziana con $L=1$.
• Esistenza globale: $|f|\le1+|y|$, condizione con $H=K=1$ su ogni striscia: $I_{\max}=\mathbb{R}$.
• Monotonia: $y'\ge1>0$, quindi $y$ è strettamente crescente, $y>0$ per $t>0$ e $y<0$ per $t<0$.
• $t\ge0$: $y'=y+1$, $\ln(y+1)=t$ (con $\int_0^y\frac{du}{u+1}=t$), $y=e^t-1$.
• $t<0$: $y'=1-y$, $\int_0^y\frac{du}{1-u}=-\ln(1-y)=t$, $y=1-e^{-t}$.
• Raccordo: le due formule hanno $y(0)=0$ e derivata $1$ da entrambi i lati; la soluzione è $y(t)=\operatorname{sgn}(t)\left(e^{|t|}-1\right)$, di classe $C^1$ (verificato con sympy).

Errori comuni

• Pensare che "esiste una soluzione" significhi "è unica": per l'unicità serve la regolarità in $\mathbf{y}$ (Lipschitz o $C^1$), la sola continuità non basta.
• Dimenticare che la soluzione ha un intervallo massimale: $y=\frac{y_0}{1-y_0t}$ vale solo sul pezzo di $\mathbb{R}$ che contiene $t_0=0$ e non attraversa la singolarità.
• Verificare la crescita lineare su $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n$ invece che sulla striscia $[a,b]\times\mathbb{R}^n$ (il teorema globale è su strisce con $t$ limitato).
• Nella riduzione di ordine, dimenticare di tradurre tutte le condizioni iniziali ($y(t_0)$ e $y'(t_0)$).
• Separare le variabili dividendo per $y$ senza controllare le soluzioni costanti.

Domande d'esame

1. Sistemi di equazioni differenziali del primo ordine in forma normale: che cosa sono, definire il problema di Cauchy, enunciare i teoremi di esistenza e unicità locale. Traccia: $\mathbf{y}'=\mathbf{f}(t,\mathbf{y})$, soluzione $(I,\mathbf{y})$; Peano (continuità: esistenza, non unicità, esempio $y'=y^{2/3}$); Cauchy ($C^1$ in $\mathbf{y}$ o Lipschitz: esistenza e unicità).
2. Come si riduce un'equazione del secondo ordine a un sistema? Traccia: $v=y'$; corrispondenza fra le condizioni iniziali.
3. Che cos'è l'intervallo massimale? Dare un esempio di esplosione in tempo finito e una condizione che assicura l'esistenza globale. Traccia: uscita da ogni compatto; $y'=y^2$; crescita sublineare su una striscia.

Esercizi svolti: Esercizio - quali teoremi si applicano, Peano, Cauchy e crescita lineare (lezione 31), Esercizio - problema di Cauchy con il valore assoluto, y' = abs(y) + 1 (lezione 31), Esercizio - intervallo massimale di problemi di Cauchy a variabili separabili (temi d'esame 2013-14).