Esercizio - matrice hessiana e differenziale secondo (lezione 11)

Teoria: Derivate seconde, teorema di Schwarz e formula di Taylor del secondo ordineLe derivate seconde f_{x_i x_j} = (f_{x_i}){x_j} formano la matrice hessiana H_f; se f è C² l'hessiana è simmetrica (teorema di Schwarz: le derivate miste, continue, non dipendono dall'ordine). Il differenziale secondo d²f(x0)(h) = h^T H_f(x0) h = Σ f{x_i x_j} h_i h_j è una forma quadratica. Formula di Taylor del secondo ordine con resto di Peano (D): f(x0 + h) = f(x0) + ∇f(x0)·h + ½ h^T H_f(x0) h + o(|h|²) per f ∈ C². Serve per i punti critici e per calcolare limiti.Derivate seconde, teorema di Schwarz e formula di Taylor del secondo ordine →.

Testo.

1. Calcolare la matrice hessiana di $f(x,y)=x\arctan y$ in $\big(\frac12,1\big)$ e di $g(x,y)=e^{x^2y}$ in $(1,1)$, e scrivere il differenziale secondo $d^2g(1,1)(h,k)$.
2. Calcolare le derivate prime e seconde di $\varphi(x,y,z)=x^2y+yz^3-xyz$ e la matrice hessiana in $(1,1,1)$.
3. Calcolare l'hessiana della norma $\psi(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ in $(3,4)$.

(Fonte: esempi ed esercizio per casa della lezione 11 del corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD; le parti 2 e 3 sono costruite per queste note.)

Soluzione della parte 1

$f=x\arctan y$. $f_x=\arctan y$, $f_y=\frac{x}{1+y^2}$. Le seconde:

• $f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\arctan y=0$;
• $f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\arctan y=\frac{1}{1+y^2}$;
• $f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{x}{1+y^2}=\frac{1}{1+y^2}$ (uguale a $f_{xy}$, come prevede Schwarz: $f\in C^\infty$);
• $f_{yy}=x\cdot\frac{d}{dy}(1+y^2)^{-1}=-\frac{2xy}{(1+y^2)^2}$.

In $\big(\frac12,1\big)$: $f_{xy}=\frac12$ e $f_{yy}=-\frac{2\cdot\frac12\cdot1}{4}=-\frac14$, quindi $$H_f\big(\tfrac12,1\big)=\begin{pmatrix}0&\frac12\\\frac12&-\frac14\end{pmatrix}.$$

$g=e^{x^2y}$. $g_x=2xy\,e^{x^2y}$, $g_y=x^2e^{x^2y}$. Derivando i prodotti: $$g_{xx}=(2y)e^{x^2y}+2xy\cdot2xy\,e^{x^2y}=(2y+4x^2y^2)e^{x^2y},\qquad g_{xy}=2x\,e^{x^2y}+2xy\cdot x^2e^{x^2y}=(2x+2x^3y)e^{x^2y},$$ $$g_{yy}=x^2\cdot x^2e^{x^2y}=x^4e^{x^2y} .$$ In $(1,1)$ ($e^{x^2y}=e$): $g_{xx}=6e$, $g_{xy}=4e$, $g_{yy}=e$, quindi $$H_g(1,1)=e\begin{pmatrix}6&4\\4&1\end{pmatrix},\qquad d^2g(1,1)(h,k)=e\,\big(6h^2+8hk+k^2\big)$$ (il termine misto è $2g_{xy}hk=8e\,hk$).

Soluzione della parte 2

$\varphi_x=2xy-yz$, $\varphi_y=x^2+z^3-xz$, $\varphi_z=3yz^2-xy$. Seconde: $$\varphi_{xx}=2y,\ \ \varphi_{xy}=2x-z,\ \ \varphi_{xz}=-y,\ \ \varphi_{yy}=0,\ \ \varphi_{yz}=3z^2-x,\ \ \varphi_{zz}=6yz .$$ (Controllo di simmetria: $\varphi_{yx}=\partial_x(x^2+z^3-xz)=2x-z$ ✓; $\varphi_{zx}=\partial_x(3yz^2-xy)=-y$ ✓; $\varphi_{zy}=\partial_y(3yz^2-xy)=3z^2-x$ ✓.) In $(1,1,1)$: $$H_\varphi(1,1,1)=\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&0&2\\-1&2&6\end{pmatrix}.$$

Soluzione della parte 3

Per la norma, $H=\frac1{|\underline x|}\Big(I-\frac{\underline x\,\underline x^T}{|\underline x|^2}\Big)$ (Derivate seconde, teorema di Schwarz e formula di Taylor del secondo ordineLe derivate seconde f_{x_i x_j} = (f_{x_i}){x_j} formano la matrice hessiana H_f; se f è C² l'hessiana è simmetrica (teorema di Schwarz: le derivate miste, continue, non dipendono dall'ordine). Il differenziale secondo d²f(x0)(h) = h^T H_f(x0) h = Σ f{x_i x_j} h_i h_j è una forma quadratica. Formula di Taylor del secondo ordine con resto di Peano (D): f(x0 + h) = f(x0) + ∇f(x0)·h + ½ h^T H_f(x0) h + o(|h|²) per f ∈ C². Serve per i punti critici e per calcolare limiti.Derivate seconde, teorema di Schwarz e formula di Taylor del secondo ordine →). In $(3,4)$, $|\underline x|=5$ e $\underline x\underline x^T=\begin{pmatrix}9&12\\12&16\end{pmatrix}$: $$H=\frac15\Big(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}-\frac1{25}\begin{pmatrix}9&12\\12&16\end{pmatrix}\Big)=\frac1{125}\begin{pmatrix}16&-12\\-12&9\end{pmatrix}.$$ Verifica diretta: $\psi_{xx}=\frac{1}{r}-\frac{x^2}{r^3}=\frac15-\frac9{125}=\frac{16}{125}$ ✓, $\psi_{xy}=-\frac{xy}{r^3}=-\frac{12}{125}$ ✓. Si nota che $H\underline x=\underline 0$ (la norma è lineare lungo le semirette radiali: derivata seconda nulla nella direzione radiale) e $\det H=0$.

Errori tipici. Dimenticare di valutare nel punto; scordare il fattore $2$ nel termine misto del differenziale secondo; sbagliare la derivata del prodotto in $g_{xx}$ (due termini).